【课件】2.1认识一元二次方程

1、 认认 识识 一一 元元 二二 次次 方方 程程 w幼儿园某教室矩形地面的墙长幼儿园某教室矩形地面的墙长8m，宽，宽5m 现准备在地面中心铺设一块面积为现准备在地面中心铺设一块面积为m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度 相同相同,你能求出这个宽度吗？你能求出这个宽度吗？ 你怎么 解决这 个问题? w解：如果设花边的宽为解：如果设花边的宽为x xm ,m ,那么地毯中央长那么地毯中央长 方形图案的长为方形图案的长为 m,m,宽为宽为 m,m,根据题意根据题意, ,可得方程：可得方程： w你能化简这个方程吗? （8 82x2x）（5 52x2x） (8 (

2、8 2x) (5 2x) (5 2x) = 18.2x) = 18. 5 x x x x （82x） （52x） 8 18m2 数学化 观察下面等式：观察下面等式： 你还能找到其他的五个连续整数，使前三你还能找到其他的五个连续整数，使前三 个数的平方和等于后两个数的平方和吗？个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为如果设五个连续整数中的第一个数为x， 那么后面四个数依次可表示为：那么后面四个数依次可表示为： 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： ， X1X2X3X4 (X+1)2(X+2)2 (X3)2(X+4)2 X2 想一想想一想 w如图，一个长为如图，一

3、个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑，那么梯子的底端滑 动多少米？动多少米？ w解：由勾股定理可知，解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙滑动前梯子底端距墙 m. w如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动 X m，那么滑动后梯子，那么滑动后梯子 底端距墙底端距墙 m; w根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： w你能化简这个方程吗? 6 x6 72(x6)2102 xm 8m 10m 7m 6m 数学化数学化 1m 上面的方程都是只含有上面的方程都是只含有的的

4、，并且都可，并且都可 以化为以化为 的形式，这样的方程叫做的形式，这样的方程叫做一元二次方程一元二次方程 w由上面两个问题，我们可以得到两个方程：由上面两个问题，我们可以得到两个方程： w把把axax bxbxc c(a(a，b b，c c为常数为常数,a,a) )称为一称为一 元二次方程的一般形式，其中元二次方程的一般形式，其中axax ， ， bx bx ， c c分别分别 称为二次项、一次项和常数项，称为二次项、一次项和常数项，a a， b b分别称为二次分别称为二次 项系数和一次项系数项系数和一次项系数 (8-2x)(8-2x)(- -x)=18;x)=18;即即2x2x2 2 13x

5、 13x 11=011=0 (x(x6)6) 7 7 =10 =10 即即x x2 2 1212 x x 15150 0 w上述两个方程有什么共同特点？上述两个方程有什么共同特点？ 一个未知数一个未知数x x整式方程整式方程 axax bxbxc c(a(a，b b，c c为常数为常数, a, a) ) X （ （X） （ （X） 即 x2 8x 200（X） （ （ X） 判一判 下列方程哪些是一元二次方程? (1)7x26x0(2)2x25xy6y0 (3)2x2 1 0 (4) 0 (5)x22x31x2 1 3x y2 2 解解: (1)、 (4) 把下列方程化为一元二次方程的形式，并

6、写出把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出 它的二次项系数、一次项系数和常数项：它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方程方程 一般形式一般形式 二次项二次项 系数系数 一次项一次项 系数系数 常数项常数项 3x25x1 (x2)(x 1)6 47x20 3x25x10 x2 x80 7x2 0 x40 3 1 7 5 1 0 1 8 4 练一练练一练 1.关于关于x的方程的方程(k3)x2 2x10,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 3 2.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 ,当当k 时，是一元一次

7、方程时，是一元一次方程 1 1 想一想想一想: 3、写出方程、写出方程 的二次项系数、一次相系数和常数项。的二次项系数、一次相系数和常数项。 12)3)(31 ( 2 xxx 4 4、把方程、把方程(3x(3x2)2)2 24(x4(x3)3)2 2化成一化成一 元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式, ,并写出它的二并写出它的二 次项系数、一次项系数和常数项次项系数、一次项系数和常数项 5 5、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽都进不去，横着比门框宽尺尺，竖着比门框高，竖着比门框高尺尺， 另一个醉汉教他沿着门的两个

8、对角斜着拿竿，这个醉另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉 汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程请根据这一问题列出方程 4尺 2尺 x x4 x2 数学化 随堂练习： 练习练习 6 6根据题意，列出方程：根据题意，列出方程： （）有一面积为（）有一面积为54m54m2 2的长方形，将它的一边剪短的长方形，将它的一边剪短5m5m，另一边剪短，另一边剪短2m2m，恰好，恰好 变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ （）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为（）三个连续整数

9、两两相乘，再求和，结果为242242，这三个数分别是多少？，这三个数分别是多少？ 解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为x xm m，则原长方形的长为，则原长方形的长为(x(x5)5) m m，宽为宽为(x(x2)2) m m，依题意得方程：，依题意得方程： (x(x5) (x5) (x2) 2) 5454 解：设第一个数为解：设第一个数为X X，则另两个数分别为，则另两个数分别为X+1 X+1 ， X+2,X+2,依题意得方程：依题意得方程： x (xx (x1) 1) x(xx(x2) 2) (x(x1) (x1) (x2) 2) 242242 即即 x x2 2 7x7x44 44 0

10、 0 即即 3x3x2 2 6x6x24 024 00 0 x x2 2 2x2x8 08 00 0 在这个问题中，梯子底端滑动的距离在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)x(m)满足方程满足方程 (x+6)(x+6)2 2+7+72 2=10=102 2，把这个方程化为一般形式为，把这个方程化为一般形式为x x2 2+12x-15=0 +12x-15=0 （1 1）小明认为底端也滑动了）小明认为底端也滑动了1m1m，他的说法正确吗，他的说法正确吗? ?为什么为什么? ? （2 2）底端滑动的距离可能是）底端滑动的距离可能是2m2m吗吗? ?可能是可能是3m3m吗吗? ?为什么为什么? ?

11、不正确，因为不正确，因为x=1x=1不满足方程不满足方程 不正确，因为不正确，因为x=2x=2，3 3不满足方程不满足方程 （3 3）你能猜出滑动距离）你能猜出滑动距离x(m)x(m)的大致范围吗的大致范围吗? ? （4 4）x x的整数部分是几的整数部分是几? ?十分位部分是几十分位部分是几? ? 请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！ x x0 00.50.51 11.51.52 2 x x2 2+12x-15+12x-15-15-15-8.75-8.75-2-25.255.251313 下面是小亮的求解过程：下面是小亮的求解过程： 由此，他猜测由

12、此，他猜测1 1x x1.51.5 进一步计算：进一步计算： x x1.11.11.21.21.31.31.41.4 x x2 2+12x-15+12x-15-0.59-0.590.840.842.292.293.763.76 所以所以1.11.1x x1.21.2，由此他猜测，由此他猜测x x整数部分是整数部分是1 1，十分，十分 位部分是位部分是1 1 你的结果你的结果是是怎样的呢？怎样的呢？ 用用“两边夹两边夹”思想解一元二次方程的步骤：思想解一元二次方程的步骤： 在未知数在未知数x x的取值范围内排除一部分取值；的取值范围内排除一部分取值； 根据题意所列的具体情况再次进行排除；根据题意

13、所列的具体情况再次进行排除； 对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再 次筛选；次筛选； 最终得出未知数的最小取值范围或具体数据最终得出未知数的最小取值范围或具体数据 【规律方法规律方法】上述求解是利用了上述求解是利用了“两边夹两边夹”的思想的思想 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的 平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？ 【跟踪训练跟踪训练】 A A同学的做法：同学的做法： 设五个连续整数中的第一个数为设五个连续整数中的第一个数为x x，那么后面四个数依，那

14、么后面四个数依 次可表示为次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： x x2 2+(x+1)+(x+1)2 2+(x+2)+(x+2)2 2=(x+3)=(x+3)2 2+(x+4)+(x+4)2 2 即：即：x x2 2-8x-20=0-8x-20=0 x x-3-3-2-210101111 x x2 2-8x-20-8x-2013130 00 01313 所以所以x=-2x=-2或或10.10.因此这五个连续整数依次为因此这五个连续整数依次为-2-2， -1-1，0 0，1 1，2 2；或；或1010，1111，12

15、12，1313，14.14. B B同学的做法：同学的做法： 设五个连续整数中的中间一个数为设五个连续整数中的中间一个数为x x，那么其余四个数，那么其余四个数 依次可表示为依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： (x-2)(x-2)2 2+(x-1)+(x-1)2 2+x+x2 2=(x+1)=(x+1)2 2+(x+2)+(x+2)2 2 即：即：x x2 2-12x=0-12x=0 x x-1-10 011111212 x x2 2-12x-12x13130 0-11-110 0 所以所以x=0 x=0或或12

16、.12.因此这五个连续整数依次为因此这五个连续整数依次为-2-2，-1-1，0 0， 1 1，2 2；或；或1010，1111，1212，1313，14.14. 7.7.一名跳水运动员进行一名跳水运动员进行1010米跳台跳水训练，在正米跳台跳水训练，在正 常情况下，运动员必须在距水面常情况下，运动员必须在距水面5 5米以前完成规定米以前完成规定 的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易 出现失误。假设运动员起跳后的运动时间出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(t(秒秒) )和和 运动员距水面的高度运动员距水面的高度h(h(米米) )满足关系：满足关

17、系： h=10+2.5t-5th=10+2.5t-5t2 2，那么他最多有多长时间完成规定，那么他最多有多长时间完成规定 动作动作? ? 【解析解析】根据题意，得根据题意，得10+2.5t-5t10+2.5t-5t2 2=5,=5,即即 2t2t2 2-t-2=0-t-2=0列表：列表： t t0 01 12 23 3 2t2t2 2-t-2-t-2-2-2-1-14 41313 所以所以1 1t t2,2,进一步列表计算：进一步列表计算： 所以所以1.21.2t t1.3,1.3,因此他完成动作的时间最多不超过因此他完成动作的时间最多不超过 1.31.3秒秒 t t1.11.11.21.21.31.31.41.4 2t2t2 2-t-2-t-2-0.68-0.68-0.32-0.320.080.080.520.52 3.3.学习了估算学习了估算axax2 2bxbxc c0 0（a a，b b，c c为常数，为常数，a0a0）近似）近似 解的方法：解的方法：“两边夹两边夹”； 4.4.知道了估算的步骤；知道了估算的步骤； （1 1）先确定大致范围）先确定大致范围 （2 2）再取值计算，逐步逼近）再取值计算，逐步逼近 5.