第10章 第4课时 随机事件的概率

1、第十章计数原理和概率第十章计数原理和概率 第第4课时随机事件的概率课时随机事件的概率 1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概 率的意义，了解频率与概率区别率的意义，了解频率与概率区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式了解两个互斥事件的概率加法公式 请注意请注意 1多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及 运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查 2互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也

2、会出现在解 答题中，多为应用问题答题中，多为应用问题 1随机事件及其概率随机事件及其概率 (1)必然事件：必然事件：_ (2)不可能事件：不可能事件：_ (3)随机事件：随机事件： _ 在一定条件下必然要发生的事件 在一定条件下不可能发生的事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 频率 常数 2事件的关系与运算事件的关系与运算 (1)一般地，对于事件一般地，对于事件A与事件与事件B，如果事件，如果事件A发生，事件发生，事件 B_发生，这时称事件发生，这时称事件B包含事件包含事件A(或称或称A包含于事件包含于事件 B)，记作，记作 (或或 ) (2)若若 ，且，且 ，则称事件，则称事件A与事

3、件与事件B相等，记作相等，记作AB. (3)若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生发生 事件事件B发生，则称发生，则称 此事件为事件此事件为事件A与事件与事件B的并事件的并事件(或或 )，记作，记作 _(或或 ) 一定 BAAB BAAB 或 和事件 ABAB (4)若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生发生 事件事件B发生，则称发生，则称 此事件为事件此事件为事件A事件事件B的交事件的交事件(或或 )，记，记 作作_ (5)若若AB为不可能事件，为不可能事件，(AB )，则称事件，则称事件A与事件与事件B 互斥，其含义是：互斥，其含义是： _ (6)若若AB为

4、不可能事件，为不可能事件，AB为必然事件，则称事件为必然事件，则称事件A与与 事件事件B ，其含义是：，其含义是： _ 且 积事件 AB(或AB) 事件A与事件B在任一次试验中不会同时发生 互为对立 事件A与事件B在任一次试验中有且仅有一个发生 3概率的几个基本性质概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为概率的取值范围为 . (2)必然事件的概率为必然事件的概率为 . (3)不可能事件的概率为不可能事件的概率为 . (4)互斥事件概率的加法公式：互斥事件概率的加法公式： 若事件若事件A与事件与事件B互斥，则互斥，则P(AB) 特别地，若事件特别地，若事件B与事件与事件A互为对立事件，则互为对

5、立事件，则P(A) _ 0P(A)1 1 0 P(A)P(B) 1P(B) 1判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(打打“”或或“”) (1)事件发生频率与概率是相同的事件发生频率与概率是相同的 (2)随机事件和随机试验是一回事随机事件和随机试验是一回事 (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生两个事件的和事件是指两个事件都得发生 (5)若随机事件若随机事件A发生的概率为发生的概率为P(A)，则，则0P(A)1. (6)6张券中只有一张有奖，若甲、乙先后各抽取一张，则张券中只有一张有奖，若甲、乙先后各抽取一张

6、，则 甲中奖的概率小于乙中奖的概率甲中奖的概率小于乙中奖的概率 答案答案(1)(2)(3)(4)(5)(6) 2某人在打靶时，连续射击某人在打靶时，连续射击2次，事件次，事件“至少有至少有1次中靶次中靶” 的互斥事件是的互斥事件是() A至多有至多有1次中靶次中靶B2次都中次都中 C2次都不中靶次都不中靶 D只有只有1次中靶次中靶 答案答案C 3从一堆产品从一堆产品(其中正品与次品都多于其中正品与次品都多于2件件)中任取中任取2件，下件，下 列事件是互斥事件但不是对立事件的是列事件是互斥事件但不是对立事件的是() A恰好有恰好有1件次品和恰好有件次品和恰好有2件次品件次品 B至少有至少有1件次

7、品和全是次品件次品和全是次品 C至少有至少有1件正品和至少有件正品和至少有1件次品件次品 D至少有至少有1件次品和全是正品件次品和全是正品 答案答案A 解析解析依据互斥和对立事件的定义知，依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事都不是互斥事 件；件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件是互斥事件 但不是对立事件但不是对立事件 4掷一枚均匀的硬币两次，事件掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次：一次正面朝上，一次 反面朝上；事件反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确：至少一次正面朝上，则下列结果正确 的是的是() 答案D

8、6将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等 差数列的概率为差数列的概率为_ 例例1某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两个同时在地铁某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两个同时在地铁 第第1号车站号车站(首车站首车站)乘车假设每人自第乘车假设每人自第2号车站开始，在号车站开始，在 每个车站下车是等可能的约定用有序数对每个车站下车是等可能的约定用有序数对(x，y)表示表示 “甲在甲在x号车站下车，乙在号车站下车，乙在y号车站下车号车站下车” (1)用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出 来；

9、来； (2)求甲、乙两人同在第求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；号车站下车的概率； (3)求甲、乙两人同在第求甲、乙两人同在第4号车站下车的概率号车站下车的概率 题型一题型一 随机事件及概率随机事件及概率 【解析解析】(1)用有序数对用有序数对(x，y)表示甲在表示甲在x号车站下车，乙号车站下车，乙 在在y号车站下车，则甲下车的站号记为号车站下车，则甲下车的站号记为2,3,4共共3种结果，乙种结果，乙 下车的站号也是下车的站号也是2,3,4共共3种结果甲、乙两个下车的所有可种结果甲、乙两个下车的所有可 能结果有能结果有9种，分别为：种，分别为：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)

10、，(3,3)， (3,4)(4,2)，(4,3)，(4,4) 探究探究1解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个 事件的含义判断一个事件是必然事件、不可能事件、随事件的含义判断一个事件是必然事件、不可能事件、随 机事件的依据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定机事件的依据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定 出现、不可能出现或可能出现、可能不出现随机事件发出现、不可能出现或可能出现、可能不出现随机事件发 生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所 有结果数的比有结果数的比 同时掷两颗骰

11、子一次，同时掷两颗骰子一次， (1)“点数之和是点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在点数之和在213范围之内范围之内”是什么事件？其概率是是什么事件？其概率是 多少？多少？ (3)“点数之和是点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？是什么事件？其概率是多少？ 【思路思路】依定义及概率公式解答依定义及概率公式解答 思考题思考题1 例例2某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为为 “只订甲报只订甲报”，事件，事件B为为“至少订一种报纸至少订一种报纸”，事件，事件C为为 “至多订一种报纸至多订一种报纸”，

12、事件，事件D为为“不订甲报不订甲报”，事件，事件E为为 “一种报纸也不订一种报纸也不订”判断下列事件是不是互斥事件；如判断下列事件是不是互斥事件；如 果是，再判断它们是不是对立事件：果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与与C；(2)B与与E；(3)B与与C；(4)C与与E. 题型二题型二 随机事件的关系随机事件的关系 【解析解析】(1)由于事件由于事件C“至多订一种报纸至多订一种报纸”中包括中包括“只只 订甲报订甲报”，即事件，即事件A与事件与事件C有可能同时发生，故有可能同时发生，故A与与C不不 是互斥事件是互斥事件 (2)事件事件B“至少订一种报纸至少订一种报纸”与事件与事件E“一种

13、报纸也不订一种报纸也不订” 是不可能同时发生的，故事件是不可能同时发生的，故事件B与与E是互斥事件；由于事件是互斥事件；由于事件 B发生会导致事件发生会导致事件E一定不发生，且事件一定不发生，且事件E发生会导致事件发生会导致事件 B一定不发生，故一定不发生，故B与与E还是对立事件还是对立事件 (3)事件事件B“至少订一种报纸至少订一种报纸”中有这些可能：中有这些可能：“只订甲报只订甲报 纸纸”“”“只订乙报纸只订乙报纸”“”“订甲、乙两种报纸订甲、乙两种报纸”，事件，事件C“至至 多订一种报纸多订一种报纸”中有这些可能：中有这些可能：“一种报纸也不订一种报纸也不订”“”“只只 订甲报纸订甲报纸

14、”“”“只订乙报纸只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发，由于这两个事件可能同时发 生，故生，故B与与C不是互斥事件不是互斥事件 (4)由由(3)的分析，事件的分析，事件E“一种报纸也不订一种报纸也不订”是事件是事件C的一的一 种可能，即事件种可能，即事件C与事件与事件E有可能同时发生，故有可能同时发生，故C与与E不是不是 互斥事件互斥事件 【答案答案】(1)不互斥不互斥(2)互斥还对立互斥还对立(3)不互斥不互斥(4)不不 互斥互斥 探究探究2对互斥事件要把握住不同时发生，而对于对立事件对互斥事件要把握住不同时发生，而对于对立事件 除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类除不能同时

15、发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类 比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来， 看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关 系系 (1)对飞机连续射击两次，每次发射一枚对飞机连续射击两次，每次发射一枚 炮弹设炮弹设A两次都击中飞机两次都击中飞机，B两次都没击中飞机两次都没击中飞机， C恰有一弹击中飞机恰有一弹击中飞机，D至少有一弹击中飞机至少有一弹击中飞机，其，其 中彼此互斥的事件是中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是，互为对立事件的是 _ 【解析解析】设设I为对飞机

16、连续射击两次所发生的所有情况，为对飞机连续射击两次所发生的所有情况， 因为因为AB ，AC ，BC ，BD . 故故A与与B，A与与C，B与与C，B与与D为彼此互斥事件，而为彼此互斥事件，而BD ，BDI，故，故B与与D互为对立事件互为对立事件 【答案答案】A与与B，A与与C，B与与C，B与与D，B与与D 思考题思考题2 (2)在一次随机试验中，彼此互斥的事件在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概的概 率分别为率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是，则下列说法正确的是() AAB与与C是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件 BAB与与D是互斥事件，也是

17、对立事件是互斥事件，也是对立事件 CAC与与BD是互斥事件，但不是对立事件是互斥事件，但不是对立事件 DA与与BCD是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件 【解析解析】由于由于A，B，C，D彼此互斥，且彼此互斥，且ABCD是是 一个必然事件，故其事件间的关系可由如图所示的韦恩图一个必然事件，故其事件间的关系可由如图所示的韦恩图 表示，由图可知，任何一个事件与其余表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必个事件的和事件必 然是对立事件同，任何两个事件的和事件与其余两个事件然是对立事件同，任何两个事件的和事件与其余两个事件 的和事件也是对立事件的和事件也是对立事件 【答案答案】

18、D 例例3如图所示，如图所示，A地到火车站共有两条路径地到火车站共有两条路径L1和和L2，现随，现随 机抽取机抽取100位从位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如地到达火车站的人进行调查，调查结果如 下：下： 题型三题型三 随机事件的频率与概率随机事件的频率与概率 所用时间(分钟) 1020 2030 3040 4050 5060 选择L1的人数612181212 选择L2的人数0416164 (1)试估计试估计40分钟不能赶到火车站的概率；分钟不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径分别求通过路径L1和和L2所用时间落在上表中各时间段内所用时间落在上表中各时间段内 的频率，的频率，

19、(3)现甲、乙两人分别有现甲、乙两人分别有40分钟和分钟和50分钟时间用于赶往火车分钟时间用于赶往火车 站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过 计算说明，他们应如何选择各自的路径计算说明，他们应如何选择各自的路径 【解析解析】(1)由已民知共调查了由已民知共调查了100人，其中人，其中40分钟内不分钟内不 能赶到火车站有能赶到火车站有121216444人人 用频率估计相应的概率为用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择选择L1的有的有60人，选择人，选择L2的有的有40人，故由调查结果得频人，故由调查结果得频 率为率为 所用时间

20、(分钟) 1020 2030 3040 4050 5060 选择L1的频率0.10.20.30.20.2 选择L2的频率00.10.40.40.1 (3)A1，A2分别表示甲选择分别表示甲选择L1和和L2时，在时，在40分钟内赶到火车分钟内赶到火车 站；站； B1，B2分别表示乙选择分别表示乙选择L1和和L2时，在时，在50分钟内赶到火车分钟内赶到火车 站由站由(2)和和P(A1)0.10.20.30.6， P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)， 甲应选择甲应选择L1； P(B1)0.10.20.30.20.8， P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)， 乙应选

21、择乙应选择L2. 【答案答案】(1)0.44(2)略略(3)甲应选择甲应选择L1，乙应选择，乙应选择L2 探究探究3频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映 事件发生可能性的大小，但无法从根本上刻画事件发生的事件发生可能性的大小，但无法从根本上刻画事件发生的 可能性大小，通过大量重复试验可以发现，随着试验次数可能性大小，通过大量重复试验可以发现，随着试验次数 的增多，事件发生的频率就会稳定于某个固定的值，这个的增多，事件发生的频率就会稳定于某个固定的值，这个 值就是概率值就是概率 某种产品的质量以其质量指标值衡量，某种产品的质量以其质量指标值衡量

22、， 质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102的产品为优质品，现用两种新配方的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为分别称为A配方和配方和B 配方配方)做试验，各生产了做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产件这种产品，并测量了每件产 品的质量指标值，得到下面试验结果：品的质量指标值，得到下面试验结果： 思考题思考题3 A配方的频数分布表配方的频数分布表 B配方的频数分布表配方的频数分布表 指标值 分值 90,94)94,98)98,102)102,106)106,110 频数82042228 指标值 分值 90,94)

23、94,98)98,102)102,106)106,110 频数412423210 【答案答案】(1)用用A配方优质品率约为配方优质品率约为0.3，用，用B配方优质品配方优质品 率约为率约为0.42 (2)2.68元元 例例4(1)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及 其概率如下：其概率如下： 求：求：派出医生至多是派出医生至多是2人的概率；人的概率； 派出医生至少是派出医生至少是2人的概率人的概率 题型四题型四 互斥与对立概念的初步应用互斥与对立概念的初步应用 医生人数012345人及以上 概率0.10.160.30.20.20.04 【解析解析

24、】记事件记事件A：“不派出医生不派出医生”，事件，事件B：“派出派出1 名医生名医生”，事件，事件C：“派出派出2名医生名医生”，事件，事件D：“派出派出3名名 医生医生”，事件，事件E：“派出派出4名医生名医生”，事件，事件F：“派出不少派出不少 于于5名医生名医生” 事件事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，彼此互斥， 且且P(A)0.1，P(B)0.16，P(C)0.3， P(D)0.2，P(E)0.2，P(F)0.04. “派出医生至多派出医生至多2人人”的概率为的概率为 P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56. 方法一：方法一：“派出医生至少派出医生至少2人人

25、”的概率为的概率为 P(CDEF)P(C)P(D)P(E)P(F)0.30.20.2 0.040.74. 方法二：方法二：“派出医生至少派出医生至少2人人”与与“派出医生至多派出医生至多1人人”是是 对立事件，对立事件， “派出医生至多派出医生至多1人人”的概率的概率 PP(A)P(B)0.10.160.26， 所以所以“派出医生至少派出医生至少2人人”的概率的概率 P01P10.260.74. 【答案答案】0.560.74 (2)一盒中装有大小和质地均相同的一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中个小球，其中5个红个红 球，球，4个黑球，个黑球，2个白球，个白球，1个绿球从中随机取出个绿

26、球从中随机取出1球，求：球，求： 取出的小球是红球或黑球的概率；取出的小球是红球或黑球的概率； 取出的小球是红球或黑球或白球的概率取出的小球是红球或黑球或白球的概率 探究探究4(1)解决此类问题，首先要结合互斥事件和对立事解决此类问题，首先要结合互斥事件和对立事 件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择公式件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择公式 进行计算进行计算 (2)求较复杂互斥事件的概率一般有两种方法：直接法和间求较复杂互斥事件的概率一般有两种方法：直接法和间 接法接法 特别是在解决至多、至少的有关问题时，常考虑应用对立特别是在解决至多、至少的有关问题时，常考虑应用对立

27、事件的概率公式事件的概率公式 思考题思考题4 (2)某射手在一次射击训练中，射中某射手在一次射击训练中，射中10环，环，9环，环，8环，环，7环环 的概率分别为的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射，计算这个射手在一次射 击中：击中： 射中射中10环或环或7环的概率；环的概率； 不够不够7环的概率环的概率 【解析解析】记记“射中射中10环环”为事件为事件A，“射中射中7环环”为事为事 件件B，由于在一次射击中，由于在一次射击中，A与与B不可能同时发生，故不可能同时发生，故A与与B 是为斥事件，是为斥事件，“射中射中10环或环或7环环”的事件为的事件为AB.故故

28、P(AB) P(A)P(B)0.210.280.49.射中射中10环或环或7环的概率环的概率 为为0.49. 【答案】0.490.03 1必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生 的，当条件变化时，事件的性质也发生变化的，当条件变化时，事件的性质也发生变化 2必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况， 因此，任何事件发生的概率都满足：因此，任何事件发生的概率都满足：0P(A)1. 3正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥 事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事 件，件，“互斥互斥”是是“对立对立”的必要而不充分条件的必要而不充分条件 1已知甲：已知甲：A1，A2是互斥事件；乙：是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，是对立事件