编号76选修4-5不等式选讲-第四讲---数学归纳法证明不等式.ppt1

1、第四讲第四讲 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 ., , ,|sin|sin| :, ,. , , Nnxnxx nNnn Nnnn nnNnn nNnn n n 111 52 2 0 0 例如例如等式等式数多个正整数相关的不数多个正整数相关的不 就出现了与无就出现了与无为表达这样的关系为表达这样的关系关系成立关系成立 都有某种不等都有某种不等任意正整数任意正整数 的的或不小于某个数或不小于某个数任意正整数任意正整数 对于对于人们会遇到这样的情况人们会遇到这样的情况在数学研究中在数学研究中 . , 数学归纳法数学归纳法方法方法用一种重要的数学推理用一种重要的数学推理 我们将使我们将使式

2、的证明式的证明这一讲将讨论这类不等这一讲将讨论这类不等 . . . . ? , 97531 7531 531 31 121531 证明你的结论证明你的结论吗吗 的结果的结果 你能猜出你能猜出通过计算下面式子通过计算下面式子思考思考 n n ? . :, 怎样证明它呢怎样证明它呢 由此猜想由此猜想别是别是上面四个式子的结果分上面四个式子的结果分 nn nn 1121531 5432 .,. , , ,. : 成证明成证明通过验证的方法无法完通过验证的方法无法完所以所以证证 我们无法对它们一一验我们无法对它们一一验但是正整数是无限多个但是正整数是无限多个 时这个等式成立时这个等式成立甚至甚至 虽然

3、我们可以验证虽然我们可以验证任何正整数时都成立任何正整数时都成立 为为在在要证不等式要证不等式这个问题的特点是这个问题的特点是分析分析 0001000001543 21 n n n . , 象象的的方方法法能能够够处处理理完完无无限限多多个个对对 就就骤骤必必须须寻寻找找一一种种有有限限个个步步要要证证明明这这个个问问题题 ., , ;, ,. , , . 都能全部倒下都能全部倒下不论有多少块骨牌不论有多少块骨牌后后 最最块骨牌倒下块骨牌倒下就可导致第就可导致第块骨牌倒下块骨牌倒下 而第而第块骨牌倒下块骨牌倒下就可导致第就可导致第块骨牌倒下块骨牌倒下 由于第由于第块骨牌块骨牌只要推倒第只要推倒

4、第这样这样骨牌倒下骨牌倒下 则一定导致后一块则一定导致后一块若前一块骨牌倒下若前一块骨牌倒下骨牌骨牌 两块两块码放时保证任意相邻的码放时保证任意相邻的放骨牌的游戏放骨牌的游戏 这是一种码这是一种码戏说起戏说起我们先从多米诺骨牌游我们先从多米诺骨牌游 3 22 11 :,件有两个件有两个使所有骨牌都倒下的条使所有骨牌都倒下的条可以看出可以看出 ;第一块骨牌倒下第一块骨牌倒下1 ., :,. , 块也倒下块也倒下相邻的第相邻的第倒下时倒下时 块块当第当第系系事实上就是一个递推关事实上就是一个递推关条件条件其中其中倒下倒下 一块一块前一块倒下一定导致后前一块倒下一定导致后任意相邻的两块骨牌任意相邻的

5、两块骨牌 1 2 2 k k . , 倒下倒下 以全部以全部那么所有的骨牌一定可那么所有的骨牌一定可成立成立只要保证只要保证21 ., , 1321kk一队一队到大依次排列为无限长到大依次排列为无限长 由小由小我们设想将全部正整数我们设想将全部正整数类比多米诺骨牌游戏类比多米诺骨牌游戏 . , , 成立成立式式 即这时等即这时等的左右两边都等于的左右两边都等于等式等式时时当当 可以验证可以验证 111n . , , 的自动递推关系的自动递推关系由前到后由前到后的的 诺骨牌那样诺骨牌那样则可以建立一种像多米则可以建立一种像多米也成立也成立式式 时等时等能推出能推出成立成立时等式时等式若从若从 可

6、以想象可以想象 12knkn :,这个等式的方法这个等式的方法就自然地想到一种证明就自然地想到一种证明综合综合21 ;成立成立时等式时等式首先证明首先证明 11 n .中中的的递递推推关关系系然然后后证证明明2 .,:, ,; , 成立成立等式等式对于任意正整数对于任意正整数就可以说就可以说下去下去 如此继续自动递推如此继续自动递推成立成立时等式时等式递推出递推出 成立成立时等式时等式再由再由成立成立时等式时等式递推出递推出 成立为起点成立为起点时等式时等式就可由就可由完成以上两步后完成以上两步后 n n nn n 3 22 1 : 证明等式证明等式下面按照上述思路具体下面按照上述思路具体 .

7、 , 成立时等式 即这左右两边都等于式时当证明 111n . , kk kkn kk 1121 53112 即成立时等式假设当 .,的左右两边时式再考虑在这个假设下 1kn .112111121 121531 11 kkk k kkk k 左边 1121 1 kk k 11 1 k k .右边 .成立时等式所以当 1kn . Nnnn nn 1121531 可知由21 , . :. ,; , ,:, , 都成立都成立 命题命题正整数正整数对于从起点向后的所有对于从起点向后的所有 由这两步保证由这两步保证的递推关系的递推关系由前向后由前向后证明证明 然后然后先作归纳假设先作归纳假设第二步第二步立

8、的一个起点立的一个起点 从而奠定了命题成从而奠定了命题成时命题成立时命题成立证明证明 第一步第一步我们用了两个步骤我们用了两个步骤总结上述过程总结上述过程 Nn n1 : , , 下两个步骤下两个步骤 可以用以可以用以都成立时都成立时的所有正整数的所有正整数正整数正整数 对于不小于某个对于不小于某个当要证明一个命题当要证明一个命题一般地一般地 nn0 ;时时命命题题成成立立证证明明当当 0 1nn . , 时命题也成立时命题也成立证明证明 时命题成立时命题成立且且假设当假设当 1 2 0 kn nkNkkn . . , inductionalmathematic n 法称为法称为 这种证明方这

9、种证明方的所有正整数都成立的所有正整数都成立不小于不小于 就可以断定命题对于就可以断定命题对于在完成这两个步骤后在完成这两个步骤后 0 数数学学归归纳纳法法 ? , 基本思想是什么基本思想是什么 你认为数学归纳法的你认为数学归纳法的结合上面的证明结合上面的证明思考思考 ;, ,. ,. , 水水没有它递推就成无源之没有它递推就成无源之后面递推的出发点后面递推的出发点 成为成为时命题成立时命题成立第一步确定了第一步确定了可可 缺一不缺一不这两步都非常重要这两步都非常重要二步是假设与递推二步是假设与递推 第第第一步是奠基第一步是奠基骤中骤中在数学归纳法的两个步在数学归纳法的两个步 00 nnnn

10、. , , , 成证明成证明 从而完从而完以后的每一个正整数以后的每一个正整数数无限传递到数无限传递到 向后一个数一个向后一个数一个开始开始的范围就能从正整数的范围就能从正整数 立立成成命题命题借助它借助它推关系推关系一种递一种递确认确认第二步第二步 0 0 n n . , 基本原理基本原理以上就是数学归纳法的以上就是数学归纳法的握上握上的把的把 在对有限情况在对有限情况没有它我们就只能停留没有它我们就只能停留的关键的关键 限的飞跃限的飞跃递推是实现从有限到无递推是实现从有限到无因此因此, .归纳法的基本过程下面的框图表示了数学 .,命题成立对所有的 0 nnNnn 奠基假设与递推 . : 时

11、命题成立 证明 Nn nn 0 0 1 . , : 时命题也成立 则时命题成立 若证明 1 2 0 kn nkkn . , , ? 到较好的效果到较好的效果 用数学归纳法可能会收用数学归纳法可能会收的方法证明的方法证明 如果不易用以前学习过如果不易用以前学习过相关的命题相关的命题 数数整整些与无限多个正些与无限多个正对于一对于一呢呢题题 用于证明什么样的命用于证明什么样的命学归纳法适学归纳法适数数 ? ?, 为什么为什么 为何值为何值应取应取对于全体正整数都成立对于全体正整数都成立 明某命题明某命题如果要用数学归纳法证如果要用数学归纳法证思考思考 0 n .:整除整除能被能被证明证明例例651

12、 2 Nnnn . , ,; , , 整除整除被被 也能够也能够证明证明整除的前提下整除的前提下够被够被 能能即在假设即在假设第二步应明确目标第二步应明确目标命题成立命题成立 时时第一步应证第一步应证若用数学归纳法证明若用数学归纳法证明正整数正整数 体体它涉及全它涉及全的命题的命题除有关除有关这是一个与整这是一个与整分析分析 6 1516 5 1 3 3 kk kk n . , 命题成立 整除显然能够被时当证明6511 2 nnn . ., 整除够被 能即命题成立时假设当 6 512 3 kkkkn 55133151 1 23 3 kkkkkk kn,时当 6335 23 kkkk . 613

13、5 3 kkkk . ,. , , 命题成立 时当因此整除能够被即 从而整除能够被 故是偶数而整除能够被由假设知 16151 6135613 165 3 3 3 knkk kkkkkk kkkk . , 整除能够被 即命题对一切正整数成立知由 6 521 3 Nn nn . , 牢记在心牢记在心的目标的目标 证明证明把把要注意使用归纳假设要注意使用归纳假设在证明归纳递推时在证明归纳递推时 .? ,. , 证明你的结论证明你的结论这样的直线共有多少条这样的直线共有多少条 直线直线过这些点中任意两点作过这些点中任意两点作都不在同一条直线上都不在同一条直线上 其中任意三点其中任意三点个点个点平面上有

14、平面上有例例32 nNnn . :, 猜想成立猜想成立然后再用数学归法证明然后再用数学归法证明 归纳出一个猜想归纳出一个猜想形中形中可以先从有限个点的情可以先从有限个点的情分析分析 . , 条的直线共有 这样个点中任意两点作直线过时当解 3 33 n .,., , ,., 条直线个点共有过因此条共有作直线 中任意一个点与点过条直线有 过点记它为个点共有时当 3343 3 44 432132 14321 PPPPPP PPPPPn , ,., 214321 54321 6 55 PPPPPP PPPPPn 过条直线的基础上的在过点 同前记它为个点共有时当 . ,., 条直线个点共有过 因此条共有

15、作直线中任意一个点与点 4335 4 543 PPP . , , 下面用数学归纳法证明 条共有作直线 中任意两点任意三点不共线个点过我们猜想 1 2 1 1433 nnn n .,命题成立由上述过程知时当31 n . ,) (, 条 这样的直线共有中任意两点作直线三点不共线 任意个点即过命题成立时假设 1 2 1 32 kk kkkn . ,. , ;, ,), (, 111 2 1 1 2 1 21 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 11 1 21 121 kkkk kkkkk kk Pk kkk PPPk PPPPkkn k k kk 的直线共有 这样个点中任意两点作直线过这因此条

16、这样的直线共有作直线个点意一点与第 个点中任过这条这样的直线共有线 中任意两点作直个点过三点不共线 任意个点共有时当 .时命题成立所以当1 kn . , 条线共有 相应的直个点对于可知由 1 2 1 321 nn nNnn ? , 作用作用数学归纳法有什么特殊数学归纳法有什么特殊 你认为你认为结合上述证明过程结合上述证明过程思考思考 ., , , 跃跃到无限的飞到无限的飞实现了由有限实现了由有限证证 验验代了难以实现的无限代了难以实现的无限取取推推递递 奠基和奠基和它用有限的步骤它用有限的步骤 有力工具有力工具个正整数相关的命题的个正整数相关的命题的 与无限多与无限多数学归纳法是证明一些数学归

17、纳法是证明一些 21 1.1.验证第一个命题成立验证第一个命题成立( (即即nn0 0第一个命题对应的第一个命题对应的 n的值，如的值，如n0 01) 1) (归纳奠基）归纳奠基） ； 2.2.假设当假设当n= =k时命题成立，证明当时命题成立，证明当n= =k1 1时命题也时命题也 成立成立(归纳递推）归纳递推）. . 数学归纳法数学归纳法: 关于正整数关于正整数n的命题的命题( (相当于多米诺骨牌相当于多米诺骨牌),),我们可我们可 以采用下面方法来证明其正确性：以采用下面方法来证明其正确性： 由由(1)(1)、(2)(2)知，对于一切知，对于一切nn0 0的自然数的自然数n都成立！都成立

18、！ 用上假设，递推才真用上假设，递推才真 注意注意:递推基础不可少递推基础不可少,归纳假设要用到归纳假设要用到,结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉. 下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明 凸边形的对角线条数凸边形的对角线条数解解).3)(3( 2 1 )(: nnnnfn . ,. 0)33(3 2 1 )3(,3)1( 命题成立命题成立 而三角形没有对角线而三角形没有对角线时时当当 fn 11)2( , , 1,1).3)(3( 2 1 )( ,)2( 1 11 kk AAk AA kkknkkkkf kkn k kk 增加的对角线条数为增加的对角线条数为边形的一边边形的一边原原不相邻顶点连线

19、再加上不相邻顶点连线再加上 与与点点增加的对角线条数是顶增加的对角线条数是顶增加了一个顶点增加了一个顶点增加了一边增加了一边 边形的基础上边形的基础上边形是在边形是在时时当当 边形的对角线的条数边形的对角线的条数即凸即凸时命题成立时命题成立假设当假设当 练习练习1: P50习题习题4.1 题题5 .3,)2(),1(,1 3)1()1( 2 1 )2)(1( 2 1 )2( 2 1 1)3( 2 1 )1( 2 命题成立可知对任何由命题成立时故 nNnkn kkkk kkkkkkf 下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明 域数目为域数目为条直线把平面分成的区条直线把平面分成的区这样的这样的解

20、解 2 2 )(: 2 nn nfn .1 ,2)1(,1)1( 时命题成立时命题成立 部分部分一条直线将平面分成两一条直线将平面分成两时时当当 n fn . 1, ,1 ,1,1 , 2 2 )(,)()2( 2 k kk kkkkn kk kfNkkn 也即使原区域数目增加也即使原区域数目增加原区域一分为二原区域一分为二 的的其中每一段都把它所在其中每一段都把它所在段段条直线截成条直线截成即它被前面即它被前面 个不同交点个不同交点条直线有条直线有条直线与前面条直线与前面第第时时当当 即有即有时命题成立时命题成立假设当假设当 练习练习2: P50习题习题4.1 题题6 命题成立对任意正整数可

21、知由命题成立时故当,)2)(1 (,1 2 2) 1() 1( 2 43k 1 2 2 1)() 1( 22 2 nkn kkk k kk kkfkf 练习练习3： .2)( :, , 2 个部分个部分 个圆把平面分成个圆把平面分成这这求证求证不相交于同一点不相交于同一点 并且每三个圆都并且每三个圆都两点两点其中每两个圆都相交于其中每两个圆都相交于个圆个圆有有 nnnf n n 命题成立命题成立时时又又 个部分个部分即一个圆把平面分成二即一个圆把平面分成二时时当当证明证明 , 22,1, 2)1( ,1)1(: 2 nnnf n .)2)(1( .1 , 2)1()1(22)1(,2 ,2 2,2, , 1,2)( ,)2( 22 2 命题成立命题成立可知对任意可知对任意由由 时命题成立时命题成立即当即当 即即块块加加 因此这平面的总区域增因此这平面的总区域增块块每条弧把原区域分成每条弧把原区域分成 条弧而条弧而把它分成把它分成个点个点交于交于于是它与其它于是它与其它点点 又无三圆交于同一又无三圆交于同一个圆中每个圆交于两点个圆中每个圆交于两点与前与前 圆圆那么由题意知第那么由题