第四章整群抽样-很重要的一章

1、2021/6/71 第四章第四章 整群抽样整群抽样 Cluster Sampling 2021/6/72 第四章第四章 整群抽样整群抽样 教学目的教学目的 通过本章的教学，使通过本章的教学，使 学生明确整群抽样的定义学生明确整群抽样的定义 与特点；掌握群规模相等与特点；掌握群规模相等 时的估计与群规模不等时时的估计与群规模不等时 的估计方法；了解总体比的估计方法；了解总体比 例的估计例的估计 。 重点与难点重点与难点 本章的重点是群规模本章的重点是群规模 相等时的估计与群规模相等时的估计与群规模 不等时的估计方法；难不等时的估计方法；难 点是群规模相等时的估点是群规模相等时的估 计与群规模不等

2、时的估计与群规模不等时的估 计方法。计方法。 2021/6/73 本章结构本章结构 4.1 引言引言 4.2 群规模相等时的估计群规模相等时的估计 3. 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 4.4 总体比例的估计总体比例的估计 2021/6/74 假设省教育厅想了解西安中学生的体质状况，假设省教育厅想了解西安中学生的体质状况， 抽样调查是既省钱又省时的办法，显然西安地区的抽样调查是既省钱又省时的办法，显然西安地区的 中学生均是总体的单元，从全体学生中随机无放回中学生均是总体的单元，从全体学生中随机无放回 地抽取若干样本是理想的概率抽样方法，但是编制地抽取若干样本是理想的概率抽样方法，

3、但是编制 全体中学生的抽样框本身是件麻烦事，况且一个合全体中学生的抽样框本身是件麻烦事，况且一个合 理的有代表性的样本一般应该遍布全市，在对如此理的有代表性的样本一般应该遍布全市，在对如此 分散的中学生样本逐个进行访问，其工作量之大可分散的中学生样本逐个进行访问，其工作量之大可 想而知。一个方便的方法是在西安地区按学校抽样想而知。一个方便的方法是在西安地区按学校抽样 ，在抽得的几所学校中对该校所有中学生进行普遍，在抽得的几所学校中对该校所有中学生进行普遍 调查。这就是本章要讲述的整群抽样。调查。这就是本章要讲述的整群抽样。 2021/6/75 若总体可分为若总体可分为N个群（也称为初级抽样个群

4、（也称为初级抽样 单元单元, ,用用PSU表示），每个初级单元包含若表示），每个初级单元包含若 干个次级单元（也称二级抽样单元，用干个次级单元（也称二级抽样单元，用SSU 表示）。按照某种方式从总体中抽取表示）。按照某种方式从总体中抽取n个初个初 级单元，对这些单元中的所有二级单元全部级单元，对这些单元中的所有二级单元全部 进行调查。这种抽样方法称为整群抽样。进行调查。这种抽样方法称为整群抽样。 2021/6/76 黄色为总体黄色为总体 蓝色为样本蓝色为样本 红色为群红色为群 白点为基本单元白点为基本单元 整群抽样事例：整群抽样事例： 2021/6/77 4.1 4.1 引言引言 一、整群抽样

5、的定义与特点一、整群抽样的定义与特点 （一）定义（一）定义 整群抽样（整群抽样（cluster sampling）是将总体划分为）是将总体划分为 若干群，然后以群（若干群，然后以群（cluster）为抽样单元，从总体）为抽样单元，从总体 中随机抽取一部分群，对中选群中的所有基本单元中随机抽取一部分群，对中选群中的所有基本单元 进行调查的一种抽样技术。进行调查的一种抽样技术。 2021/6/78 例如，对某城市居民进行生活水平调查，例如，对某城市居民进行生活水平调查， 如果不是从全部城市住户中直接抽选住户如果不是从全部城市住户中直接抽选住户 进行调查，而是从城市全部居民委员会中进行调查，而是从城

6、市全部居民委员会中 随机抽选若干居委会，对被抽中的居委会随机抽选若干居委会，对被抽中的居委会 所有住户都进行调查，这就是整群抽样。所有住户都进行调查，这就是整群抽样。 该城市的每一居委会就是一群。该城市的每一居委会就是一群。 2021/6/79 再如，对连续生产的企业，每小时都再如，对连续生产的企业，每小时都 抽选抽选1010分钟生产的全部产品进行调查。分钟生产的全部产品进行调查。 那么，每那么，每1010分钟生产的全部产品就是分钟生产的全部产品就是 一群。如果一天一群。如果一天2424小时连续生产，生小时连续生产，生 产的全部产品构成总体，则总体有产的全部产品构成总体，则总体有144144

7、群，样本有群，样本有2424群。群。 2021/6/710 抽样过程可以分为以下几个步骤：抽样过程可以分为以下几个步骤： 总体总体 R4R3R2R1R130分群分群 R1R4R33R98R110抽样抽样 样本样本 2021/6/711 在实际工作中，整群抽样方法被在实际工作中，整群抽样方法被 广泛采用。例如，在社会经济调查中广泛采用。例如，在社会经济调查中 的人口调查、家计调查、农林牧业调的人口调查、家计调查、农林牧业调 查以及工业产品质量检验等等都经常查以及工业产品质量检验等等都经常 采用整群抽样调查。采用整群抽样调查。 2021/6/712 采用整群抽样调查的原因有二：采用整群抽样调查的原

8、因有二： 其一是在某些情况下，往往由于不适合其一是在某些情况下，往往由于不适合 采用一个个地抽取样本单位，不得不采用整采用一个个地抽取样本单位，不得不采用整 群抽样。例如，某些工业产品的质量检验，群抽样。例如，某些工业产品的质量检验， 事实上不能逐个抽取样本单位来进行，只能事实上不能逐个抽取样本单位来进行，只能 在某一时间内，成批地抽取产品来检验。在某一时间内，成批地抽取产品来检验。 2021/6/713 其二，即使抽样调查能够一个个地取样其二，即使抽样调查能够一个个地取样 ，但由于经济的考虑也会选择整群抽样。例，但由于经济的考虑也会选择整群抽样。例 如，职工家庭生活水平调查中，如果不是以如，

9、职工家庭生活水平调查中，如果不是以 居委会为群进行整群抽样调查，而是以居民居委会为群进行整群抽样调查，而是以居民 户为单位抽样，这些被抽到的居民户一般分户为单位抽样，这些被抽到的居民户一般分 散地居住，必然增加交通费、延长调查时间散地居住，必然增加交通费、延长调查时间 等。所以出于对工作时间、经费等客观条件等。所以出于对工作时间、经费等客观条件 的考虑，也得采用整群抽样调查。的考虑，也得采用整群抽样调查。 采用整群抽样调查的原因有二：采用整群抽样调查的原因有二： 2021/6/714 （二）整群抽样的特点（二）整群抽样的特点 1 1、调查单位比较集中，进行调查比较、调查单位比较集中，进行调查比

10、较 方便，可以减少调查人员来往于调查单位之方便，可以减少调查人员来往于调查单位之 间的时间和费用。例如，在进行农村居民户间的时间和费用。例如，在进行农村居民户 收入情况调查时，在一个县抽千分之五的村收入情况调查时，在一个县抽千分之五的村 庄，对其所有居民户进行调查，明显地比从庄，对其所有居民户进行调查，明显地比从 全县直接抽千分之五的农户进行调查，更便全县直接抽千分之五的农户进行调查，更便 于组织，节省人力、旅途往返时间及费用。于组织，节省人力、旅途往返时间及费用。 2021/6/715 （二）整群抽样的特点（二）整群抽样的特点 2 2、设计和组织抽样比较方便。例如，、设计和组织抽样比较方便。

11、例如， 调查农村居民住户，不必列出农村所有居民调查农村居民住户，不必列出农村所有居民 住户的抽样框，可以利用现成的行政区域，住户的抽样框，可以利用现成的行政区域， 如县、乡、村，将农村划分为若干群，这给如县、乡、村，将农村划分为若干群，这给 抽样设计方案带来很大方便。尤其是对那些抽样设计方案带来很大方便。尤其是对那些 无法事先掌握总体单位情况的总体，采用整无法事先掌握总体单位情况的总体，采用整 群抽样更为合适。群抽样更为合适。 2021/6/716 然而，整群抽样由于调查单位只能然而，整群抽样由于调查单位只能 集中在若干群上，而不能均匀分布在总集中在若干群上，而不能均匀分布在总 体的各个部分，

12、因此，它的精度比起简体的各个部分，因此，它的精度比起简 单随机抽样来要低一些。单随机抽样来要低一些。 2021/6/717 例如，在一个有例如，在一个有500个村庄、个村庄、100000个农户的县，个农户的县， 抽取抽取1的农户就是的农户就是1000户，而抽户，而抽1的村庄则的村庄则 只有只有5个村庄，也许抽到的个村庄，也许抽到的5个村庄农户多于个村庄农户多于1000， 但由于样本单位只集中在但由于样本单位只集中在5个村庄，显然不如在个村庄，显然不如在 全县范围内简单随机抽取全县范围内简单随机抽取1000户分布均匀，代表性户分布均匀，代表性 一般要差一些，抽样误差较大。一般要差一些，抽样误差较

13、大。 2021/6/718 当然我们可以通过多抽几个群来弥补这一缺陷，但最关当然我们可以通过多抽几个群来弥补这一缺陷，但最关 键的一条还是在于总体内群的划分。为了使整群抽样的样本键的一条还是在于总体内群的划分。为了使整群抽样的样本 具有一定的代表性，具有一定的代表性，应当使群与群之间尽可能地差异小，而应当使群与群之间尽可能地差异小，而 群内单元之间的差异应当大群内单元之间的差异应当大（注意：这一点与分层抽样中总（注意：这一点与分层抽样中总 体内层的划分有着极大的差别），这意味着每个群均具有足体内层的划分有着极大的差别），这意味着每个群均具有足 够的代表性。如果划分的群相互之间颇多相似之处，那么

14、少够的代表性。如果划分的群相互之间颇多相似之处，那么少 量群的抽取足以提供良好的精度。一个总体划分成多少个群量群的抽取足以提供良好的精度。一个总体划分成多少个群 ，每个群的规模大小如何又是一个新问题，通常我们面临的，每个群的规模大小如何又是一个新问题，通常我们面临的 总体会有自然的初级单元，例如本章开头所说的各所中学它总体会有自然的初级单元，例如本章开头所说的各所中学它 们互相之间们互相之间关于学生的体质关于学生的体质很相似，但在一个学校里每个学很相似，但在一个学校里每个学 生之间有一定的差异。生之间有一定的差异。 2021/6/719 二、群的划分二、群的划分 （一）群的划分（一）群的划分

15、一类是根据行政或者是地域形成的群体，一类是根据行政或者是地域形成的群体， 如学校、社区、企业等；如学校、社区、企业等； 另一类就是调查人员人为的确定的。另一类就是调查人员人为的确定的。 2021/6/720 （二）分群的原则：（二）分群的原则： 当总体划分为若干个群以后，总体方差可以当总体划分为若干个群以后，总体方差可以 分为群间方差和群内方差两个部分，这两个部分分为群间方差和群内方差两个部分，这两个部分 是此消彼长的关系。群间方差大，则群内方差小；是此消彼长的关系。群间方差大，则群内方差小； 反之，群间方差小则群内方差大。由于整群抽样反之，群间方差小则群内方差大。由于整群抽样 是对抽中群内所

16、有单元都进行调查，因此影响整是对抽中群内所有单元都进行调查，因此影响整 群抽样误差大小的主要是群间方差。群抽样误差大小的主要是群间方差。 可见，整群抽样是和分层抽样是针对不同总可见，整群抽样是和分层抽样是针对不同总 体结构而提出的两种不同的抽样方式。体结构而提出的两种不同的抽样方式。 2021/6/721 三、群的规模三、群的规模 群的规模是指组成群的单元的数量。在整群抽群的规模是指组成群的单元的数量。在整群抽 样中，群的规模具有相当的灵活性。群的规模大，样中，群的规模具有相当的灵活性。群的规模大， 估计的精度差但费用省；群的规模小，估计的精度估计的精度差但费用省；群的规模小，估计的精度 比较

17、高但费用大。在实践中，群的规模大小，涉及比较高但费用大。在实践中，群的规模大小，涉及 很多因素：结构、精度、费用、调查组织实施、管很多因素：结构、精度、费用、调查组织实施、管 理等问题。理等问题。 群的规模又有两种情况：一是总体中的各个群群的规模又有两种情况：一是总体中的各个群 规模相等；二是总体中各个群的规模不等。规模相等；二是总体中各个群的规模不等。 2021/6/722 一、符号说明一、符号说明 N: 总体群数（总体群数（PSU数）数） n: 样本群数样本群数 Yij: 总体第总体第i群的第群的第j单元数值单元数值 yij: 样本中第样本中第i群的第群的第j单元数值单元数值 Mi: 第第

18、i群规模（单元个数，即群规模（单元个数，即SSU数量）数量） 本节中，本节中，M1 M2 MN M 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/723 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 M0: 总体单位总数总体单位总数 Yi: 总体中第总体中第i群的总值群的总值 yi: 样本中第样本中第i群的总值群的总值 Y : 总体总值总体总值 N i i MM 1 0 i M j iji YY 1 i M j iji yy 1 N i M j ij N i i i YYY 111 2021/6/724 : 总体中第总体中第i群的个体均值群的个体均

19、值 : 样本中第样本中第i群的个体均值群的个体均值 : 总体中的群总值的均值总体中的群总值的均值 : 样本中的群总值的均值样本中的群总值的均值 NYY N i i Y i i i M Y Y i y i i i M y y Y y nyy n i 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/725 : 总体中的个体均值总体中的个体均值 （各群（各群Mi M ） : 样本中的个体均值样本中的个体均值 （总体均值的估计）（总体均值的估计） Y M Y Y y M y y 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/726 : 总体方差

20、总体方差 : 总体群间方差总体群间方差 : 总体群内方差总体群内方差 N i M j iijw YY MN S 2 2 ) 1( 1 2 w S N i ib YY N M S 22 )( 1 2 b S 2 S N i M j ij YY M S 2 0 2 1 1 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/727 : 样本方差样本方差 : 样本群间方差样本群间方差 : 样本群内方差样本群内方差 n i M j iijw yy Mn s 2 2 ) 1( 1 2 w s n i ib yy n M s 22 )( 1 2 b s 2 s nM ij yy n

21、M s 2 2 1 1 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/728 二、估计量二、估计量 1. 均值估计量均值估计量 SRS，群规模相同，均为，群规模相同，均为M，则，则 的估计为：的估计为： 总值估计量总值估计量 Y n i i n i M j ij y n nM y yY 1 11 yNMY 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/729 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2. 估计量估计量 的性质的性质 一 性质性质1： 是是 的无偏估计，即的无偏估计，即 一因为是按简单随机方法抽取群

22、，所以样本群均因为是按简单随机方法抽取群，所以样本群均 值值 是总体群均值是总体群均值 的无偏估计，因而的无偏估计，因而 y yY y YyE Y M Y yE Y 2021/6/730 性质性质2： 的方差为的方差为 y 2 2 1 1 1 1 )( b N i i S nM f N YY n f yV 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/731 已知已知 ，又，又 故故 yMy 1 1 )()( 2 2 N YY n f yVyVM N i 2 22 2 1 ) 1( 1 1 1 )( b N i N i S nM f NM YY nM f N YY

23、 nM f yV 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/732 性质性质3： 的样本估计为的样本估计为 因为因为 是的是的 无偏估计，所以无偏估计，所以 是是 的无偏估计的无偏估计 )(yV 2 1 )( b s nM f yv 2 b s 2 b S)(yv)(yV 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/733 总体总值总体总值 据此，可直接推出其估计量及相应的方差据此，可直接推出其估计量及相应的方差 YNMY )() ( )()() ( 22 22 yvMNYv yVMNyNMVYV yNMY 4.2 4.2 群规

24、模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/734 三、整群抽样效率分析三、整群抽样效率分析 群内相关系数群内相关系数 表达式为：表达式为： 上式中的分子为（上式中的分子为（P119） 2 )( )( YYE YYYYE ij ikij 2) 1( )( MNM YYYY NM ikij 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/735 上式中的分母为：上式中的分母为： 故故 又可写为：又可写为： 2 2 1 )( S MN NM NM YY NM ij 2 ) 1)(1( )(2 SMNM YYYY NM ikij 4.2 4.2 群规模大小相等

25、时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/736 事实上，事实上， 的方差可用群内相关系数近似表示的方差可用群内相关系数近似表示 y 11 1 11 ) 1( ) 1(1 1 1 )( 1 )( 2 2 2 2 1 22 MS nM f MS NM NM n f N YY nM f yV M yV N i i 22 2 2 2 ) 1)(1() 1( 2 )( SNMMSNM YYYYYY YYYY N i M jkj ikijij N i M j ij N i i 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/737 简单随机抽样的方差公式为简单随机抽样的方

26、差公式为 由此可计算出等群抽样的设计效应为由此可计算出等群抽样的设计效应为 2 1 )(S nM f yVsrs ) 1(1 )( )( M yV yV deff srs 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/738 整群抽样的估计效率，与群内相关系数整群抽样的估计效率，与群内相关系数 的关系密切的关系密切 当当 1时，时，deffM 当当 0时，时，deff1 当当 为负时，为负时，deff1 的取值范围是的取值范围是 1 , 1 1 M 群内方差为群内方差为 群内方差与总体群内方差与总体 方差相等方差相等 群间方差为群间方差为 4.2 4.2 群规模大

27、小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/739 群内相关系数也可由样本统计量群内相关系数也可由样本统计量 估计估计 例一例一 22, bw ss 22 22 ) 1( wb wb sMs ss 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/740 当当N很大，而很大，而M相对于相对于NM很小时，很小时， 2 1 ) 1)(1( )(2 SNMM YYYY N i M kj ikij N i ib YY NM S 1 22 )( ) 1( 1 ) 1(1) 1()( 2 1 2 MSNMYY N i i 2 22 2 2 ) 1)(1( ) 1() 1(

28、 ) 1( ) 1( ) 1(1 SNMM SNMSNM SNM SNM M b b 2 22 ) 1(SM SSb 2 2 2 2 1 ) 1( 1 S S SNM SNM ww 222 ) 1() 1() 1( wb SMNSNSNM ) 1/() 1() 1( 222 NSMNSNMS wb )() 1( 1 ) 1() 1( 1 1 22 222 很大时NsMs M sMNsN NM S wb wb 22 22 ) 1( wb wb sMs ss 2021/6/741 i 240，187，162，185，206，197，154，173 188.00 27.19 210，192，184，

29、148，186，175，169，180 180.50 17.98 149，168，145，130，170，144，125，167 149.75 17.32 202，187，166，232，205，263，198，210 207.88 29.17 210，285，308，198，264，275，183，231 244.25 45.20 394，256，192，280，267，334，216，289 278.50 63.87 192，121，172，165，152，224，195，241 182.75 38.77 230，205，187，176，212，253，189，240 211.50 27.

30、48 274，208，195，307，264，258，210，309 253.13 44.52 232，187，150，182，175，212，169，222 191.13 28.29 342，294，267，309，258，198，244，286 274.75 43.70 228，294，182，312，267，254，232，298 258.38 43.52 i y i sij y 2021/6/742 解：解： 已知已知N510，n12，M8，fn/N=0.0235 故故 18.14186 )38.21838.258( )38.218188( 112 8 )( 1 )(38.218 12

31、 38.2585 .1801881 2 2 1 22 1 n i ib n i i yy n M s y n y元 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/743 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 于是于是 的置信度为的置信度为95的置信区间为的置信区间为 也即也即 013.123 .144)()( 3 .14418.14186 812 0235. 011 )( 2 yvys s nM f yv b 元元，93.24183.194 )013.12(96. 138.218 Y 2021/6/744 例例2 由例由例1数据，计算群内相

32、关系数与设计效应数据，计算群内相关系数与设计效应 解：由前已算出样本群间方差解：由前已算出样本群间方差 而群内方差为而群内方差为 18.14186 2 b s 68.1431)52.4398.1719.27( 12 1 )( 1 )( 1 11 )( ) 1( 1 222 11 22 1 11 22 见表最后一列 M j n i iiij n i n i M j iijw s n yy Mn yy Mn s 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/745 527. 0 68.1431) 18(18.14186 68.143118.14186 ) 1( 22

33、22 wb wb sMs ss 689. 4 527 . 0 ) 18(1 ) 1(1 Mdeff 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/746 若若 令为简单随机抽样的样本量令为简单随机抽样的样本量 则则 即可达到整群抽样即可达到整群抽样96户样本量相同的估计户样本量相同的估计 精度精度 srs n )(20 7 . 4 128 户 deff Mn nsrs 4.2 4.2 群规模大小相等时的估计群规模大小相等时的估计 2021/6/747 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 当群当群Mi规模不等时，有不同的抽取方法和估计方法规模不等时

34、，有不同的抽取方法和估计方法 一、等概抽样，简单估计一、等概抽样，简单估计 对总体均值对总体均值 的估计为的估计为 可以看出，此公式与上节（可以看出，此公式与上节（1）式同）式同 的方差估计为的方差估计为 Y n i i M j ij n i i My n y n yY i 111 )( 11 y 1 )( 1 )( 2 n yy n f yv n i 2021/6/748 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 此法特点此法特点 1估计量估计量 是是有偏有偏的的 1操作简便，易于掌握和使用操作简便，易于掌握和使用 1适用条件，群之间的规模差异不大时适用条件，群之间的规模差异不大

35、时 y 2021/6/749 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 二、等概抽样，加权估计二、等概抽样，加权估计 思路：以群规模思路：以群规模Mi为权数，得到群总和为权数，得到群总和yi， 进而求得群总和均值进而求得群总和均值 ，再除以群，再除以群 平均规模平均规模 y N M M N i 2021/6/750 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 估计公式为：估计公式为： 若若 未知，可用样本群平均规模未知，可用样本群平均规模 代替代替 n M m n i 0 1 M Y NM Ny M y y MnMn yM y n i n ii M 2021/6/751

36、4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 总体总量总体总量Y的估计为的估计为 总量估计的另一公式为总量估计的另一公式为 yMY 0 n i y n N Y 2021/6/752 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 估计量的方差为估计量的方差为 它的无偏估计为它的无偏估计为 均值估计均值估计 的方差为的方差为 1 )( )1 ( ) ( 2 2 N YY n fN YV N i 1 )( )1 ( ) ( 2 2 n yy n fN Yv n i y 1 )( )1 ( ) ( 1 )( 1 2 2 0 2 2 0 N YY nM fN YV M yV N i i

37、2021/6/753 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 三、等概抽样，比率估计三、等概抽样，比率估计 总体均值估计为总体均值估计为 这里辅助变量不是这里辅助变量不是Xi而是群规模而是群规模Mi 总体总量估计为总体总量估计为 n i i n i i M y y 1 1 n i i n i i M y MyMY 1 1 00 2021/6/754 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 估计量的方差分别是估计量的方差分别是 1 )( 1 1 )( 1 )( 1 22 2 1 2 2 N YYM Mn f N MYY Mn f yV N i ii N i ii 1

38、)( )1 ( )()() ( 2 2 222 0 N MYY n fN yVMNyVMYV N ii 2021/6/755 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 与与 的样本估计分别是的样本估计分别是 )2( 1 11 1 )( 1 )( 222 2 2 2 n ii nn ii n ii yMyMyy nmn f n Myy mn f yv )(yV) (YV 2021/6/756 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 )2( 1 1)1 ( 1 )( )1 ( ) ( 222 2 2 2 n ii nn ii n ii yMyMyy nn fN n Myy

39、 n fN Yv 2021/6/757 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 四、与群规模成比例不等概率抽样估计四、与群规模成比例不等概率抽样估计 按与按与Mi成比例的成比例的PPS抽样抽样 每次第每次第i群入选概率为群入选概率为 根据汉森赫维茨估计量根据汉森赫维茨估计量 和和 是是 和和 的无偏估计的无偏估计 0 M M Z i i n i n ii n t i it n ii y n My n y yM M y n M Zy n Y 11 1 Y y YY 2021/6/758 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 估计量的方差为估计量的方差为 n i i

40、n i i n i i i i N i i i N i i i i N i i yy nn Yv M yv yy nn M Y Z y nn Yv YYM nM YV M yV YYM n M Y Z Y Z n YV 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 1 0 2 0 2 1 0 2 1 )( ) 1( 1 ) ( 1 )( )( ) 1( ) ( ) 1( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 )( )()( 1 ) ( 2021/6/759 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 五、案例分析五、案例分析 背景：某县有背景：某县有33个乡，个乡，726个村，该年度个村，

41、该年度 某种作物总种植面积某种作物总种植面积30525亩，现采用等概抽样亩，现采用等概抽样 随机抽出随机抽出10个乡，要求估计全县总产量，计算个乡，要求估计全县总产量，计算 抽样误差。抽样误差。 调查资料如下：调查资料如下： 2021/6/760 样本乡样本乡 编号编号 村庄数村庄数 Mi 作物总产量（乡）作物总产量（乡） yi（万公斤）（万公斤） 种植面积（乡）种植面积（乡） xi（亩）（亩） iii Myy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 18 26 14 20 28 21 19 31 17 22.0 22.8 30.2 21.7 25.3 31.2 26.0 20.5 3

42、3.8 23.6 800 780 1000 700 880 1100 850 800 1200 830 1.4667 1.2667 1.1615 1.55 1.265 1.1143 1.2381 1.079 1.0903 1.3882 合计 209 257.1 8940 2021/6/761 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 分别采用几种方法估计分别采用几种方法估计 1. 等概抽样，简单估计等概抽样，简单估计 )(212.916262. 1726 )(262. 1 10 3882. 14667. 11 0 万公斤 万公斤 yMY y n y n i 2021/6/762 4

43、.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 19.966 110 )262. 13882. 1 ()262. 14667. 1 ( 10 )33101 (726 1 )( )1 ( ) ( 222 1 2 2 0 n yy n fM Yv n i i )( 1 .3119.966) (万公斤Ys 评价：方法虽简单，却是有偏估计。评价：方法虽简单，却是有偏估计。 2021/6/763 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 2. 等概抽样，加权估计等概抽样，加权估计 71.25 1 43.848)6 .230 .22( 10 33 n i n i y n y y n N Y

44、 2021/6/764 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 )(6 .399 .1567) ( 9 .1567 1 )( )1 ( ) ( 2 2 万公斤 Ys n yy n fN Yv n i 评价：虽是无偏估计量，但方差估计没有改观。评价：虽是无偏估计量，但方差估计没有改观。 2021/6/765 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 3. 等概抽样，比率估计等概抽样，比率估计 )(2 .268 .687) ( 8 .687 1 )( )1 ( ) ( 08.893 209 1 .257 726 1 2 2 1 1 0 万公斤 Ys n Myy n fN

45、Yv M y MY n i ii n i i n i i 评价：有偏，评价：有偏，n较大时比较理想。较大时比较理想。 2021/6/766 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 4. 其它辅助变量的估计其它辅助变量的估计 1 已知：种植面积已知：种植面积X30525（亩）（亩） 1 用种植面积为辅助变量用种植面积为辅助变量 1评价：和评价：和 相比，相比， 更小，更小， 1.因而有更好的估计效果。选择关系密切的辅助变量。因而有更好的估计效果。选择关系密切的辅助变量。 )(3 .1184.127) ( 84.127 1 ) ( )1 ( ) ( 85.87730525 8940

46、1 .257 2 2 万公斤 Ys n xRy n fN Yv x y XY n ii n i n i n ii xRy 2 ) ( n ii Myy 2 )( 2021/6/767 例例2 有下列资料有下列资料 分厂编号分厂编号 职工人数职工人数 Mi 累积区间累积区间 1 2 3 4 5 6 7 8 1200 450 2100 860 2840 1910 390 3200 11200 12011650 16513750 37514610 46117450 74519360 93619750 975112950 2021/6/768 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 n3

47、，采用，采用PPS抽样，随机抽取的抽样，随机抽取的3个数为个数为 02011，07972，10281。调查结果如下：。调查结果如下： 0356. 0 ) 1( )( )( 02. 2) 3200 5790 2100 4320 ( 3 11 579041604320 1 2 1 321 nn yy yv y n y yyy n i i n i i ， 2021/6/769 4.3 4.3 群规模不等时的估计群规模不等时的估计 5970209)0356. 0(12950)() ( 2615902. 212950 22 0 0 yvMYv yMY 故置信区间为故置信区间为 估计总量估计总量 0356. 002. 2 2 z 2021/6/770 4.4 4.4 总体比例的估计总体比例的估计 令令 ai 为第为第i群中具有某特征的单位数群中具有某特征的单位数