球的内接与外接

1、育才中学：康晓秋 球的内接正（长）方体的对角线等于球球的内接正（长）方体的对角线等于球 直径。直径。 一、直接法一、直接法 A B C D D1 C1 A1 O B1 A 1 A C 1 C O 对角面对角面 2 23R 设棱长为设棱长为1 1 27 变式变式1：一个正方体的各顶点均在同一球的球一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为面上，若该正方体的表面积为24，则该球的，则该球的 体积为体积为 .4 3 例例1、若棱长为若棱长为3的正方体的顶点都在同的正方体的顶点都在同 一球面上，则该球的表面积为一球面上，则该球的表面积为 . 变式变式2：一个长方体的各顶点均在同一球面

2、一个长方体的各顶点均在同一球面 上，且一个顶点上的三条棱长分别为上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为，则此球的表面积为 . 14 变式变式3：已知各顶点都在一个球面上的正四已知各顶点都在一个球面上的正四 棱柱高为棱柱高为4，体积为，体积为16，则这个球的表面积，则这个球的表面积 为（为（ ） A. B. C. D. 1620 24 32 C . r a 一、直接法一、直接法 内切球的直径等于正方体的棱长。内切球的直径等于正方体的棱长。 一、直接法一、直接法 内切球的直径等于正方体的面对角线长。内切球的直径等于正方体的面对角线长。 球内切于正球内切于正 方体的各条方体

3、的各条 棱棱 甲图乙图 丙图 例例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. C. D.1: 2: 31: 8: 27 33 1: 4: 9 球的外切正方球的外切正方 体的棱长等于体的棱长等于 球直径。球直径。 2 1 4=SR 甲甲 正方形的对角线正方形的对角线 等于球的直径。等于球的直径。 2 2 4=2SR 乙乙 球的内接正方体的对球的内接正方体的对 角线等于球直径。角线等于球直径。 2 3 4=3SR 丙丙 A

4、 A C B P O O 二、构造法二、构造法 例例1、（2012辽宁辽宁16）已知正三棱锥）已知正三棱锥P-ABC，点，点 P,A,B,C都在半径为都在半径为 的球面上，若的球面上，若PA,PB,PC 两两互相垂直，则球心到截面两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离的距离 为为 。 3 3 3 1、构造正方体、构造正方体 变式题变式题、已知球、已知球O的面上四点的面上四点A、B、C、D， 则球则球O的体积为的体积为 。 3,BCABDABCABABCDA，平面 2 9 例例5、 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外的外 接球的表面积。接球的表面积。 求正多面体外接球的

5、半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径 变式题：变式题：一个四面体的所有棱长都为一个四面体的所有棱长都为 ，四，四 个顶点在同一球面上，则此球的表面积（个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ） A. B. C. D. 2 3 43 36 A 2、构造长方体、构造长方体 已知点已知点A、B、C、D在同一个球面上，在同一个球面上， ，则，则B、 C两点间的球面距离是两点间的球面距离是( ). BBCDA 平面 BCDC 6,AC=2 13,AD=8AB 3 4 ， ， 变式、变式、(2013郑州质检郑州质检)在三棱锥在三棱锥 中，中， ,则该三棱则该三棱 锥的内接球的表

6、面积为锥的内接球的表面积为 。 ABCD 6,5ABCDACBDADBC 43 三、确定球心位置法三、确定球心位置法 例、例、在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=4AB=4，BC=3BC=3，ACAC沿将沿将 矩形矩形ABCDABCD折成一个直二面角折成一个直二面角B-AC-DB-AC-D，则，则 四面体四面体ABCDABCD的外接球的体积为的外接球的体积为( () ) 12 125 .A 9 125 .B 6 125 .C 3 125 .D C A O D B 图4 四、公式法四、公式法 例、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直例、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直 于底面，已知

7、该六棱柱的顶点都在同一个球面上，于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个 球的体积为球的体积为 。 8 9 3 4 思考题：半径为思考题：半径为R的球的外切圆柱的球的外切圆柱(球与圆柱的侧球与圆柱的侧 面、两底面都相切面、两底面都相切)的表面积为的表面积为_，体积，体积_ 2 6 R 3 2 R . 8 6 4 6 3 4 3 4 , 4 6 3 3 3 2 , 3 2 3 1 1, 3 3 , 3 3 22 2 1 2 1 2 1 111 RV RRRAOORt AOSASOrABC rAORSOOABCDSS

8、O 球 ，解得中，由勾股定理得，在 从而识得，中，用解直角三角形知则在 上，设外接球半径为在的高，外接球的球心是正四面体解：设 五、构造直角三角形五、构造直角三角形 例例13、求棱长为、求棱长为1的正四面体外接球的体积。的正四面体外接球的体积。 六、寻求轴截面圆半径法六、寻求轴截面圆半径法 例例1 1、正四棱锥、正四棱锥S-ABCDS-ABCD的底面边长和各侧棱的底面边长和各侧棱 长都为长都为 ，点，点S,A,B,C,DS,A,B,C,D都在同一球面上，都在同一球面上， 则此球的体积为则此球的体积为 . . C D A B S O 1 图3 解解 设正四棱锥的底面中心为设正四棱锥的底面中心为

9、，外接球的球心为，外接球的球心为O O， 如图如图3 3所示所示.由球的截面的性质，由球的截面的性质， 可得可得 又又 ，球心球心O O必在必在 所在的直线上所在的直线上. . 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆 的半径就是外接球的半径的半径就是外接球的半径. . 在在 中，由中，由 是外接圆的半径，也是是外接圆的半径，也是 外接球的半径外接球的半径. .故故 1 O ABCDOO平面 1 1 SO ASC ASC 1 2 . ., 2,2 222 AC RtACASC ACSCSAACSCSA 为斜边的是以 得 3 4 球 V ABCDSO平面 1 2 几何体的内切球几何体的内切球 例、正四面体的棱长为例、正四面体的棱长为a，则其内，则其内 切球和外接球的半径是多少？切球和外接球的半径是多少？ 图1 解：如图解：如图1所示，设点所示，设点o是内切球的球心，正四面体是内切球的球心，正四面体 棱长为棱长为a由图形的对称性知，点由图形的对称性知，点o也是外接球的球也是外接球的球 心设内切球半径为心设内切球半径为r，外接球半径为，外接球半径为R 正四面体的表面积正四面体的表面积 正四面体的体积正四面体的体积 在在 中，中， 即即 ，得，得 得得 22 3 4 3 4aaS 表 2222 12 3 4 3 3 1