随机事件及其概率

1、第一章第一章第一章第一章第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念 预备知识预备知识 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 集合集合 集合的关系和运算集合的关系和运算 集合的运算规律集合的运算规律 排列排列 组合组合 元素的可重复排列元素的可重复排列 元素的不可重复排列元素的不可重复排列全排列全排列选排列选排列 等、子、并、交、补、差。等、子、并、交、补、差。 交换、结合、分配、对偶交换、结合、分配、对偶 在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . 1.1.确定性现象（必然现象）确

2、定性现象（必然现象） 例如例如“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”, , “ “水从高处流向低处水从高处流向低处”, , “ “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数”等等. . 自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: : 确定性现象；不确定性现象确定性现象；不确定性现象 第一章第一章 概率论基础概率论基础 确定性现象的特征：条件完全决定结果确定性现象的特征：条件完全决定结果 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称 为不确定性现象为不确定性现象. . 实例实例1 1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观 察

3、正反两面出现的情况察正反两面出现的情况. . 2.2.不确定性现象（随机现象）不确定性现象（随机现象） 结果有可能出现结果有可能出现正面正面也可能出现也可能出现反面反面. . 第一章第一章 概率论基础概率论基础 实例实例2 2 出生的婴儿可能是出生的婴儿可能是男男, , 也可能是也可能是女女. . 随机现象的特征：条件不能完全决定结果随机现象的特征：条件不能完全决定结果 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. . 1. 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; ; 2. 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不

4、止一个, ,并且能事先并且能事先 明确试验的所有可能结果明确试验的所有可能结果; ; 3. 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现会出现. . 在概率论中在概率论中, ,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称 为为随机试验随机试验E E. . 一、随机试验的定义一、随机试验的定义 随机试验随机试验与样本空与样本空 间间 说明说明 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语. 它包括各种各样的科学实验它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事也包括对客观事 物进行的物进行的 “调查调查”、“观察观察”或或 “

5、测量测量” 等等. 问题问题 SE E 定义定义 随机试验随机试验E的的所有可能结果所有可能结果组成的集合称组成的集合称 为为E的的样本空间样本空间, , 记为记为 . .有些书上记为有些书上记为 (S). 样本空间的元素样本空间的元素 , , 即试验即试验E的的每一个结果每一个结果, , 称为称为样本点样本点(e,).(e,). 二、样本空间二、样本空间 样本点样本点 问题问题 随机试验的结果随机试验的结果? ? 实例实例2 2 记录某城市记录某城市120120急救电话台一急救电话台一 昼夜接到的呼唤次数昼夜接到的呼唤次数. . 2 0,1, 2,. 二、样本空间二、样本空间 样本点样本点

6、实例实例1 1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, ,观察字面观察字面, ,花面出现的情况花面出现的情况. . 1 , .H T 字面朝上字面朝上H 花面朝上花面朝上T 实例实例3 3 一硬币连抛三次，观察正面、反面出现的情一硬币连抛三次，观察正面、反面出现的情 况况 3 3=HHH=HHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH，TTT TTT 实例实例4 4 一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数 4 4=0=0，1 1，2 2，33 显然，样本点是由试验的目的所确定的。显然，样本点是由试验的目的所确定的。 二、样本空间

7、二、样本空间 样本点样本点 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究 中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步 就是建立样本空间就是建立样本空间. 小小 结结 随机现象的特征随机现象的特征: 1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. . 条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果. 2. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有

8、可能结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现出现. 随随 机机 试试 验验 :SE 中的中的S 实例实例2 2 记录某城市记录某城市120120急救电话台一急救电话台一 昼夜接到的呼唤次数昼夜接到的呼唤次数. . 3 0,1, 2,.S 实例实例1 1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, ,观察字面观察字面, ,花面出现的情况花面出现的情况. . ., 1 THS 字面朝上字面朝上H 花面朝上花面朝上T 1 1 、定义定义 样本空间样本空间的子集称为的子集称为随机事件随机事件, ,简称简称 为为事件事件。 随机事件一般用大写字母随机事件一般用大写字

9、母A A、B B、CC表示。表示。 试验试验E E：掷一枚骰子，观察出现的点数。：掷一枚骰子，观察出现的点数。 样本空间样本空间 =1=1，2 2，3 3，4 4，5 5，66， “出现偶数点出现偶数点”的事件的事件A=2A=2，4 4，66； 例如例如 “出现大于出现大于6 6点点”的事件为不可能事件的事件为不可能事件； “出现点数不超过出现点数不超过6 6”的事件为必然事件的事件为必然事件 ，等等，等等。 当且仅当集合当且仅当集合A中的一个样本点出现时中的一个样本点出现时, 称称事件事件A发生发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . : 样本空间为样本空

10、间为 . 654321,S 事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点 1,3,5 B发生当且仅当发生当且仅当 B中的样本点中的样本点1, 3,5中的某一个中的某一个 出现出现. 事件发生：事件发生： AA E SA ( ) ( ) 意义：事件意义：事件A A发生必发生必导致导致事件事件B B发生。发生。 1.1.若若A B，则称事件，则称事件B事件事件A。 若若A B且且B A，则称事件，则称事件A A与事件与事件B， 记记为为 A=B。 S S B B A A 集合间的关系与运算集合间的关系与运算 2. 2.事件事件AB称为事件称为事件A与事件与事件B的的。 意义：意义：“和事件和事件ABAB发生

11、发生” “事件事件A A与事件与事件B B有一个发生有一个发生”。 ; , , , 21 1 的和事件的和事件个事件个事件为为称称推广推广 nk n k AAAnA . , , 21 1 的和事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称AAAk k 3.3.积事件积事件 ( (事件事件A与与B的交的交) ) .ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作 . 积事件积事件的的与事件与事件 称为事件称为事件且且事件事件 BA BxAxxBA A AB B ABAB ; , , , 21 1 的积事件的积事件个事件个事件为为称称推广推广 n n k k AAAnA . , , 21 1 的积事件的积事件为

12、可列个事件为可列个事件称称 AAA k k 4.4. 差事件差事件 由事件由事件A出现而事件出现而事件B不出现所组成的事不出现所组成的事 件称为事件件称为事件A与与B的差的差. . 记作记作A- B. . 图示图示A与与B的差的差. . A A B B A A B B AB AB BA BA 5. 5. 事件事件A与与B互不相容互不相容 ( (互斥互斥) ) 若事件若事件A的出现必然导致事件的出现必然导致事件B不出现不出现, , B 出现也必然导致出现也必然导致A不出现不出现, ,则称事件则称事件A与与B互不相互不相 容容, , 即即. ABBA 图示图示A与与 B互斥互斥. . A A B

13、B 设设A表示表示“事件事件A出现出现”, , 则则“事件事件A不出现不出现” 称为事件称为事件A的对立事件或逆事件的对立事件或逆事件. . 记作记作.A 图示图示A与与B的对立的对立. . B BA 若若A与与B互逆互逆, ,则有则有. ABSBA且且 A A 6. 6. 事件事件A的的对立事件对立事件 对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 A A B BA AB B A A A、B B 对立对立A A、B B 互斥互斥 AB 互互 斥斥对对 立立 AB AB 且 BABAABBA , CBACBA)( )( CBACBA)( )( )( )( )(CABACBA )( )( )

14、(CABACBA , ABABABAB 111 1 , nnnn kkk k kkk k BBBB 【例例1】 解解 CBA 特别注意：特别注意：BCCB ,CBA “A，B，C不会同时不发生不会同时不发生” ABCBCACBACABCBACBACBA ,CBA “A，B，C至少有一个发生至少有一个发生” CBABAA CBA CBA CBA “A，B，C至少有一个不发生至少有一个不发生” “A，B，C不会同时发生不会同时发生” ABC 【例例2 2】 k A)3 , 2 , 1( kk 321 )(AAAA 321 )(AAASC )()()( 123121 AAAAAAB 1 123231

15、23 ( )DA A AA A AA A A 解解由事件运算律知：由事件运算律知： 321321 AAASAAAS 321211123121 )()(AAAAAAAAAAAA 而而 仅表示仅表示“恰有一次击中恰有一次击中 目标目标”，故应选，故应选A,B,CA,B,C。 321321321 AAAAAAAAA 321 AAA 321 AAA 32121 AAAAA 321 AAA 设好事件，并用简单事件的运算关系来表达复设好事件，并用简单事件的运算关系来表达复 杂事件在解概率题中是基本而重要的。特别，要弄杂事件在解概率题中是基本而重要的。特别，要弄 清清“恰有恰有” ” 、“至少至少” ” 、

16、“至多至多” ” 、“都发生都发生” ” 、“都不发生都不发生”、不都发生、不都发生”等词语的含义。等词语的含义。 有些文字表达的事件可通过设事件为字母，再有些文字表达的事件可通过设事件为字母，再 利用事件的关系与运算来表达。此外，要注意同一利用事件的关系与运算来表达。此外，要注意同一 个事件的不同表达形式，注意语言表述的准确性。个事件的不同表达形式，注意语言表述的准确性。 注注 意意 利用文图易知：差事件可化为积事件利用文图易知：差事件可化为积事件;BABA .)(,BAABAABA和事件可互斥分解为和事件可互斥分解为 显然，这种互斥分解不一定唯一。显然，这种互斥分解不一定唯一。 练习：练习

17、： 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件,试将下列事件试将下列事件 用用A,B,C 表示出来表示出来. (1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现; (5) 三个事件都不出现三个事件都不出现; (2) A, B都出现都出现, C 不出现不出现; (3) 三个事件都出现三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现; ;)1(CBA ;)2(CAB ;)3(ABC ;)4(CBA ;)5(CBA (6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现; ;)6(CBACBACBACBA 0( )1 n fA A nn ,( ) An nfA A ( ) A n n

18、 fA n n A A nn A nAA,( ) n fA 试验试验 序号序号 5 n H nf 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 H nf 50 n 22 25 21 25 24 18 27 H n 500 n 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例实例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做

19、7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率. 处处波波动动较较大大在在 2 1 波动最小波动最小 随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性 处处波波动动较较小小在在 2 1 )(Hf 的增大的增大n . 2 1 随随n的增大的增大, , 频率频率f 呈现出稳定性呈现出稳定性 )(Hf 的增大的增大n . 2 1 实验者实验者nH n () n fH 0.5005 12012 24000皮尔逊皮尔逊 0.5016 6019 12000皮尔逊皮尔逊 0.5069 2048 4048蒲蒲 丰丰 0.5181 1061 2048 德德 摩根摩根 我们再来看一个验证

20、频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验. 试验模型如下所示试验模型如下所示: 自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自 由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰 到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边 落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉 子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板中 的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球, 则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果放但是如果放 入大量小球入大量小球,则其最后所呈现的

21、曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样几乎总是一样 的的. 单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出 请看动画演示请看动画演示 对相同或不同的试验次数，同一事对相同或不同的试验次数，同一事 件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同 ，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小；，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小； 1lim p n n P A n pA 随着试验次数的无限增大，事件的随着试验次数的无限增大，事件的 频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事 件发

22、生的可能性的大小。件发生的可能性的大小。 )()(AfAP n 1 1）、）、 设设为随机试验为随机试验E E的样本空间，对的样本空间，对E E的每个事的每个事件件A A，称，称 满足下列公理的实数满足下列公理的实数( (集合函数集合函数)P(A)P(A)为事件为事件A A的概率的概率: : 、非负性、非负性;0)(AP 、规范性、规范性( )1;P 、可列可加性、可列可加性 设设 为两两互斥事件组为两两互斥事件组, , 则有则有 , 21 AA ).( 11 k k k k APAP 由概率的公理化定义可得概率的性质由概率的公理化定义可得概率的性质: : P()=0. 设设 为两两互斥事件组

23、为两两互斥事件组, ,则有则有 n AAA, 21 ).( 11 n k k n k k APAP 有限可加性有限可加性 ).(1)(APAP 若若 , , 则则AB );()()(APBPABP 减法公式减法公式 有条件或有条件或 称单调性称单调性 ).()(APBP 对任意事件对任意事件A, A, 总有总有. 1)(AP ).()()()(ABPBPAPBAP 加法公式的推广加法公式的推广 三个事件和的情况三个事件和的情况 )( 321 AAAP ).()( )()()()()( 32131 3221321 AAAPAAP AAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况 )(

24、21n AAAP nji ji n i i AAPAP 11 )()( ).()1()( 21 1 1 n n nkji kji AAAPAAAP 解解 ),()()1(BPABP 由图示得由图示得 . 2 1 )()( BPABP故故 )()()( )2( APBPABP 由图示得由图示得 . 6 1 3 1 2 1 . 8 1 )()3(;)2(;)1( .)( , 2 1 3 1 , ABPBABA ABP BA 互斥互斥与与 的值的值三种情况下三种情况下 求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件 BA S S A B 例例1 1 )()()(ABPABP 3 . 8 3

25、 8 1 2 1 S AB AB )()(ABPBP 1、概率的定义、概率的定义 概率是随机事件发生可能性大小的度量概率是随机事件发生可能性大小的度量 概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值 概率是样本空间到实数集的集合函数概率是样本空间到实数集的集合函数 小结小结 2. 概率的性质概率的性质 三条公理三条公理六条性质六条性质 12 1 nP eP eP e n ,SE 12 , nSe ee A 12 , k iii Aeee 12 k iii eee k n 12 ( ) k iii P AP eP eP e A n a bC abn ( min( , ) )kn a ab n k nkk

26、abCC nkk a b kn a b CC p C 问题问题1 1 设袋中有设袋中有4 4只红球和只红球和6 6只黑球只黑球, ,现从袋中现从袋中有放回有放回 地地摸球摸球3 3次次, ,求前求前2 2次摸到黑球、第次摸到黑球、第3 3次摸到红球的概率次摸到红球的概率. . 解解 3,2次摸到红球次摸到红球第第次摸到黑球次摸到黑球前前设设 A 第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种 6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型 问题问题

27、2 设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球, 现从袋中现从袋中无放回无放回 地一次同时地一次同时摸出摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率. 解解 ,2只只球球都都是是白白球球摸摸得得设设 A 基本事件总数为基本事件总数为, 2 6 A 所包含基本事件的个数为所包含基本事件的个数为, 2 4 2 6 2 4 )(AP故故. 5 2 问题问题3 设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球, 现从袋中现从袋中无无 放回地依次放回地依次摸出摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率. 注意问题注意问题2和问题和问题3的区别与联系的区

28、别与联系 . 11 2 110 20 )( n k AP A . 11 6 110 60 )( n k BP B . 11 9 110 90 )( n k CP C 个盒子中去个盒子中去 n ( )Nn n N NNN (1)(1) n NAN NNn n N n A p N (1)(1) n N NNn N 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:分房模型分房模型 n nn P n , 365365 365 365 n n A 365 1 365 n n A P 202530405055100 0.41 0.570.71 0.890.970.990.9999997 n p .210 1234

29、78910 4 10 Cn ;70 1234 5678 4 81 Ck 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:随机取数模型随机取数模型 ;182 1234 5678 123 678 22 4 8 3 83 CCk ;28 12 78 2 82 Ck ; 3 1 210 70 )( 1 1 n k AP ; 15 2 210 28 )( 2 2 n k AP. 15 13 210 182 )( 3 3 n k AP 练习：练习： 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数, ,问取问取 到的整数既不能被到的整数既不能被6 6整除整除, , 又不能被又不能被8 8整除的概率整除的概

30、率 是多少是多少 ? ? 设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件 “取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为).(BAP )()(BAPBAP )(1BAP ).()()(1ABPBPAP 解解 ,334 6 2000 333 因因为为, 2000 333 )( AP所所以以 ,84 24 2000 83 由于由于. 2000 83 )( ABP得得 于是所求概率为于是所求概率为 )(BAP 2000 83 2000 250 2000 333 1 )()()(1ABPBPAP . 4 3 . 2000 250 )( BP故得故得,2

31、50 8 2000 由于由于 人人= =“球球” 星期几星期几= =“盒盒” 抽象抽象: :模型化模型化 7 12 12 103 7 2 p ： 40 0.0008 50000 p ,D A d () d P A D AA )( )( )( m Am AP 【例例1 1】 解解 .20| yx . 9 5 60 4060 2 22 p 【例例2 2】从区间（从区间（0 0，1 1）中随机地取两个数，求下列事件）中随机地取两个数，求下列事件 的概率：的概率： （1 1）两数之和小于）两数之和小于1.2; 1.2; （2 2）两数之和小于）两数之和小于1 1，且两数之积大于，且两数之积大于0.09.0.09. 设所取两数分别为设所取两数分别为x x，y y，样本点（，样本点（x x，y y）为正）为正 方形区域方形区域S=0S=0，1 1；0 0 =“=“两数之和小于两数之和小于1.21.2”对应的平面区域为对应的平面区域为 .),(