复变函数第10讲

1、主要内容：主要内容： 1、复常数项级数及其敛性、复常数项级数及其敛性 2、幂级数及其收敛半径、幂级数及其收敛半径 3、函数的泰勒展开、函数的泰勒展开 4、函数的罗朗展开、函数的罗朗展开 第四章第四章 级数级数 1. 复数列的极限复数列的极限 n 0 0 lim nnn n nn n aibAaib NnNAn AA 设为一复数列，为一确 定的复数。若对于任意给定的，都存在正整数 ，使得当时，恒有，则称 时的极限为 ，记为。此时也称数列 收敛于A。 不收敛的数列称为发散数列不收敛的数列称为发散数列 1复数项级数复数项级数 定理一（复数列与实数列的收敛性关系）：定理一（复数列与实数列的收敛性关系）

2、： n limlim lim nn nnn Aaabb ， 即：一个复数列的收敛性等价于与其实部、虚部即：一个复数列的收敛性等价于与其实部、虚部 构成的二个实数列的收敛性。构成的二个实数列的收敛性。 等式等式证明：主要依据在于不证明：主要依据在于不 nnnnnn bababa 22 , 22 0N0 nN ()() n nnn A Aaabb 这样，若，则对于任给的， 存在 当时，有 , , lim, lim. nn nn nn aabb aabb 即 22 lim, lim, 0, , ()()2 , lim. nn nn nn nnnn n aabbNnN aabb AaabbA 反之，若

3、则存在使得时， 即 0) 2 1 ( , 0 n in i n e 例：显然，有例：显然，有 22 222 11212 1111 1 01 ninninn i ninnn i 11 () nnn nnn nn aib aib 设=为一复数列，表达式 称为无穷级数。 12nn ns其前 项和： 称为级数的部分和。 n lims n nn ss ss 如果部分和数列 收敛， ，则称级数收敛， 并且极限称为级数的和。如果数列 不 收敛，则称级数发散。 11 () nnn nn aib 定理二 复级数收敛 11 , nn nn ab 实级数皆收敛 111 nnn nnn aib 且在收敛情况下 111

4、 nnn nkkknn kkk saibi 证明关键： 再由定理一关于数列极限存在的充要条件便可得到结论。再由定理一关于数列极限存在的充要条件便可得到结论。 复习：常见实级数敛散性判别法：复习：常见实级数敛散性判别法： 1）比较法，）比较法，2）比值法（达朗贝尔判别法），）比值法（达朗贝尔判别法）， 3）交错级数的莱布尼兹判别法）交错级数的莱布尼兹判别法 1 lim0 nn n n 推论 收敛的必要条件为 即：收敛级数一般项极限为即：收敛级数一般项极限为0。 11 nn n 1n 1 | nn nn = 定理三 若收敛，则定收敛，且不等式 成立。 则则证明：记证明：记, nnn iba 22

5、()() , nnnnnn aabb 也也收收敛敛收收敛敛，从从而而再再由由比比较较法法知知 111 , n n n n n n ba 11 nn nn 如果收敛，那么称级数为绝对收敛。 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。 22 nnnnn n 1 nn n 1n 1 nnn n 1n 1n 1 |a |b |, a b ab ab 实际上，由于所以当与 绝对收敛时，也绝对收敛。结合上面定理三 可知， 也绝对收敛的充要条件是与绝对 收敛 。 101 1 1(8 )(-1)1 (1)1; (2) ; (3) . !2 nn n nnn ii i nnnn 例 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

6、 n n 1n 1 1 1a n = 解：( ) 因=发散，所以原级数发散。 1 2 n n i n 例 ：讨论级数的绝对、条件收敛性。 111 11 , n nnn i nnn 解：首先调和级数，发散。 nn (8i8 2= , nn! ) ( ) 因根据正项级数比值审敛法知， ! 原级数绝对收敛。 n n n 1n 1 (-1)1 3 n2 = ( )因条件收敛， 因也收敛，故原级 数条件收敛。 1 sin 2 n n n 同理， 也收敛。 1 n n i n 从而复级数收敛，且为条件收敛。 n n i n n n i n i n n 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 1 c

7、os 111 2 246 n n n 注意到 ，是交错级数， 根据莱布尼兹判别法知级数收敛。 对于原级数，分离一般项实、虚部，得对于原级数，分离一般项实、虚部，得 12 1 12 ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) n nn n nn fzD fzf zfzfz szf zfzfz 设为一复变函数序列，其中各项在区域 内有定义。称 为复变函数项级数。称为 级数的部分和。 000 00 ,lim()() () n n Dzszs z zs z 如果对于 内的某一点极限存在， 那么我们称上面级数在 收敛，称为它的和。 ( ): Dz s z 如果级数在 内处处收敛，那么它的

8、和一定是 的 一个函数 ,)( 0 0 n n n zzc为为复复幂幂级级数数的的一一般般表表达达式式 0 , n cz其中 为复常数称为幂级数的中心。 0 n n n c z 为标准型幂级数。为了方便，我们通常 讨论标准幂级数。 12 1 ( )( )( )( ) ( )( ) n n n s zf zfzfz s zfz 称为级数的和函数。 关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理： 定理一定理一 （阿贝尔引理）（阿贝尔引理） 0 n n n c z 对于幂级数，有如下结论： 00 1zzzz，只只要要为为收收敛敛点点，则则对对任任意意

9、点点）若若 级数皆收敛且绝对收敛。级数皆收敛且绝对收敛。 00 2zzzz，只只要要为为发发散散点点，则则对对任任意意点点）若若 级数皆发散。级数皆发散。 。z0收敛点收敛点 。z0发散点发散点 证明：证明：1） 00 zzz设为收敛点，则当，有 00 000 0 n nn nn nnn nnn z c zczczq z 记为 00 10 nn nn qc zc z 于是。另外，因收敛，故。 0 M n n c z因而（收敛数列必有界！）（收敛数列必有界！） 至此，有至此，有 00 nn n nn c zMq 因右端收敛，由比较法，左端也收敛。因右端收敛，由比较法，左端也收敛。1）证毕）证毕

10、至于至于2），实际上为），实际上为1）的逆否命题，也成立。）的逆否命题，也成立。 阿贝尔定理说明：阿贝尔定理说明： 以原点为心，过收敛点作圆周，则圆内点以原点为心，过收敛点作圆周，则圆内点 皆收敛且绝对收敛。皆收敛且绝对收敛。 以原点为心，过发散点作圆周，则圆外点以原点为心，过发散点作圆周，则圆外点 皆发散。皆发散。 0 1 () n n n czz 问题：对于级数，阿贝尔定理的 结论如何叙述？ 2. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径 根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不 外乎以下三种可能：外乎以下三种可能： 1）处处收敛，即收敛点集为整个复平面。）处处

11、收敛，即收敛点集为整个复平面。 2）除）除z=0外处处发散。外处处发散。 3）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数 发散的正实数。发散的正实数。 下面对情况下面对情况 3 3）作进一步的分析。）作进一步的分析。 我们考虑正实轴上的收敛点和发散点。 首先，收敛点和发散点不会相间分布，收敛点以左的 为收敛点，发散点以右的为发散点。据此，动点从原点此，动点从原点 出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇 到发散点。到发散点。收敛点集与发散点集有唯一的分界点，收敛点集与发散点集有唯一的分界点， 记为记为R，则则

12、, zR当时 级数收敛且绝对收敛； , zR当时 级数发散。 综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原 点为中心的圆域。幂级数在圆内收敛，在圆外发散。此点为中心的圆域。幂级数在圆内收敛，在圆外发散。此 圆称为收敛圆，圆的半径圆称为收敛圆，圆的半径R R称为幂级数的收敛半径。在圆称为幂级数的收敛半径。在圆 周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题 具体分析。具体分析。 0 1 0 ()n n n czz zz 注：以上结论对也成立，只不过收敛 圆的圆心位于点。 解：级数的部分和：解：级数的

13、部分和： z z zzs n n n 1 1 1 1 1 1 10, 1 n n zzs z 当时，因而； 1 1, n zz 当时，因而级数发散。 0 1 1 11 1 n n zz szR z 综上所述，幂级数，当时收敛，和函 数； 当时发散。 收敛半径。 0 1 n n z 例 ：考察幂级数的收敛范围，并求和函数。 11 n n nn nn c zcz 引理： 与 有相同的收敛半径。 1 11 1 RR RRRR RR 证明：设二者收敛半径分别为 、 ，则因绝对 收敛本身定必收敛，故有。若，则说 明存在这样的点：位于收敛圆盘内，但不绝对收 敛，矛盾。故此。 1 n n n cz 注意到为

14、一实幂级数，有收敛半径公式， 故有 1 1 : n n n c zR 定理：幂级数的收敛半径为， 1 1lim n n n c c 其中 为： ）（比值法）； 2) lim n n n c （根值法）。 例例2：求下列幂级数的收敛半径：求下列幂级数的收敛半径 1 (1)! 1) !, (1),0 ! n n n cn n znR cn 1 1 2) , 0, !1 n n n cz R ncn 3 1 33 1 3) , 1,1 (1) n n n czn R ncn 111 4) () , ,3 33 n n n n zicR 用根值法： 3zizi（注：此时收敛圆盘在点，即） 5) , 1

15、,1 ii n nn n e zceR 练习：求下列幂级数的练习：求下列幂级数的 收敛半径：收敛半径： 1)(cos n in z ） n z n i ch)()2 n nn n n n n zbazbza)( 3 03122130 2 021120 011000 zbabababazbababa zbababazbza n n n n )()( )()()( （即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并 同次幂系数同次幂系数） 注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立。但注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立。但 这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中 的较小一个收敛半径。的较小一个收敛半径。 幂级数的加、减、乘法幂级数的加、减、乘法运算规则：运算规则： 0 0 |( ), |( )|( )| ( ) ( ) n n n n n n zrf za z zRg zg zrzR f g za g z 在实际应用中，更为重要的是所谓代换（复合） 运算，就是：如果当时，又设 在内解析且满足，那么当时， 。 此运算在把函数展开成幂级数 时有着广泛的应用 0 ( ) n n n s zc zR 定理 设幂级数的 收敛半径为 ，则