拉氏变换及传递函数PPT学习教案

1、会计学1 拉氏变换及传递函数拉氏变换及传递函数 8:11 微分方程求解方法 第1页/共67页 8:11 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 复函数 js )()()(sFsFsF yx 例1： jssF 22)( （2）模、相角 22 yx FFsF x y F F sFarctan （3）复数的共轭 yx jFFsF )( （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。 模 相角 第2页/共67页 8:11 2.复变数的各种表达形式 )sin(cos js es s js j 22 s 代数形式 极坐标 指数 三角 1 tg 欧拉定理： )( 2 1 s

2、in )( 2 1 cos sincos sincos jj jj j j ee j ee je je 第3页/共67页 8:11 3、拉氏变换的定义 如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域是t0，那么拉氏变换就是如下的运算式： dtetf st 0 )( dtetftfLsF st 0 )()()( 则f(t)的拉氏变换存在，F(s)称为象函数，f(t)称 为原函数。 第4页/共67页 8:11 （1）阶跃函数 4 常见函数的拉氏变换 00 01 )( t t tf ss e s dtetL stst 1 10 11 11 0 0 （2）指数函数 at etf )( dted

3、teetfL tasstat 00 )( as )( as e as a)t(s 1 10 11 0 第5页/共67页 8:11 （3）正弦函数 0sin 00 t t t f(t) dteee j dtetf(t)L sttjtjst 00 2 1 sin dtee j )tj(s)t-(s-j 0 2 1 00 11 2 1 )tj(s)tj(s e js e jsj 2222 2 2 111 2 1 ss j jjsjsj 第6页/共67页 8:11 （2）单位阶跃 )(tf s1 （5）指数函数 at e )(1as )(sF )( 1 t （1）单位脉冲1)(t （3）单位斜坡 2

4、1 st （4）单位加速度 3 1 s2 2 t （6）正弦函数t sin)( 22 s （7）余弦函数t cos)( 22 ss 第7页/共67页 8:11 （1）线性性质 5 拉氏变换的几个重要定理 （2）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL 2121 0fsFstfL 00 左tdfedtetf stst 0000 1221 nn-n-n-nn fsffsfssFstf dtetfs-f st 0 00 右0 fssF st-st detftfe 0 0 证 明： 0初条件下有： sFstfL nn 第8页/共67页 8:11 例2 求 ?)( tL 解 . t1t tL

5、tL 1 例3 求 ?)cos( tL 解 . tt nsi 1 cos tLtL nsi 1 cos 0 1 s s 101 22 1 s s 22 s s 第9页/共67页 8:11 （3）积分定理 0 11 1- f s sF s dttfL 零初始条件下有 ： sF s dttfL 1 进一步有： 0 1 0 1 0 11 2 1 1n nnn n n f s f s f s sF s dttfL 个个 例4 求 Lt=? 解 . dttt 1 dttLtL1 例5 求 解 . dtt t 2 2 0 2 2 2 111 t t sss ? 2 2 t L 0 111 t t sss

6、2 1 s dttLtL2 2 3 1 s 第10页/共67页 8:11 （4）延迟定理 证 明： 例 6 解 . )( 1)( 1)(atttf )(1)(1)(attLtfL )()( 0 0 sFetfL s F(s) , at 0 at 0 1 0t 0 tf 求求 s e s as 11 s e as 1 dtetf st 0 0) ( 左 令 0 t def s 0 0) ( )( defe ss 0 0 )( 右 第11页/共67页 8:11 （5）位移定 理 证明 ： )()(AsFtfeL At dtetfe tsAt 0 )(左 令sAs dtetf t s 0 )( )(

7、sF 右 dtetf tAs 0 )( )( )(AsF at e L teL t- 5cos 3 ) t(eL t 3 5cos 2 2 22 15 5 ss s - s s e 例 7 例 8 例 9 2 2 53 3 s s 3 22 5 ss s s at etL 1 ass s 1 ) (teL t 15 5cos 2 2 2 2 15 52 2 s s e s as 1 第12页/共67页 8:11 （6）初值定 理 证明：由微分定理 )(lim)(lim 0 sFstf st )0()( )( 0 fssFdte dt tdf t s 2 1 )( s sF 例 10 )0()(

8、lim )( lim 0 fsFsdte dt tdf s t s s 0lim )( 0 dte dt tdf t s s 左 0)0()(lim fsFs s )(lim)(lim)0( 0 sFstff st ttf )(lim)0(sFsf s 0 1 lim 2 s s s 第13页/共67页 8:11 （7）终值定 理 证明：由微分定理 )(lim)(lim 0 sFstf st )0()( )( 0 fsFsdte dt tdf t s )( 1 )( bsass sF 例 11 （终值确实存在时） )0()(lim )( lim 000 fsFsdte dt tdf s t s

9、 s dte dt tdf t s s 00 lim )( 左 0 )(tdf t t tdf 0 )(lim )0()(limftf t )0()(lim 0 fsFs s 右右 abbsass sf s 11 lim 0 22 s sF t tfsin 例 12 0lim 22 0 s s s第14页/共67页 8:11 （2）微分定理 （5）位移定理 （1）线性性质 （3）积分定理 （4）延迟定理 （6）初值定理 （7）终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL 2121 0fsFstfL 0 11 1- f s sF s dttfL )()( 0 sFetfL s )()(A

10、sFtfeL tA )(lim)(lim 0 sFstf st )(lim)(lim 0 sFstf st 第15页/共67页 8:11 )( 1 sFL )0()( 2 1 )()( 1 tdsesF j sFLtf jC jC st 6.拉氏反变换 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。 记为 。由F(s)可按下式求出 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式 求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换 ，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。 第16页/共67页 8:11 ab ee tf bsasabbsas sF btat

11、)( ) 11 ( 1 )( 1 )( 则 t etsFLtf sssss sF 1)()( 1 111 ) 1( 1 )( 1 22 ) 1( 1 )( 2 ss sF 若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若 干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查 到。 例13：配方法 例14： 第17页/共67页 8:11 tt teetf sss sF cba cssbssa s c s b s a sF ss sF 1)( )1( 1 1 11 )( 1, 1, 1 1)1()1( )1(1 )( )1( 1 )( 2 2 2 2 对应项系数相等得 则 解： 的逆变

12、换 第18页/共67页 8:11 i psii ii i i i ps sD sM c csDnip ps c ps c ps c pspspssBsAsBsF )( )( )( ,0)(), 2 , 1( )()()( )()(/()()(/ )()( 1 2 1 1 21 是常数的根是式中 传递函数 321 )3)(2)(1( 1 )( 321 s c s c s c sss sF 例16： （1）实根切为单根 第19页/共67页 8:11 ttt s s s eeetf sss sF s sss c s sss c s sss c 32 33 22 11 10 1 15 1 6 1 )(

13、 3 1 10 1 2 1 15 1 1 1 6 1 )( 10 1 )3( )3)(2)(1( 1 15 1 )2( )3)(2)(1( 1 6 1 )1( )3)(2)(1( 1 第20页/共67页 8:11 1) 0 () 0 (, 054 yyyyy 微分方程两边同时取拉氏变换（初始条件不为零） tetey ss s s s s s ss s sF sFfssFfsfsFs tt sin3cos 1)2( 3 1)2( 2 1)2( 32 1)2( 5 54 5 )( 0)(5)0(4)(4)0()0()( 22 22 222 2 这个推导属配方法和查表法，心中要有公式 第21页/共6

14、7页 8:11 1 1 )( )( )( )( )( )( )()()( )( )( 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ps l l ps l l n n l l l l l l ps sD sM ds d b ps sD sM b ps c ps c ps b ps b ps b sD sM sF 式中 1 p 第22页/共67页 8:11 仍按以前的方法计算系数, )( )( )( )!1( 1 )( )( )( ! 1 , 1 1 1 1 1 1 1 nl ps l l ps l i il cc ps sD sM ds d l b ps sD sM ds d i b 的其余互异极

15、点。是式中0)(), 1( )( )( )( sDnljp ps sD sM c j psjj j 第23页/共67页 8:11 1|)( ) 1 () 1( ) 1( 1 1) 1( ) 1( 1 ) 1() 1() 1() 1( 1 )( . 0)0()0()0(, 133 1 2 11 3 3 2 1 3 3 3 1 2 2 3 3 3 s ss s s sds d s ssds d b s ss b s c s b s b s b ss sF yyyyyyy 求微分方程的解 例18 第24页/共67页 8:11 ttt s s eteety ssss sF s ss c sb 2 23

16、 0 3 1 3 1 2 1 1 1 1 ) 1( 1 ) 1( 11 )( 1 ) 1( 1 1)2( ! 2 1 第25页/共67页 8:11 配方法、部分分式法、留 数法、待定系数方法、公 式法、查表法，并在做题 的书写格式上尽量规范、 标准，养成一个好习惯。 注意总结和掌握这些常用方法： 第26页/共67页 8:11 采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的 ，许多情况下应用更为方便。拉氏变换法求解微分方 程步骤如下： （1）方程两边作拉氏变换； （2）将给定的初始条件与输入信号的拉氏变换代 入方程； （3）写出输出量的拉氏变换； （4）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。 7 拉氏

17、变换法求解微分方程 第27页/共67页 8:11 例19 求某系统的微分方程为 ( )2( )2( )( )y ty ty tr t 输入信号为 ( )21( )r tt ，初始条件 (0)0y (0)0 y ( )y t，求系统的输出 解：对方程两边作拉氏变换并代入初始条件和输入函数的拉氏变换得 2 2 (22) ( )ssY s s 则输出响应的拉氏变换为 2 2 ( ) (22) Y s s ss 式中包含有共轭复数极点 1j 利用配方法展开成部分分式和的形式： 22 22222 222212111 ( ) (22)(22)(1)1(1)1(1)1 ssssss Y s s sss ss

18、sssss 可以求得输出响应为 ( )1ecosesin 12esin 4 tt t y ttt t 第28页/共67页 8:11 例20.已知系统的微分方程式为： )()(2 )( 3 )( 2 2 trty dt tdy dt tyd s sYssYsYs 1 )(2)(3)( 2 )23( 1 )( 2 sss sY 12) 1)(2( 1 )23( 1 )( 2 s C s B s A ssssss sY 式中，y(t)系统的输出量；r(t)系统的输入量 ，初值为0 解： 第29页/共67页 8:11 1 1 )2(2 1 2 1 )( 1 )1)(2( 1 )1( 2 1 )1)(2

19、( 1 )2( 2 1 )1)(2( 1 1 2 0 sss sY sss sC sss sB sss sA s s s 0, 2 1 2 1 )( 2 teety tt 第30页/共67页 8:11 2)(6 )( 5 )( 2 2 ty dt tdy dt tyd 7 2 )()65( 2 s s sYss )3)(2( 27 )65( 27 )( 2 2 2 sss ss sss ss sY 32)3)(2( 27 )( 2 s C s B s A sss ss sY 例21 已知系统的微分方程式为： 2)0(, 1)0( yy并且设： ，求微分方程的解。 s sYyssYysysYs

20、2 )(6)0(5)(5)0()0()( 2 解： 第31页/共67页 8:11 )3(3 10 2 4 3 1 )( 3 10 )2( 27 4 )3( 27 3 1 )3)(2( 27 3 2 2 2 0 2 sss sY ss ss C ss ss B sss ss A s s s 0, 3 10 4 3 1 )( 32 teety tt 第32页/共67页 8:11 3 2 )1( 32 )( s ss sY 1) 1() 1() 1( 32 )( )( )( 3 2 2 3 1 3 2 s A s A s A s ss sA sB sY 例22.设系统输出量y(t)的拉氏变换Y(s)

21、为： 试求Y(s)的拉氏变换y(t)。 解： 第33页/共67页 8:11 1 1 ) 1( 2 )( 12 2 1 ) 1( )( )( ! 2 1 0)32() 1( )( )( 232) 1( )( )( 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 1 2 1 3 1 ss sY s sA sB ds d A ss ds d s sA sB ds d A sss sA sB A s s s s s 0,)1( 1 1 )1( 2 )( 22 1 3 1 teteet s L s Lty ttt 第34页/共67页 8:11 (1) 输入 u r (t) 影响系统响应的因素 (2) 初始条

22、件 (3) 系统的结构参数 规定 r(t) = 1(t) 规定0 初始条件 自身特性决定系统性能 第35页/共67页 8:11 8 传递函数 在零初始条件下( )，线性定常系统输出量的拉氏 变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 1）传递函数的定义 第36页/共67页 8:11 )( )( )( )( )( sX sX txL txL sG r c r c )()()(sGsXsX rc )(sXc )(sXr 系统传递函数的一般形式微分形式 )( )( . )()( )( )( . )()( 1 1 1 10 1 1 1 10 txb dt txd b dt txd b dt txd b

23、txa dt tdx a dt txd a dt txd a rm r m m r m m r m cn c n n c n n c n 第37页/共67页 8:11 nn nn mm mm r c asasasa bsbsbsb sX sX sG 1 1 10 1 1 10 . . )( )( )( )().()().( 1 1 101 1 10 sXbsbsbsbsXasasasa rmm mm cnn nn 初始条件为零时 微分方程两边取拉氏变换，得 系统的传递函数 !传递函数的直接计算法 i i dt d )( i s 第38页/共67页 8:11 微分方程 传递函数 第39页/共67

24、页 8:11 )( )( )( sN sM sG mm mm bsbsbsbsM 1 1 10 .)( nn nn asasasasN 1 1 10 .)( K a b G n m )0( 第40页/共67页 8:11 n i i m j j ps zsK sG 1 1 * )( )( )( 21 12 1 22 1 1 22 1 )12()1( )12()1( )( n j jj n i i m k ll m l k sTsTsTs sss KsG v 首1标准型： 尾1标准型： 两种标准形式 第41页/共67页 8:11 sss s s 23 44 )G( 23 例23 已知 将其化为首1

25、、尾1标准型，并确定其增益。 解. sss s sG 23 )1(4 )( 23 2 K )1 2 3 2 1 ( 1 2 4 )( 2 sss s sG 首1标准型 尾1标准型 增 益 )2)(1( )1(4 sss s )1)(1 2 1 ( )1( 2 sss s 第42页/共67页 8:11 ).()( ).()( )( 210 210 n m pspspsa zszszsb sG nn nm mm mm asasasa bsbsbsb sG 1 1 10 1 1 10 . . )( 第43页/共67页 8:11 将传递函数的零、 极点表示在复平面 上的图形称系统的 零、极点图。 零点

26、用“O”表示 极点用“”表示 第44页/共67页 8:11 传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数 仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入 形式无关。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系 来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入 输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定， 则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。 第45页/共67页 8:11 适用于线性定常系统 传递函数中的各项系数和相应微分方程中的 各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数 。 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条 件下的全部运动规律 无法描述系统内部中间变量的变化情况 只适合于单输入单输出系统的描述 第

27、46页/共67页 8:11 )()( )( )( )(tgLsX sX sX sG c r c )(txc )()(ttxr1)()(tLsXr 第47页/共67页 8:11 例24 已知某系统在0初条件下的单位阶跃响应为： 试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应 。 解.（1） )4)(1( )2(2 4 1 3 1 1 1 3 21 )( sss s sss sC )4)

28、(1( )2(2 )( 1 )( )( )( )( ss s sGs s SC sR sC sG tt eetc 4 3 1 3 2 1)( 第48页/共67页 8:11 1 4 22 K t t e e 4 2 1 4 1 41)4)(1( )2(2 )()( 21111 s C s C L ss s LsGLtk 3 2 4 )2(2 lim 1 1 s s C s tt ee ss Ltk 41 3 4 3 2 4 1 3 4 1 1 3 2 )( )( )( 45 42 )4)(1( )2(2 )( 2 sR sC ss s ss s sG rrcccL sRssCss 4245: )

29、()42()()45( 1 2 (2) (4) 如图所示 (3) (5) (6) 3 4 1 )2(2 lim 4 2 s s C s 第49页/共67页 8:11 （1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。 rrctactac crrcccc rrccc 42)()( 42442 4245 21 3 例8 线性/非线性，定常/时变系统的辨析 10 传递函数的局限性 第50页/共67页 8:11 s s e e k kkk d j j v c l lll b i i sTsTsTs sssK sG 1 22 1

30、1 22 1 ) 12() 1( ) 12() 1( )( e k k d j j c l l b i i TT a b K 1 2 11 2 1 0 0 11 11 典型环节的传递函数 第51页/共67页 8:11 1）比例环节: 其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式 来表示 式中 环节的放大系数，为一常数。K 传递函数为： ( )( )y tKr t ( ) ( ) ( ) Y s G sK R s 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 第52页/共67页 8:11 c2 r1 ( ) ( ) ( ) UsR G s U sR 实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变

31、送器等。 第53页/共67页 8:11 2）惯性环节: 其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微 分方程式来表示 ( ) ( )( ) dy t Ty tKr t dt 传递函数为： ( ) ( ) ( )1 Y sK G s R sTs 式中 T 环节的时间常数。 特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不 能立即发现，输出无振荡。 实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包 含这一环节。 第54页/共67页 8:11 第55页/共67页 8:11 3）积分环节: 其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表 示 ( )( )y tKr t dt 传递函数为： ( ) ( ) ( ) Y sK G s