142正弦函数、余弦函数的性质

1、1.4.2正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质 罗田育英高中罗田育英高中 定义域和值域定义域和值域 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 正弦函数正弦函数sinyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1 余弦函数余弦函数 cosyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1 |sin|1|cos|1xx 1、周期性 周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值每一个值时,都有f (x+T)=f (x) 那么函数f (x)就叫做周期函数，非

2、零常数T叫做这个函 数的周期 正弦函数是周期函数， ，最小 正周期是 )0(2kZkk且 2 余弦函数是周期函数， ，最小 正周期是 )0(2kZkk且 2 2、奇偶性 请观察正弦曲线、余弦曲线的形状和位置,说出它们 的异同点. 正弦函数的图象正弦函数的图象 探究探究 余弦函数的图象余弦函数的图象 问题：它们的图象有何问题：它们的图象有何对称性对称性？ x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与 y=-1之间。 它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，

3、余弦曲 线交y轴于点（0，1）. 正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数 )sin( xxsin )cos( xxcos 由诱导公式 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R) x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 x sinx 2 2 2 3 0 -1 0 1 0 -1 增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1)(2 2 ,2 2 zkkk 减区间为减区间为 其值从其值从 1减至减至-1)(2 2 3 ,2 2 zkkk 正弦函数的最值正弦函数的最值 x y o- -1 2 34

4、 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 时)(2 2 zkkx 1 max y 时)(2 2 zkkx 1 min y 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) x cosx 2 2 - 0 -1 0 1 0 -1 y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1)(2 ,2zkkk 减区间为减区间为 其值从其值从 1减至减至-1)(2,2zkkk y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 余弦函数的最值余弦函数的最

5、值 时)(2zkkx 1 max y 1 min y时)(2zkkx 正弦函数的对称性正弦函数的对称性 x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 )0 ,k对称中心（ 2 kx对称轴： 余弦函数的对称性余弦函数的对称性 y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 )0 , 2 k对称中心（kx 对称轴： 例1 求下列三角函数的周期： 解：（1）3cos(2 ) 3cosxx 由周期函数的定义知道，原函数的周期为 2 （2） 11 2626 1 26 2sin (4 )2sin()2 2sin()

6、xx x 由周期函数的定义知道，原函数的周期为4 xycos3) 1 ( ) 62 1 sin(2)2( x 例2、求函数 的单调增区间。2 ,2),sin( 32 1 xxy 解:令的单调递增区间是函数zyxzsin. 32 1 2,2 22 kk 由得： kxk22 232 1 2 Zkkxk,44 33 5 而得取 , 33 5 , 0 xk 2 ,2 33 5 ， 函数,因此的单调增区间是2 ,2),sin( 32 1 xxy , 33 5 例例3 不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0： (1) sin( ) sin( ) 18 10 (2) c

7、os( ) - cos( ) 5 23 4 17 解：解： 218102 又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数 2 , 2 sin( ) 0 18 10 cos( )=cos =cos 5 23 5 23 5 3 4 17 cos( )=cos =cos 4 17 4 解：解： 5 3 4 0 cos cos 4 5 3 即：即： cos cos 0 5 3 4 又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数, 0 从而从而 cos( ) - cos( ) 0 5 23 4 17 练习练习 1、为函数、为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ） sin(2) 3 yx 4 . 3

8、 A x . 2 B x .0D x . 12 C x C 2、求、求 函数的对称轴和对称中心。函数的对称轴和对称中心。) 3 2sin( xy zk k x 212 zk k )0 , 26 ( 函函 数数 性性 质质 y= sinx (kz)y= cosx (kz) 定义域定义域 值域值域 最值及相应的最值及相应的 x 的集合的集合 周期性周期性 奇偶性奇偶性 单调性单调性 对称中心对称中心 对称轴对称轴 R R -1,1-1,1 x= 2k时时y ymax max=1 =1 x= 2k+ 时时 ymin=-1 周期为T=2周期为周期为T=2 奇函数奇函数偶函数偶函数 在在x2k-， 2k 上都是增函数上都是增函数 , 在在x2k ， 2k+ 上都是减函数上都是减函数 。 (k,0) x = k x= 2k+时时y ymax max=1 =1 x=2kx=