高中数学《圆的一般方程》课件精编版

1、 圆的标准方程圆的标准方程 x y O C M( (x, ,y) ) 222 )()(rbyax 圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r 若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为： 222 ryx 标准方程标准方程 圆心圆心 (2, 4) ，半径，半径 求圆心和半径求圆心和半径 圆圆 (x1)2+ (y1)2=9 圆圆 (x2)2+ (y+4)2=2 .2 2 圆圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心圆心 (1, 1) ，半径，半径3 圆心圆心 (1, 2) ，半径，半径|m| 例例4:求圆心在求圆心在C(1， 2)，半径为，半径为 的圆被的圆被x 轴所截得的弦长

2、轴所截得的弦长 . 2 5 法法1(方程法方程法) 圆的方程为圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20， 令令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为，可得弦长为8. 法法2(几何法几何法) 根据半弦、半径、弦心根据半弦、半径、弦心 距组成直角三角形求距组成直角三角形求(这里，弦心距这里，弦心距 等于圆心等于圆心C的纵坐标的绝对值的纵坐标的绝对值) 圆的一般方程圆的一般方程 22 (3)(4)6xy 22 68190 xyxy 展开得展开得 22 0 xyDxEyF 任何一个圆的方程都是二元二次方程任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？反之是否成立？ 圆的一般方程圆的

3、一般方程 22 (1)2410 xyxy 配方得配方得 22 0 xyDxEyF 不一定是圆不一定是圆 22 (1)(2)4xy 以（以（1，-2）为圆心，以）为圆心，以2为半径的圆为半径的圆 22 (2)2460 xyxy 22 (1)(2)1xy 配方得配方得 不是圆不是圆 练习练习 判断下列方程是不是表示圆判断下列方程是不是表示圆 22 (1)4640 xyxy 22 (2)(3)9xy 以（以（2，3）为圆心，以）为圆心，以3为半径的为半径的圆圆 22 (2)46130 xyxy 22 (2)(3)0 xy 表示表示点点（2，3） 2,3xy 22 (3)46150 xyxy 22 (

4、2)(3)2xy 不不表示任何图形表示任何图形 圆的一般方程圆的一般方程 22 0 xyDxEyF 22 22 4 224 DEDEF xy （1）当）当 时，时， 22 40DEF 表示表示圆圆， , 2 E D 圆心 - 2 22 4 2 DEF r （2）当）当 时，时， 22 40DEF 表示表示点点, 2 E D - 2 （3）当）当 时，时， 22 40DEF不不表示任何图形表示任何图形 22 (1)46120 xyxy 22 (2)4484150 xyxy 例例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？ 如果是，请求出圆的圆心及半径。如果是

5、，请求出圆的圆心及半径。 (1)圆心圆心 (-2, 3) ，半径，半径5 5 2 1 -12），半径，）圆心（ 例例2：求过点（：求过点（1，1），且圆心与已知圆），且圆心与已知圆 22 4630 xyxy 相同相同 的圆的方程的圆的方程 (x 2)2 + ( y + 3)2 = 25 例例3：求过三点：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方的圆的方 程程 圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点 x y O E A( (5, ,1) ) B( (7,-,-3) ) C( (2,-,-8) ) 几何方法几何方法 方法一：

6、 方法二：待定系数法方法二：待定系数法 待定系数法待定系数法 解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为： 222 )()(rbyax 因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上 222 222 222 (5)(1) (7)( 3) (2)( 8) abr abr abr 2 3 5 a b r 22 (2)(3)25xy 所求圆的方程为所求圆的方程为 方法三：待定系数法方法三：待定系数法 解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为： 因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上 22 22 22 5150 7( 3)730 28280 DEF D

7、EF DEF 4 6 12 D E F 22 (2)(3)25xy即 所求圆的方程为所求圆的方程为 22 0 xyDxEyF 22 46120 xyxy ABB(4,3) A 22 (1)4xyAB M 例例4 4：已知线段：已知线段 的端点的端点的坐标是的坐标是，端点，端点 在圆在圆上运动，求线段上运动，求线段 中点中点满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？ 解：设解：设M(x,y),则则A(2x-4,2y-3) 由已知将点由已知将点A坐标代入圆方程得：坐标代入圆方程得： （2x-4+1)2+(2y-3)2=4 化简得：化简得： 1 2 3 2 3 22

8、 yx 该关系表示圆该关系表示圆 例例5：已知圆的方程已知圆的方程x2 + y2 = r2，求经，求经 过圆上一点过圆上一点M(x0，y0)的切线方程的切线方程 一般地，过圆一般地，过圆(x a)2 + ( y b)2 = r2 上一点上一点M(x0，y0)的切线方程为的切线方程为 (x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2 小结小结 22 0 xyDxEyF 22 22 4 224 DEDEF xy （1）当）当 时，时， 22 40DEF 表示表示圆圆， , 2 E D 圆心 - 2 22 4 2 DEF r （2）当）当 时，时， 22 40DEF 表示表示点点, 2 E D - 2 （3）当）当 时，时， 22 40DEF不不表示任何图形表示任何图形 小结：求圆的方程小结：求圆的方程 几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点） （常用弦的（常用弦的中垂线中垂线） 求求 半径半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程写出圆的标准方程 待定系数法待定系数法 222 22