第五章 大数定律与中心极限定理

1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 第一节 大数定律 一、切比雪夫不等式 定理1(切比雪夫不等式) 设 是一随机变量,数学 期望E(X)与方差D(X)都存在,对任给常数 ,有 X 0 2 )( |)(| XD XEXP 证明 设 是连续型随机变量,概率密度为 X),(xf 则 )|(| )(|)(| XEx dxxfXEXP 22 2 )|(| 2 2 )( )( )( )( )( XD dxxf XEx dxxf XEx XEx 上述不等式给出了在随机变量X的分布未知时对 事件 的概率下界的一个估计.| )(|XEX 切比雪夫不等式还可以写为 2 )( 1| )(|

2、XD XEXP 记 , 则有 )(),(XDXE 9 8 3|XP 16 15 4|XP 解解 由切比雪夫不等式得 2 () . D X P XEX 2 21 2. 22 P XEX 二、大数定律 定理1（切比雪夫大数定律）设X1 , X2 , Xn 是一列相互独立的随机变量序列，若存在常数C， 使得,2, 1,)(iCXD i则对任意的, 0有 0)( 11 lim 11 n i i n i i n XE n X n P 证明 n i in X n Y 1 1 则 n C XD n YD n i in )( 1 )( 1 2 令 由切比雪夫不等式，有 0 )( | )(| 22 n n nn

3、 n CYD YEYP 证毕 定理3 (切比雪夫大数定律的特殊情况) , 1n XX相互独立且具有相同的数学期望 和方差: 2 )(,)( ii XDXE),2, 1(i则对于任意的 , 0有 0 1 lim 1 n i i n X n P 此时称 n i i X n 1 1 依概率收敛于,记为 P n i i X n 1 1 设 定理4(伯努利大数定律) 设nA是n重伯努利试验 中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概 率为 ,则对于任意的 有) 10( pp , 0 0lim p n n P A n 即频率 n n A 依概率收敛于概率, p即 p n n P A 证明 令 没出现次试

4、验中第 出现次试验中第 Ai Ai X i , 0 , 1 ,2, 1i 由于 ),1 ()(,)(ppXDpXE ii ,2, 1i 故由定理3,知有 n i iA Xn 1 并且)( 1 1 n i i XE n p 0lim p n n P A n 定理5（辛钦大数定律）设 独立 同分布，数学期望均为 , 则对于任意的 , 1n XX , 0 有 0 1 lim 1 n i i n X n P 或 P n i i X n 1 1 第二节 中心极限定理 中心极限定理揭示了正态分布的普遍性。 定理1(林德伯格-列维中心极限定理) 设 , 1n XX 独立同分布,且,)(,)( 2 ii XD

5、XE 则对于任意的实数x,有 )( 2 1 lim 2 1 2 xdtex n nX P xt n i i n 由该定理,当n很大时,就可以认为 近似服 从正态分布 . n i i X 1 ),( 2 nnN 定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设nA 是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每 次试验中出现的概率为 则对于任意 的实数x,有 ),10( pp )( )1 ( limxx pnp npn P A n 证明 令 没出现次试验中第 出现次试验中第 Ai Ai X i , 0 , 1 ,2, 1i n i iA Xn 1 由于),1 ()(,)(ppXDpXE ii ,2, 1i

6、并且 故由定理1，得证 根据该定理，若 ),(pnBX 则当 很大时，有n )( )1 ( xx pnp npX P 例1 将一枚硬币连续的抛掷1000次,分别计算出 现正面的次数大于530,550的概率. 解 设X为出现正面的次数,则有)5 . 0 ,1000( BX 由棣莫弗-拉普拉斯定理,有 5301530XPXP 5.05.01000 5.01000530 5.05.01000 5.01000 1 X P 0294.09706.01)8974.1(1 250 30 1 同理 0)1623. 3(1 250 50 1550 XP 例2 某车间有同型号的机床200部,每部机器开动 的概率为

7、0.7,假定各机床开关是相互独立的,开动时 每部机器要耗电能15个单位,问电厂最少要供应该 车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因 供电不足而影响生产? 解 设 表示某一时刻机器开动的台数,则X )7 . 0 ,200( BX 设电厂至少要供应 个单位的电能,则由题意,有x 95. 0 15 x XP 由棣莫弗-拉普拉斯定理,有 3 . 07 . 0200 7 . 0200 15 3 . 07 . 0200 7 . 0200 15 x X P x XP 95. 0 42 140 15 x 查表得,应有 65. 1 42 140 15 x 故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才能以

8、 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 25.22601569.150 x 9 . 01 24 2 n 例4 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是 随机的，假设每箱的平均重50千克，标准差5千克。若 用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理 说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概 率大于0.997. 解 设 ), 2 , 1(niX i 是装运的第 箱的重量,in 是所求得箱数,有条件可知,可以把 看 作是相互独立同分布的随机变量,而总重量 n XXX, 21 nn XXXT 21 是独立同分布的随机变量之和. 由林德伯格-列维定理, 由题意知, 5)(,50)( ii XDXE并且要求 满足n )2(997. 05000 n TP n n n nT PTP n n 5 505000 5 50 5000 n n101000 所以 必须满足n 2 101000 n n 0199.98n 即最多可以装98箱。 概率论中的关键词 随机试验,样本空间,事件