就得到四阶龙格库塔法PPT学习教案

1、会计学1 就得到四阶龙格库塔法就得到四阶龙格库塔法 第1页/共25页 ubububub yayayaya mm mm nn nn )1( 1 )1( 1 )( 0 )1( 1 )1( 1 )( 0 . . 2 2、传递函数形式、传递函数形式 nn nn mm mm asasasa bsbsbsb sR sY sG 1 1 10 1 1 10 . . )( )( )( 3 3、状态空间表达式状态空间表达式 DUCXY BUAXX 一阶微分方程组一阶微分方程组 第2页/共25页 ).()( ).()( )( 21 21 n m pspsps zszszs KsG 模型转换：模型转换： 掌握：掌握：

2、1、传递函数模型转换为、传递函数模型转换为状态空间模型状态空间模型 2 2、结构图形式转换为、结构图形式转换为状态空间模型状态空间模型 例如：例如： 第3页/共25页 s 1 u s 1 - y2 x 2 x 1 x 1 x 2 1 2 1 2 1 10 0 1 11 00 : x x y u x x x x 表达式得连续部分的状态空间 第4页/共25页 i(t) ur(t)uc(t) C R L uuRi dt di L i dt du C c c :列方程 rc cc uu dt du RC dt ud LC 2 )( : 时域二阶的微分方程 得到关于输入和输出的 第5页/共25页 r c

3、c rc c u L i u L R L C i u u L i L R u L i i C u 1 0 1 1 0 : 11 1 :)( 写成矩阵形式 时域状态空间表达式 1 1 )( )( : )( 2 RCsLCssU sU r c 复域拉氏变换后得传递函数 uuRi dt di L i dt du C c c :由方程 第6页/共25页 ),(* 1nnnn txfhxx h为步长为步长 二、泰勒展开二、泰勒展开x(t) ! )( !2 )( *)(*)()( 0 )( 0 )2( 2 000 k tx h tx htxhtxhtx k k 取前两项，舍去高次项，写成差分方程得欧拉递推

4、取前两项，舍去高次项，写成差分方程得欧拉递推 公式：公式： ),(* 1nnnn txfhxx 第7页/共25页 2-3-2 欧拉法（Euler method） 三、截断误差三、截断误差 欧拉法是由泰勒级数截断h2以上的高阶项而得 到的，把截断项称为截断误差。 欧拉法的截断误差与h2同为一个数量级，具 有一阶精度。当h减小时,截断误差会减少。 （注：截断误差为o（hp+1)时，称为具有p阶精度） 例：用欧拉法求解下面微分方程，取h=0.2 2.10 1)0( 2 t x xtdtdx 第8页/共25页 0.52729242404305 0.39938304000000 0.3678794411

5、7144 0.23962982400000 0.23692775868212 第9页/共25页 第10页/共25页 2-3-3 梯形法（RK2） 用梯形面积代替曲边梯形的面积。 f(x,t) t tntn+1 误差误差 ),*( ),( 2/)(* 12 1 211 hthkxfk txfk kkhxx nn nn nn 其中其中k2是有欧拉法估计得到。是有欧拉法估计得到。 第11页/共25页 2-3-4 四阶龙格库塔法 （ the fourth-order Runge-Kutta Method) K1, K2, K3,K4,称为四阶龙格库塔系数。 四阶龙格库塔法取了泰勒级数的前五项之 和得到

6、，截断误差O（h5),具有四阶精度 ),*( )2/,2/*( )2/,2/*( ),( 6/)22(* 34 23 12 1 43211 hthkxfk hthkxfk hthkxfk txfk kkkkhxx nn nn nn nn nn 多取几个点，然后将其斜率加权平均得一多取几个点，然后将其斜率加权平均得一等效斜等效斜 率率，就得到四阶龙格库塔法。，就得到四阶龙格库塔法。 第12页/共25页 第13页/共25页 2-3-5 几种数值积分法的分析 1、xn+1=xn+步长*各点斜率的加权平均 2、精度取决于步长h及阶次p。 3、本次计算只用到前一次的计算结果，属单 步法。 n单步法优点：

7、占用存贮空间少，能自启动自启动 （从初值），可变步长。 6/ )22(*:4 2/ )(*:2 ),(*: 43211 211 1 kkkkhxxRK kkhxxRK txfhxxEuler nn nn nnnn 法 第14页/共25页 第15页/共25页 2-3 数值积分法的稳定性 一、起源 数值积分法是一种近似的求解微分方程 的方法。在反复的递推运算中将引入误差， 若误差的积累越来越大，将使一个原本稳定 的系统，得到的仿真结果却不稳定。 例如：有一个微分方程 5.10 3/1)0( 30 t x xdtdx 其解析解：其解析解： t ex 30 3 1 欧拉法的递推公式为：欧拉法的递推公式

8、为： 0 1 1 )301( )301()30( xh xhxhxx n nnnn 第16页/共25页 2-3 数值积分法的稳定性 可见：当|1-30h|1时，递推结果将是发散的。 当0h2/30时，递推结果是稳定的（收敛的 ） 0 1 1 )301(xhx n n 第17页/共25页 0 )0(xx xdtdx 其中，其中， 为一复数，为一复数， = +j 0,（即原系统稳定）（即原系统稳定） 第18页/共25页 2-3 数值积分法的稳定性 三、用测试方程考察欧拉法的稳定性 0 1 1 )1( )1() 1. xh xhxhxx n nnnn 当当|1+h |=1时，计算稳定。时，计算稳定。

9、 2、求其稳定边界、求其稳定边界 设设h =x+jy, 由由|1+h |=1 得得:|1+x+jy|=1 稳定边界为：稳定边界为：(1+x)2+y2=1 当当 为负实数时，步长的为负实数时，步长的 稳定区间为：稳定区间为：0h|2/ | -2 0 Re Im 第19页/共25页 2-3 数值积分法的稳定性 四、龙格库塔法的计算稳定性 1、RK2 1 2 1 ) 2 1( 2 2 2 2 1 h h x h hx nn 稳定条件为 2、RK4 1 2462 1 : ) 2462 1( 4 4 3 3 2 2 4 4 3 3 2 2 1 hhh h x hhh hx nn 稳定条件为 第20页/共

10、25页 2-4 数值积分法的选择原则 从精度、速度、稳定性三个角度考虑 一、计算精度 数值积分存在两种误差。 1、截断误差：舍去泰勒级数的高阶项形成的。 p 截断误差 h 截断误差 2、舍入误差 由于计算机的字长有限引起的，会随着计算次数的 增加而积累。 p 计算量 舍入误差 h 计算量 舍入误差 第21页/共25页 2-4 数值积分法的选择原则 如右图示，两种误差对步 长的要求是矛盾的，最好 选择在h0附近。一般情况 下选：Tmin/20=h=Tmin/5 系统响应快的，步长要小 。 h e h0 截断 舍入 二、计算速度二、计算速度 h 计算速度加快。计算速度加快。 高阶算法，计算速度慢。高阶算法，计算速度慢。 三、稳定性三、稳定性 选择合适的步长及数值积分法，保证仿真计算稳定选择合适的步长及数值积分法，保证仿真计算稳定 。 第22页/共25页 2-5 常微分方程数值求解 第九周实验: 用四阶龙格库塔法求解Var der Po