三角形的内角和与外角和概要完整版

1、 学习目标：学习目标： 1. 1. 熟练运用三角形的内角和定理熟练运用三角形的内角和定理 2.2.理解并掌握三角形的外角性质理解并掌握三角形的外角性质 3. 3. 熟练运用三角形的外角和定理熟练运用三角形的外角和定理 预习导视： 1. 三角形的内角和是多少度？ 2.三角形的外角与不相邻的内角 有什么关系？ 3. 什么是三角形的外角和？ 4.三角形的外角和是多少度？ 撕一撕撕一撕 拼一拼拼一拼 活动一：活动一： 3 2 3 1 平角：平角：1800 三角形的三角形的内角和内角和是是1800。 证法：证法：延长延长BCBC到到D D，过，过C C作作CEBACEBA， A=1 A=1 ( (两直线

2、平行，内错角相等两直线平行，内错角相等) ) B=2 B=2 ( (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) ) 又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180 A+B+ACB=180A+B+ACB=180 2 1 E DC B A 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800. 辅助线的作法辅助线的作法 证法证法3：过过A作作AEBC， B=BAE (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) EAB+BAC+C=180 (两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补) B+C+BAC=180 C B E A 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800. 三角形的内角和定理三角

3、形的内角和定理 三角形的内角和等于三角形的内角和等于180180度。度。 A BC 几何语言：几何语言： 在在ABC中中 A+ B+ C=180O A=180O (B+ C) A+ B = 180O -C 做一做 1、n=_ x=_ y=_ n 81 72 x x 122 y 31 2729 59 直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的两个锐角互余。 结论结论 2 2、在直角三角形中、在直角三角形中,C,C是直角，是直角， 则则AA与与BB的和是多少？的和是多少？ 三角形按角大小分类：三角形按角大小分类： 三角形三角形 锐角三角形锐角三角形（三个角为锐角三个角为锐角） 钝角三角形钝角三角形（一

4、个角为钝角一个角为钝角） 直角三角形直角三角形（一个角为直角一个角为直角） 斜三角形斜三角形 （1）一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角？个直角？ （2）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角？个钝角？ （3）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角？个锐角？ （4）任意）任意 一个三角形中，最大的一个角一个三角形中，最大的一个角 的度数至少为的度数至少为 . 1 1 2 60 在在ABC中，中， （1）已知）已知A=80，B=52， 则则C= （2）已知）已知A=80， B-C= 40 则则C= （3）已知）已知A +B =100， C =2A， 能否求能否求A 、B、

5、C的度数？的度数？ （4）已知）已知A ：B ： C =1：3：5，能，能 否求否求A 、B、C的度数？的度数？ 48 30 如图如图, ,如果你如果你从从A A走到走到B,B,再转向再转向C C走走, ,能画能画 出你出你转弯的角转弯的角吗吗? ? A B C D BD是是AB的延长线的延长线BC是是 ABC的边的边 定义定义: :三角形的三角形的一边一边与与另一边的延长线另一边的延长线 所组成的角叫做所组成的角叫做三角形的外角三角形的外角. 三角形的三角形的 外角外角 相邻的相邻的 内角内角不相邻不相邻 的内角的内角 不相邻不相邻 的内角的内角 三角形的外角与相邻内角互为补角。三角形的外角

6、与相邻内角互为补角。 与与+ 的大小的大小 有什么关系？有什么关系？ 发现发现： 思考：如何说明思考：如何说明 ACD= B+ ACD= B+ A A D A BC 结论：结论：三角形的一个外角等于与三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和它不相邻的两个内角的和。 D ACD+ ACB =180 A+ B+ ACB =180 所以所以， A+ B= ACD 解：解： A BC ACB是是 ABC的外角的外角 ACB= A+ B 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？ A B C D 2、三角形的一个外角、三角形的一个外角等于等于与它与

7、它不相邻的不相邻的两个内角的和。两个内角的和。 3、三角形的外角、三角形的外角大于大于任何一个与它任何一个与它不相邻的不相邻的内角。内角。 ACD= A+ B ACD+ ACB=180 ACD A ACD B 三角形的一个外角与任何一个三角形的一个外角与任何一个 与它不相邻的内角之间又有什与它不相邻的内角之间又有什 么关系呢？么关系呢？ 1、外角、外角+ +相邻的内角相邻的内角=180 =180 三角形的外角和三角形的外角和 对于三角形的每个内角，从与它相邻的对于三角形的每个内角，从与它相邻的 两个外角中取一个，这样取得的三个外角两个外角中取一个，这样取得的三个外角 相加所得的和，叫做相加所得

8、的和，叫做三角形的外角和三角形的外角和。 思考：三角形的内角和等于思考：三角形的内角和等于180， 那么三角形的外角和等于多少度？那么三角形的外角和等于多少度？ 三角形外角和三角形外角和 B C A ） ） ） 1 2 3 所以：所以：1+ 2+ 3= 360 1+ = 180 2+ = 180 3+ = 180 三式相加可以得到三式相加可以得到 1+ 2+ 3+ + + = . ACB BAC ABC ACB BACABC540 而而 ACB +BAC +ABC= 180 归纳结论归纳结论： 三角形的外角和等于三角形的外角和等于360 如图：如图：125，295，330 ，则，则4_ A D

9、 E C B 1 4 3 2 30 练习练习 练习练习 1、如图：、如图：P是是ABC内的一点，延长内的一点，延长BP交交AC 于点于点D,用用“”表示表示1、2、A的大小关的大小关 系系_. A BC D P 1 2 A 2 1 求证：求证： A1 2030 51 若若ABP=20ACP=30 A=51, 求求1的度数？的度数？ 在在ABC 中中, 1 2 1 6 A= B=C , 求该三角形的形状。求该三角形的形状。 如图，在如图，在ABCABC中，已知中，已知ADAD是是ABCABC角平分线，角平分线， DEDE是是ADCADC的高线，的高线，BB6060 ，CC4545 ， 求求ADB

10、ADB和和ADEADE的度数的度数 A BCD E 如图，如图，AD、AE分别是分别是ABC的角的角 平分线和高，若平分线和高，若B = 46， C = 54 ，你能求出，你能求出DAE的的 度数吗？度数吗？ E C A B D 一块模板如图所示，按规定一块模板如图所示，按规定AF、DE 的延长线相交成的延长线相交成85角，因交点不在板角，因交点不在板 上，不便测量，工人师傅连结上，不便测量，工人师傅连结AD，测得，测得 FAD=34，ADE=63，那么这块，那么这块 模板符合不符合规定？为什么？模板符合不符合规定？为什么？ DA F E M 34 63 如图如图,某同学把一块三角形的玻璃打某

11、同学把一块三角形的玻璃打 碎成三片碎成三片,现在他要到玻璃店去配一现在他要到玻璃店去配一 块形状完全一块形状完全一 样的玻璃样的玻璃,那么最省那么最省 事的办法是事的办法是 ( ) (A)带带去去(B)带带去去 (C)带带去去(D)带带和和去去 C 1 1、将一副三角板按如图方式放置，则两条、将一副三角板按如图方式放置，则两条 斜边所形成的钝角斜边所形成的钝角11_ 1 如图所示：求如图所示：求A+B+C+D+E 的度数？的度数？ E D C B A 12 解：解：1 A+ D （三角形的外角等于与它（三角形的外角等于与它 不相邻的两内角的和）不相邻的两内角的和） 又又2 B+ E （三角形的

12、外角等于与它不（三角形的外角等于与它不 相邻的两内角的和）相邻的两内角的和） A+B+C+D+E =(A+ D)+(B+ E)+C =1+2+C=180 挑战！ 2 2 1 1 A A B B P P C C 思考题思考题 证明：证明：PA+PBAB (1) PA+PCAC (2) PB+PCBC (3) (1)+(2)+(3)得得 2PA+2PB+2PCAB+AC+BC 2 2 1 1 PA+PB+PC (AB+AC+BC) 如图如图,P为为ABC内任一点内任一点. 试说明试说明PA+PB+PC (AB+BC+AC) 2 2 1 1 C B A 在在ABC中，中，A=， B和和 C的平分线相

13、交于，的平分线相交于， （）求（）求的度数。的度数。 （）（） 将将A换个度数，那求出是多少？换个度数，那求出是多少？ 你能体会你能体会A和和有什么关系吗？有什么关系吗？ + 2、 ABC中，中，BE为为ABC的平分线，的平分线， CE为为ACD的平分线，两线交于的平分线，两线交于E点。点。 你能找出你能找出E与与A有什么关系吗？有什么关系吗？ E DCB A 例例1如图，是如图，是ABC的边的边BC上一点，上一点， B=BAD， ADC=80 ， BAC=70. 求：求： 解解 ： (1) ADC是是ABD的外角的外角 (已知已知) ADC=B+BAD=80 （三角形的一（三角形的一 个外角

14、等于与它不相邻的两个内角的和）个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又又 B=BAD（已知）（已知） （2） B+ BAC+ C= 180 C= 180 - B - BAC = 180 -40 -70 =70 （三角形的内角和为（三角形的内角和为180 ） （1） B的度数；（的度数；（2） C的度数。的度数。 A B D C 80 （等量代换）40 2 1 80B （等式的性质）（等式的性质） 3.3.、三角形的外角性质：、三角形的外角性质： 1. 1.三角形的内角和等于多少度？三角形的内角和等于多少度？ 4.4.三角形的外角和等于多少度？三角形的外角和等于多少度？ 5 5 、在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外、在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外 角的性质来找数量关系；涉及图形时，可角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条先把已知条 件尽可能的在图中标出