空间几何体的表面积和体积

1、6.2 6.2 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 表面积：表面积：几何体表面的面积；几何体表面的面积； 体积：体积： 几何体所占空间的大小；几何体所占空间的大小； 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 正方体表面积：正方体表面积：长方体的表面积：长方体的表面积： a 2 6aS a b c )(2bcacabS 正方体、长方体的表面积正方体、长方体的表面积 正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 h a 1-棱柱的展开图棱柱的展开图 正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它

2、的表面积？正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 侧面展开 正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 1-棱锥的展开图棱锥的展开图 正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 侧面展开 h h 正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 1-棱台的展开图棱台的展开图 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们 的侧面展开图还是平面图形，计算它们的的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各表面积就是计算它的各 个侧面面积和底面面积之和个侧面面积和底面面积之和 h 1-

3、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 O O r )(222 2 lrrrlrS 圆柱表面积 l r2 圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形2 rl 侧 S 2-圆柱的表面积圆柱的表面积 圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形 )( 2 lrrrlrS 圆锥表面积 r2 l O r 1 2 2 rl rl 侧 S 2-圆锥的表面积圆锥的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么？参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么？ )( 22 rllrrrS 圆台表面积 r2 l O r O r 2 r 圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开

4、图是扇环 1 2 2 2 rr l rr l rr l 侧 S 侧 S 2-圆台的表面积圆台的表面积 l O r O r l O r l O O r )(2lrrS 柱 )(lrrS 锥 )( 22 rllrrrS 台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么 关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？ rrr0 2-圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积 例例1 1一个圆台形花盆的盆口直径为一个圆台形花盆的盆口直径为20cm,20cm, 盆底直径为盆底直径为15cm, 15cm, 底部渗水圆孔直径为底部渗

5、水圆孔直径为 1.5cm,1.5cm,盆壁长盆壁长15cm,15cm,求花盆的表面积求花盆的表面积. . , ,结果精确到结果精确到 14. 3 2 1cm 15cm 20cm 15cm ）（ 例题讲解例题讲解 正方体正方体 长方体长方体圆柱圆柱 ShV ),(是高是底面面积 hS 一般柱体一般柱体 3-柱体、椎体与台体的体积柱体、椎体与台体的体积 圆柱圆柱 ShV 柱 圆锥圆锥 ShV 3 1 锥 (同底等高) 3-柱体、椎体与台体的体积柱体、椎体与台体的体积 ),( 3 1 是高是底面积 锥体 hSShV ), ( )( 3 1 是台体高分别是上下底面面积 台体 hSS hSSSSV ),

6、(是高是底面积 柱体 hSShV 思考思考: :你能发现三者之间的关系吗？你能发现三者之间的关系吗？ 3-柱体、椎体与台体的体积柱体、椎体与台体的体积 例例2 2一堆规格相同的铁制六角螺帽，共重一堆规格相同的铁制六角螺帽，共重5.8 kg,5.8 kg, 已知底面是正六边形，边长为已知底面是正六边形，边长为12mm,12mm,内孔内孔 直径为直径为10mm,10mm,高为高为10mm,10mm,问这堆六角螺帽问这堆六角螺帽 大约有多少个？大约有多少个？ , ,铁的密度铁的密度7.8g/cm7.8g/cm3 3 12mm 10mm 14. 3 ） （ 例题讲解例题讲解 人类的家地球 人类未来的家

7、火星 探索火星的航天飞船 4-球体的体积与表面积球体的体积与表面积 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？为什么？ 4-球体的体积与表面积球体的体积与表面积 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？ 4-球体的体积与表面积球体的体积与表面积 怎样求球的表面积和体积？怎样求球

8、的表面积和体积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成 平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？ 4-球体的体积与表面积球体的体积与表面积 h （方法一）实验：排液法测小球的体积（方法一）实验：排液法测小球的体积 4-球体的体积球体的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 4-球体的体积球体的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液

9、法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h H 曹冲称象曹冲称象 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 4-球体的体积球体的体积 假设将圆n等分，则 n=6 n=12 A1 A2 O A2A1 An O 1n3221 OAAOAAOAA SSSS 正多边形 )AAAAAA( p 2 1 1n3221 正多边形 pC 2 1 圆正多边形 时，当CC,Rpn 2 RR2R 2 1 S 圆 p A3 补充：圆面积公式的推导补充：圆面积公式的推导 4-球体的体积球体的体积 已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用V V表示球的体积表示球的体积. . （方法二）

10、（方法二） 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所 谓谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，。这样重复下去， 就达到了就达到了“割之又割，以至于不可再割，则割之又割，以至于不可再割，则 与圆合体而无所失矣与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的。这是世界上最早的 “极限极限”思想。思想。 4-球体的体

11、积球体的体积 , 2 1 RRr ,)( 22 2 n R Rr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用V V表示球的体积表示球的体积. . ,) 2 ( 22 3 n R Rr A O B2 C2 A O 4-球体的体积球体的体积 （方法二）（方法二） O R )1( i n R 半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i .,2,1,)1( 22 nii n R Rri i r O A 4-球体的体积球体的体积 ni n i n R n R rV ii ,2, 1,) 1 (1 2 3 2 n VVVV 21半球 )1(21 2 2223 n n n n R 6 ) 12()

12、1(1 2 3 nnn n n n R 6 )12)(1(1 1 2 3 nn n R ) 1( 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 n n nnn R 6 )12()1( )1(21 222 nnn n 4-球体的体积球体的体积 6 ) 1 2)( 1 1( 1 3nn RV 半半球球 .0 1 , n n时时当当 . 3 4 3 2 3 3 RV RV 从从而而 半半球球 3 3 4 RVR的球的体积为：定理：半径是 4-球体的体积球体的体积 在球的体积公式的推导过程中，使用了在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、分割、 求近似值、再将近似值转化为球的体积求近似值、再将近似

13、值转化为球的体积”的方法：的方法： 即先将半径即先将半径 n n 等分；再求出每一部分体积的近似等分；再求出每一部分体积的近似 值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当 n n 无限变大时，就可得到半球的体积无限变大时，就可得到半球的体积 4-球体的体积球体的体积 R 3 3 2 RV 半球 3 3 1 RV 圆锥 3 RV 圆柱 高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比 4-球体的体积球体的体积 拓展：拓展： 问题：问题：球面不能展开成平面图形，所以，球面不能展开成平面图形，所以， 求球的表面积无法用展开图求出，如求球的

14、表面积无法用展开图求出，如 何求球的表面积公式呢何求球的表面积公式呢? ? 4-球体的表面积球体的表面积 联想：联想：相关问题球的体积处理的思想方 法： 分割分割求近似和求近似和化准确和化准确和 分割成若 干“薄圆薄圆 片片” 球的体积近似于若 干个“小圆锥小圆锥”的 体积和。 在无限细分无限细分的过程 中得到球的体积 3 4 3 VR 4-球体的表面积球体的表面积 第第 一一 步：步： 分分 割割 球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为： n SSSS , 321 ， 则球的表面积：则球的表面积： n SSSSS 321 则球的体积为：则球的体积为： i V 设

15、“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为 i V n VVVVV 321 i S O O 4-球体的表面积球体的表面积 第第 二二 步：步： 求求 近近 似似 和和 i h 由第一步得：由第一步得： n VVVVV 321 nn hShShShSV 3 1 3 1 3 1 3 1 332211 iii hSV 3 1 O O i S i V O O 4-球体的表面积球体的表面积 RSV ii 3 1 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小 锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥 RSRSRSRSV ni 3 1 3 1 3 1 3 1 32 RSSSSSR ni 3 1 ).

16、( 3 1 32 3 3 4 RV 又又球球的的体体积积为为： R i S i V i h i S O O i V , 3 1 3 4 3 RSR Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 .4 2 RS从而 第第 三三 步：步： 化化 为为 准准 确确 和和 4-球体的表面积球体的表面积 例例5 5钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. . （变式（变式2 2）把钢球放入一个正方体的有盖纸盒）把钢球放入一个正方体的有盖纸盒 中中, ,至少要用多大的纸至少要用多大的纸? ? 用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ? 球内切于正方体球内切于正方体 22 15056cmS 侧 侧棱长为侧棱长为5cm5cm 例题讲解例题讲解 1.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2 2倍倍, ,体积变为原来的几体积变为原来的几 倍倍? ? 2.2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上, ,它的棱长是它的棱长是4cm,4cm, 求这个球的体积求这个球的体积. . 8倍倍 332 A AB B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 地球和火星都可以看作近似球体，地