材料力学 - 第九章

1、第九章第九章 组合变形组合变形 9-1 9-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 9-2 9-2 斜弯曲斜弯曲 9-3 9-3 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 9-4 9-4 偏心压缩偏心压缩 9-5 9-5 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 目录 轴向拉压轴向拉压 Me Me 扭转扭转 F 平面弯曲平面弯曲 基本变形回顾基本变形回顾 F F 9-1 9-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 A FN F F F FN F P n M I max P n M W MeMe Me Mn Mn max max z z I yM 中性层中性层 x y z 主轴平面主轴平面xy

2、(Mz) ) 中性轴中性轴 z z W M min max FQy Mz z x y (My) ) 中性轴中性轴 y y I zM y y W M min max 中性层中性层 x y z 主轴平面主轴平面xz FQz My y x z 事实上，基本变形不过是简化模型，只有在事实上，基本变形不过是简化模型，只有在 一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情 况下才有可能发生。况下才有可能发生。 FF q F FF 当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计 算，将会引起较大的误差。算，将会引起较大的误差。 结构上同

3、时发生两种或两种以上的基本变形。结构上同时发生两种或两种以上的基本变形。 斜弯曲：两平面弯曲的组合斜弯曲：两平面弯曲的组合 组合变形 压弯组合变形压弯组合变形 A B FAx FAyP F Fx Fy 压弯组合变形压弯组合变形 偏心压缩偏心压缩 拉弯组合变形拉弯组合变形 弯扭组合变形弯扭组合变形 F 组合变形的形式有很多种，本章学习组合变形的形式有很多种，本章学习四种典四种典 型形式型形式。 1. 1. 斜弯曲斜弯曲 2. 2. 拉伸（压缩）与弯曲组合拉伸（压缩）与弯曲组合 3. 3. 偏心拉伸与压缩偏心拉伸与压缩 4. 4. 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合 应注意通过这四种典型组合变形的学习，

4、学应注意通过这四种典型组合变形的学习，学 会一般组合变形的计算原理和方法。会一般组合变形的计算原理和方法。 组合变形下的计算组合变形下的计算 前提条件：前提条件：小变形小变形 分析方法分析方法：叠加法叠加法 叠加原理叠加原理 构件在小变形和服从胡克定理的条件下，构件在小变形和服从胡克定理的条件下， 力的独立性原理是成立的。即力的独立性原理是成立的。即所有载荷作所有载荷作 用下的内力、应力、应变等是各个单独载用下的内力、应力、应变等是各个单独载 荷作用下的值的叠加。荷作用下的值的叠加。 用强度理论进行强度计算。用强度理论进行强度计算。 基本解法：基本解法： 外力分解或简化：使每一组力只产生一个方

5、向的一种外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种 基本变形；基本变形； 分别计算各基本变形下的内力及应力；分别计算各基本变形下的内力及应力； 对危险截面上危险点进行应力分析；对危险截面上危险点进行应力分析； 平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲 9-2 9-2 斜斜 弯弯 曲曲 斜弯曲斜弯曲 受力特征：受力特征：外力作用线通过截面的弯曲中心，外力作用线通过截面的弯曲中心， 但不与任一形心主轴重合或平行；但不与任一形心主轴重合或平行； 变形特征：变形特征：变形后的挠曲线不与外力作用面变形后的挠曲线不与外力作用面 相重合或平行。相重合或平行。 ACB F1 F2 平面弯曲平面弯曲 斜弯曲斜弯曲 1.

6、1.分解分解 将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到 两个正交的平面弯曲。两个正交的平面弯曲。 斜弯曲的研究方法斜弯曲的研究方法 2.2.叠加叠加 分别研究两个平面弯曲；分别研究两个平面弯曲； 然后叠加计算结果。然后叠加计算结果。 分析图示悬臂梁斜弯曲时的强度计算。分析图示悬臂梁斜弯曲时的强度计算。 F y z y z F l x 斜弯曲的强度计算斜弯曲的强度计算 平面弯曲（绕平面弯曲（绕z轴）轴） + 平面弯曲（绕平面弯曲（绕y轴）轴） = + F A B y z x y z Fy=Fcos x y z Fz=Fsin x 解：解：1. 1. 外力分析外

7、力分析 + Mz图图 Flcos My图图 Flsin cos max FlM z sin max FlM y 2. 2. 内力分析内力分析 Fy=Fcos z y x Fz=Fsin y z x 坐标为坐标为x x的任意截面上的任意截面上()()cos ()()sin zy yz MF lxF lx MF lxF lx Mz My 固定端截面固定端截面 剪力对梁强度的影响较小，忽略。 z I y I M I zM I yM yzy y z z sincos z z I yM y y I zM + 横截面上任一点横截面上任一点K（y，z）处的正应力）处的正应力: 注意：正应力注意：正应力 的正

8、负号判定。判定拉的正负号判定。判定拉 还是压。还是压。 , y z x Mz K y z x My K 3.3.应力分析应力分析 + Mz图图 Flcos My图图 Flsin cos max FlM z sin max FlM y （1 1）确定危险截面）确定危险截面: : 4. 4. 强度计算强度计算 固定端截面固定端截面 z y Fy=Fcos x y z Fz=Fsin x 先确定中性轴的位置；先确定中性轴的位置； a. a. 若截面有棱角（如矩形、工字形等）若截面有棱角（如矩形、工字形等） （）确定危险点，并计算出最大正应力。（）确定危险点，并计算出最大正应力。 0 sincos 0

9、0 z I y I yz 中性轴方程中性轴方程 （1 1）中性轴是一条过截面形心）中性轴是一条过截面形心 的直线；的直线； 斜率斜率 0 0 tantan z y yI zI 设（设（y0，z0）是中性轴上的任一点。）是中性轴上的任一点。 z I y I M yz sincos 中性轴位置的确定中性轴位置的确定 y z F 中性轴中性轴 （ y0，z0 ） 00 sincos 0z I y I M yz 中性轴中性轴：中性轴上各点处的正应力均为零。：中性轴上各点处的正应力均为零。 （2） 当当IzIy， ，中中 性轴与荷载线不垂直。性轴与荷载线不垂直。 tantan z y I I 而挠曲线与

10、中性轴而挠曲线与中性轴 垂直，所以挠曲线垂直，所以挠曲线 与荷载线不在同一与荷载线不在同一 平面内，为平面内，为斜弯曲斜弯曲。 y z x z y F 中性轴中性轴 荷载作用面荷载作用面 荷载作用面荷载作用面 挠曲线平面挠曲线平面 z y 中性轴中性轴 再作中性轴的平行线，再作中性轴的平行线， 与横截面边界相切，切点与横截面边界相切，切点 便是危险点。便是危险点。 D1(y1,z1) D2 D D1 1、D D2 2为危险点。为危险点。 1 max 1 max max z I M y I M y y z z + = y y z z c t W M W M max max max max m m

11、 中性轴中性轴 maxt D1 D2 若截面若截面有棱角有棱角，也可无需定出中性轴，由直接观察得出，也可无需定出中性轴，由直接观察得出， 危险点必在棱角处。危险点必在棱角处。 Mymax y z x D1 D2 y y W M max z z W M max Mzmax y z x D1 D2 z y 中性轴中性轴 b. b. 若截面无棱角，如何确定危险点若截面无棱角，如何确定危险点? ? D1(y1,z1) D2 D1、D2为危险点。为危险点。 1 max 1 max max z I M y I M y y z z （3 3）强度条件）强度条件 危险点危险点D1、D2处于处于单向应力状态单向

12、应力状态。 D1maxt D2 maxc max 若许用拉、压应力不同，则拉、压强度均应满足。若许用拉、压应力不同，则拉、压强度均应满足。 D1 D2 挠度： 22 zy fff tantan y z y z I I f f 正方形 zy II 3 3 y y z F l f EI 3 3 z z y F l f EI 矩形 yz II 斜弯曲斜弯曲 平面弯曲平面弯曲 5.5.变形计算变形计算 z y F 中性轴中性轴 fz fy 挠曲线平面 f 自由端两个方向的挠 度分别为fy、fz 2634 h b y z q 例例1 矩形截面木檩条，矩形截面木檩条，L=3m， q=800N/m， =12

13、MPa，选择截面尺寸。，选择截面尺寸。 N/m358447. 0800sinqqz 解：解： y y z z W M W M max max max N/m715894. 0800cosqqy mN403 8 3358 8 22 max Lq M z y mN804 8 3715 8 2 2 max Lq M y z q L AB 6 1 403 6 1 804 22 hbbh qz qy cos y FF sin z FF 4 LF M y z 4 LF M z y z z y y W M W M max MPa8 .217 一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑,可以简化为简支梁,如图

14、示. 图中l4m。大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力160MPa。起吊 的重物重量F80kN，且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角5，试 校核吊车大梁的强度是否安全。 F 2L2L 3 692 y Wcm 3 70.8 z Wcm max 0,115.6MPa 例例2 y z 一、概念一、概念 外力外力 轴向力轴向力 横向力横向力 轴力轴力 弯矩弯矩 剪力（忽略）剪力（忽略） 内力内力 二、计算方法二、计算方法 1.分别计算轴向力和横向力引起的正应力；分别计算轴向力和横向力引起的正应力； 2.按叠加原理求正应力的代数和，即可。按叠加原理求正应力的代数和，即可。 x q FF y 正应

15、力正应力 正应力正应力 应力应力 9-3 9-3 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 三、注意事项三、注意事项 1.若许用拉、压应力不同，最大拉、压应力应分别满若许用拉、压应力不同，最大拉、压应力应分别满 足拉、压强度条件。足拉、压强度条件。 2.对于对于EI较大的杆，由于横向力产生的挠度与横截面较大的杆，由于横向力产生的挠度与横截面 尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩M=Fy可以忽可以忽 略，叠加原理可以应用。略，叠加原理可以应用。 如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略， 则则M=Fy不

16、能忽略，这时叠加法不再适用，应考虑横向力不能忽略，这时叠加法不再适用，应考虑横向力 与轴向力之间的相互影响。与轴向力之间的相互影响。 x q FF y 分析步骤：分析步骤： 建立计算简图及外力分析建立计算简图及外力分析; ; 变形分析；变形分析； 内力分析；内力分析； 根据强度理论，确定危险截面和危险点，根据强度理论，确定危险截面和危险点， 并进行强度计算。并进行强度计算。 += 10-3 += += A F c ( ,max)M t ( ,max)M c A F W Fl t max, A F W Fl c max, max, t max, c ( ,max)M t z Fl W ( ,ma

17、x)M c Z Fl W t c 一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压力F01920kN，桥墩 墩帽及墩身的自重F1330kN，基础自重F21450kN，车辆经梁部传下的水平制动力 FT300kN。试绘出基础底部AB面上的正应力分布图。已知基础底面积为bh 8m3.6m的矩形。 210 FFFFNkN3700 kNmFM T 17408 . 5 max Z zN I yM A F min max MPa MPa 229. 0 027. 0 229. 0027. 0 (-) (1)基础底部AB截面上的内力 （压） (2) AB截面上的最大应力 例例3 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸

18、如图所示，材料的许铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许 用拉应力用拉应力 t30MPa，许用压应力，许用压应力 c120MPa。试按。试按 立柱的强度计算许可载荷立柱的强度计算许可载荷F。 2 mm15000A mm75 0 z 47 mm1031. 5 y I mm125 1 z 解：解：（1）计算横截面的形心、面积、惯性矩）计算横截面的形心、面积、惯性矩 （2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力 FFN () () 3 3 3507510 42510N m MF F F F 350F350 N F M 150 15050 50 0 z 1 z 1 y y 例例4 2 mm150

19、00Amm75 0 z 47 mm1031. 5 y Imm125 1 z （3 3）立柱横截面的最大应力）立柱横截面的最大应力 max. t max. c ()Pa667 10151031.5 075.010425 35 3 0 max. F FF A F I Mz N y t FFN ()N.m10425 3 FM ()Pa934 10151031.5 125.010425 35 3 1 max. F FF A F I Mz N y c F350 N F M （4 4）求压力）求压力F F max. t max. c F t 667 max. F c 934 max. F350 N F M

20、 tt F 667 max. N45000 667 1030 667 6 t F cc F 934 max. N128500 934 10120 934 6 c F 45kNN45000F许许可可压压力力为为 O z y O O x y z A F e zF yF yF zFA 一、偏心拉伸或压缩一、偏心拉伸或压缩 外力与轴线平行，外力与轴线平行， 但不与轴线重合。但不与轴线重合。 9-4 偏心压缩偏心压缩 O z y O O x y z A F e zF yF yF zFA F Mz =FyF My=FzF 二、横截面上任意点的应力二、横截面上任意点的应力 1. 将力将力F 向形心简化；向形

21、心简化； F：轴向压缩：轴向压缩 Mz：绕：绕z轴的纯弯曲轴的纯弯曲 My：绕：绕y轴的纯弯曲轴的纯弯曲 O z y O O x y z zF zz y F yy F A MyF yy II Mz F zz II FF zy Fy yFz zF AII y B z F Mz =FyF My=FzF 3. 组合应力：组合应力： 2. 任一点（任一点（y,z）的正应力分别为：）的正应力分别为： 22 yyzz AiIAiI， 22 1 FF zy y yz zF Aii B O z y zPA yP az ay 三、中性轴位置的确定三、中性轴位置的确定 1.设（设（y0，z0）是中性轴上任一点，得

22、中性轴方程）是中性轴上任一点，得中性轴方程 y0=f(z0)为：为： 直线方程直线方程 00 22 0(1) FF zy y yz zF Aii 00 22 10 FF zy y yz z ii 3中性轴在中性轴在y、z轴上的截轴上的截 距分别为：距分别为： 2 2 y z yz FF i i aa yz ， 4. ay、az分别与分别与yF、zF符号相反，故中性轴与偏心压力符号相反，故中性轴与偏心压力F 的作的作 用点位于截面形心的两侧。用点位于截面形心的两侧。 2中性轴是不过截面形心的直线，中性轴是不过截面形心的直线， 将截面分成两个区。将截面分成两个区。 22 1 FF zy y yz

23、zF Aii （ y0，z0 ） O z y 四、确定危险点、建立强度条件四、确定危险点、建立强度条件 作中性轴的平行线，与横截面作中性轴的平行线，与横截面 边界相切，切点边界相切，切点D1和和D2便是危便是危 险点。险点。 11 max FF c zy Fy yFz zF AII FF zy Fy yFz zF AII 危险点危险点D1、D2处于单向应力状态处于单向应力状态 D1 maxc 22 max FF t zy Fy yFz zF AII c t D1(y1，z1) D2 (y2，z2) F F l a S 1 p p W W T T z z z z W W M M 3 p p W

24、W T T z z z z W W M M M ( ) Fl T ( ) Fa 9-5 9-5 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 z Mz T 4 3 2 1 y x F 形心o T =Fa 形心o 1 p p W W T T z z z z W W M M 3 p p W W T T z z z z W W M M Z M W p W T () 2 2 max 4 2 1 2 xyyx yx () 2 2 min 4 2 1 2 xyyx yx 22 4 2 1 2 22 4 2 1 2 0 0 Z M W P W T 22 1 4 2 1 2 22 3 4 2 1 2 0 2 第三强度理论：第三强度理论： 313r 4 22 3 r 2 PZ WW 22 3 1 r Z MT W 圆截面圆截面 Z M W p W T 22