高中数学必修四：《任意角的概念》PPT优秀课件

1、1 2 1.1.1 任意角的概念任意角的概念 3 1、角的概念、角的概念 初中是如何定义角的？初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的从一个点出发引出的两条射线两条射线构成的几构成的几 何图形何图形. . 角也可以看成是由角也可以看成是由一条射线绕着它的端一条射线绕着它的端 点旋转点旋转而成的。而成的。 初中学过的角的范围是：初中学过的角的范围是：0至至 360。 4 2角的概念的推广角的概念的推广 “旋转旋转”形成角形成角 如图：一条射线由原来的如图：一条射线由原来的 位置位置OA，绕着它的端点，绕着它的端点O按按逆逆 时针方向旋转时针方向旋转到另一位置到另一位置OB， 就形成角就形成角 旋

2、转开始旋转开始时的时的射线射线OA叫做叫做 角角的的始边始边，旋转终止旋转终止的的射线射线 OB叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端端 点点O叫做角叫做角的的顶点顶点 5 “正角正角”与与“负角负角”、“零角零角” 我们规定：我们规定：按按逆时针逆时针方向旋转方向旋转所形成的角所形成的角 叫做叫做正角正角，按按顺时针顺时针方向旋转方向旋转所形成的角叫所形成的角叫 做做负角负角，如图，以，如图，以OA为始边的角为始边的角=210， =150，=660， 6 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角我们也认为这时形成了一

3、个角，并把这个角 叫做叫做零角零角即即零度角零度角（0）此时零角的始边与）此时零角的始边与 终边重合。终边重合。 角的记法：角的记法：角角或可以简记成或可以简记成，或简，或简 记为：记为： . 如如=-1500 ， ， =00， =6600 等等等等 7 角的概念扩展的意义：角的概念扩展的意义： 用用“旋转旋转”定义角之后，定义角之后，角的范围角的范围大大地大大地扩大扩大 了了 角有正负之分角有正负之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可以任意大; 实例：体操动作：旋转实例：体操动作：旋转2周（周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ）

4、 还有零角还有零角, 一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转. 8 角的概念推广以后，它包括角的概念推广以后，它包括任意大小的正任意大小的正 角、负角和零角角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有要注意，正角和负角是表示具有相反意义相反意义 的的旋转量旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就，它的正负规定源于实际的需要，就 好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，好象与正数、负数的规定一样，零角无正负， 就好象数零无正负一样就好象数零无正负一样 9 用旋转来描述角，需要注意三个要素：用旋转来描述角，需要注意三个要素： 旋转中心、旋转方向和旋转量旋转中心、旋转方向和旋转量 （2）旋转方向：旋转变

5、换的方向分为）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针逆时针 和顺时针和顺时针两种，这是一对两种，这是一对意义相反的量意义相反的量， 根据以往的经验，我们可以把一对意义相根据以往的经验，我们可以把一对意义相 反的量用正负数来表示，那么许多问题就反的量用正负数来表示，那么许多问题就 可以解决了；可以解决了； （1）旋转中心：作为角的顶点）旋转中心：作为角的顶点. 10 （3）旋转量：）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过当旋转超过一周时，旋转量即超过360， 角度的绝对值可大于角度的绝对值可大于360 .于是就会出现于是就会出现 720 ， 540等角度等角度. 11 3象限角象限角 为了研究方便

6、，我们往往在平面直角坐标为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。系中来讨论角。 角的顶点重合于角的顶点重合于坐标原点坐标原点，角的，角的始边始边重合重合 于于x x轴的非负半轴轴的非负半轴，这样一来，角的，这样一来，角的终边终边落在第落在第 几象限，我们就说这个角是几象限，我们就说这个角是第几象限的角。第几象限的角。 （角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为：一个象限此时这种角称为：轴线角轴线角） 例如：例如：30 、390 、 330 是第一象限角，是第一象限角， 300 、 60 是第四象限角，是第四象限角， 58

7、5 、1300 是第三象限角，是第三象限角， 135 、 2000 是第二象限角等是第二象限角等 12 4终边相同的角终边相同的角 观察：观察：390 ， 330 角，它们的终边都与角，它们的终边都与 30 角的终边相同角的终边相同. 探究：探究：终边相同的角都可以表示此角与终边相同的角都可以表示此角与k(kZ) 个周角的和个周角的和： 390 =30 +360 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 13 结论：结论： 所有与所有与 终边相同的角终边相同的角连同连同

8、 在内可以构在内可以构 成一个成一个集合集合：| =+k360， kZ 即：即：任何一个与角任何一个与角 终边相同的角，都可终边相同的角，都可 以表示成以表示成角角 与整数个周角的和与整数个周角的和。 14 注意以下四点：注意以下四点： kZ， K 0，表示逆时针旋转，表示逆时针旋转， K 0,表示顺时针旋转表示顺时针旋转. 是任意角；是任意角； k360与与 之间是之间是“+”号，如号，如k36030,应应 看成看成(30)+ k360 ； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们边一定相同，终边相同的角有无数多个

9、，它们 相差相差360的整数倍的整数倍. 所有与所有与 终边相同的角连同终边相同的角连同 在内可在内可 以构成一个以构成一个集合集合： | =+k360， kZ 即：任何一个与角即：任何一个与角 终边相同的角，都终边相同的角，都 可以表示成可以表示成角角 与整数个周角的和。与整数个周角的和。 15 例例1. 在在0360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角. (1) 120；(2) 640；(3) 95012. 16 例例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把并把S中在中

10、在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314. 17 例例3 3写出终边分别落在四个象限的角的集合写出终边分别落在四个象限的角的集合. . 终边落在坐终边落在坐 标轴上的情标轴上的情 形形 x y o 0 90 180 270 +K 360 +K 360 +K 360 +K 360 或或360+ K 360 18 第一象限的角表示为第一象限的角表示为 |k 360 90 + k 360 ,k Z； 第二象限的角表示为第二象限的角表示为 | 90 + k 360 180 +k 360 ，k Z； 第三象限的角表示为第三象限的角表示为 | 180 +

11、k 360 270 + k 360 ，k Z 第四象限的角表示为第四象限的角表示为 | 270 + k 360 360 + k 360 ，k Z 19 例例4 4、写出终边落在写出终边落在y轴上的角的集合轴上的角的集合. . x y o 0 90 180 270 +K 360 +K 360 +K 360 +K 360 20 课堂练习 1锐角是第几象限的角？第一象限的角是锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间 (0,90)内的角是锐角吗？内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定答：锐角是第一象限角；第一象限角不

12、一定 是锐角；小于是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐内的角是锐 角角 21 2 、已知角、已知角2的终边在的终边在x轴的上方，那么轴的上方，那么是是 ( ) A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角 3、若、若是第四象限角，则是第四象限角，则180是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角 22 4、若、若90135，则，则的范围是的范围是 _

13、，+的范围是的范围是_; 5、若、若的终边与的终边与60角的终边相同，那么在角的终边相同，那么在 0,360）范围内，终边与角）范围内，终边与角 的终边相同的的终边相同的 角为角为_; 3 23 24 1、角度制的定义、角度制的定义 规定周角的规定周角的 为为1度的角这种用度做单位来度量角的制度的角这种用度做单位来度量角的制 度叫角度制。度叫角度制。 1 2、弧长公式及扇形面积公式、弧长公式及扇形面积公式 nR 180 l= nR2 360 S= n R l 360 1 25 1、弧度制 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做叫做1弧度的角。弧度的角。 设弧

14、设弧AB的长为的长为l， 若若l=r，则，则AOB= 1 弧度弧度 l r = O B r l=r A 1弧度弧度 26 则则AOB= 2 弧度弧度l r = 则则AOB= 2弧度弧度 l r = r O A B l=2r 2弧度弧度 l=2 r O A(B) r 若若l=2r，若若l=2 r， 2弧度弧度 27 若圆心角若圆心角AOB表示一个负角，且它表示一个负角，且它 所对的弧的长为所对的弧的长为3r，则，则AOB的弧度的弧度 数的绝对值是数的绝对值是 l r =3， 即即AOB= l r = 3弧度弧度 l=3r O A B r -3弧度弧度 28 由弧度的定义可知：由弧度的定义可知：

15、圆心角圆心角AOB的弧度数的绝对值等于的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。它所对的弧的长与半径长的比。 定定 义义 的的 合合 理理 性性 1弧度弧度 R l=R O A B 1弧度弧度 r l=r O A B 与半径长无关与半径长无关 的一个比值的一个比值 29 一般地，我们规定：一般地，我们规定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝的弧度数的绝 对值：对值： = l r 其中其中l为以角为以角作为圆心角时所对圆弧的长，作为圆心角时所对圆弧的长，r r 为圆的半径

16、。这种用为圆的半径。这种用“弧度弧度” ” 做单位来度量角的做单位来度量角的 制度叫做制度叫做弧度制弧度制。 30 2 2、弧度与角度的换算、弧度与角度的换算 l r = 则则AOB= 2弧度弧度 此角为周角此角为周角 即为即为360 360= 2 弧度弧度 180= 弧度弧度 l=2 r O A(B) r 若若l=2 r， 31 由由180= 弧度弧度 还可得还可得 1= 弧度弧度 001745弧度弧度 180 1弧度弧度 =（） 5730= 5718 180 32 3 3、圆的弧长公式及扇形面积公式、圆的弧长公式及扇形面积公式 O l r l = r 由由= l r 得得 S = l r

17、1 2 = r2 1 2 33 例 . ,cm4,cm8 2 度度数数求求该该扇扇形形的的圆圆心心角角的的弧弧 面面积积为为已已知知扇扇形形的的周周长长为为 L R :解解则由则由弧长为弧长为设扇形半径为设扇形半径为,L,R 8LR2 4LR 2 1 4L2R 得得解解 的弧度数为的弧度数为故该扇形的圆心角故该扇形的圆心角 R L 2 4 2 34 4、用弧度来度量角，实际上用弧度来度量角，实际上角的集合角的集合 与与实数集实数集R之间建立一一对应的关系：之间建立一一对应的关系： 实数集实数集R R角的集合角的集合 正角正角 零角零角 负角负角 正实数正实数 零零 负实数负实数 对应角的对应角

18、的 弧度数弧度数 35 练习练习 .,求求出出角角的的范范围围已已知知角角的的终终边边区区域域如如图图 x y 0 0 45 (1) x y 0 0 45 (2) )( 2 2 4 2| )( 24 | 36 练习练习 )() 1k2(2|A 已已知知 66|B BA:则则 如如图图解解: 066 2 2 , 2 , 1, 3, 2时时或或当当时时当当 已已超超出出 .)6 ,6(的的范范围围 0,6|或或 37 小结：小结： 1、量角的制度、量角的制度:角度制与弧度制角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，弧度制除了使角与实数有一一对应关系外， 为以后学习三角函数打下基础。为以后学习三角函数打下基础。 2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 lr 3、弧长公式： 2 11 22 Slrr 扇形面积公式： （其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数) l 38 写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）： 1、 终边与终边与X轴正