专题08二次函数与菱形存在型问题(解析版)

1、备战2021中考数学之解密压轴解答题命题规律专题08二次函数与菱形存在型问题【典例分析】【例1】如图，抛物线 y a2 bx 3(a 0)经过点A(1,0)和点B 3,0，与y轴交于点C .(2) 假设点p是直线BC下方的抛物线上一动点(不点 b，C重合)，过点P作y轴的平行线交直线 BC于 点D，设点P的横坐标为m . 用含m的代数式表示线段 PD的长； 连接PB，PC，求 PBC的面积最大时点P的坐标；(3) 设抛物线的对称轴与 BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如

2、果不存在，请说明理由 思路点拨(1 )根据抛物线 y=ax2+bx+3 (a工0经过点A (1, 0)和点B (3, 0)代入即可求解；(2) 先确定直线BC解析式，根据过点 P作y轴的平行线交直线 BC于点D，即可用含m的带上书表示 出P和D的坐标进而求解；用含m的代数式表示出 PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；(3) 根据(1)中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标.总分值解答(1) 抛物线y= ax2+bx+3 (a工0经过点A (1, 0)和点B (3, 0),与y轴交于点C,a b 3 0a 1二，解得，9a 3b 3 0b 4二抛物线

3、解析式为y= X2- 4x+3 ；(2)设 P ( m, m2- 4m+3),将点B (3, 0)、C (0, 3)代入得直线BC解析式为yBc =- x+3 .过点P作y轴的平行线交直线 BC于点D ,/ D (m，- m+3), / PD =( m+3) -( m2- 4m+3) =- m2+3m .答：用含m的代数式表示线段 PD的长为-m2+3m .Sa pbc= Sa cpd+Sa bpd1 3 2 9=OB?PD= m2+ m2 2 23 /3、2 272 2 83当m=时，S有最大值.2m2 - 4m+3 =3 当m= 3时，2 P ( 3 ,-2答： PBC的面积最大时点3P的

4、坐标为(2(3)存在这样的点M和点N，使得以点C、M、N为顶点的四边形是菱形.根据题意，点E (2, 1), EF=CF=2 , EC=2 , 根据菱形的四条边相等, ME=EC=2 2， M (2, 1-2)或(2, 1+2、2 )当 EM=EF=2 时，M (2, 3)点 M 的坐标为 M1 (2, 3) , M2 (2, 1- ) , M3 ( 2, 1+2、, 2) 【名师点睛】此题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.【例2】如图，在平面直角坐标系内，抛

5、物线 yx2 2x 3与x轴交于点A , C (点A在点C的左侧)，与y轴交于点B，顶点为D .点Q为线段BC的三等分点(靠近点 C).(1 )点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当MQC的周长最小时，求ACME面积的最大值；(2)在(1)的条件下，当 ACME的面积最大时，过点 E作EN x轴，垂足为N，将线段CN绕点C1顺时针旋转90得到点N，再将点N向上平移-个单位长度得到点P,点G在抛物线的对称轴上，请问在6平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D , P, G , H构成菱形.假设存在，请直接写出点 H的坐标，假设不存在，请说明理由思路点拨(1)连接Q

6、A交抛物线对称轴于M，此时 MQC周长最小，可求出2M (1 ,-),再求出直线CM解析式311y=- x+1 ,设点 E(t, -t2+2t+3 ),根据 Sa ecm=ES?( C 横坐标-M横坐标 )可得出Sa ECM =32=-(t-7 )2+也,即 Sacme636121最大值=36(2)根据题意可求得 P (3, 2),利用两点间距离公式或勾股定理得DP=2J2，由菱形性质得 PH/ DG / y轴，PH=DP=2 &，分两种情况： 点H在点P上方；点H在点P下方.总分值解答(1 )令 y=0,得-x2+2x+3=0，解得 X1=-1 , X2=3, A (-1, 0), C (3

7、, 0),令 x=0 ,得 y=3 ,- B (0 , 3),如图1,过Q作QF丄x轴于F ,121D.朋1/ QF / OB , CQFs CBO ,.QF CF CQBO CO CB点Q为线段BC的三等分点(靠近点 C),.CQ 1 . 1CB 3.QF CF1 . 1 13 33 QF=CF=1 , Q (2, 1), y=-x2+2x+3=- (x-1) 2+4, D (1, 4)，抛物线对称轴 x=1连接AQ交抛物线对称轴于 M，那么(1,2-)，此时 MQC周长最小.3设直线CM解析式为y=kx+b，那么3k23，解得:0E作EN丄x轴于N , EN交CM于S,1那么，S (t,

8、- 1+1),31 ES=-t2+2t+3- (- t+1 )31 y=-x+1,3设E (t, -t2+2t+3 )为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过2 7=-t2+ t+2,3 c12 772 121SCME = X2ES=-t2+ 一 t+2=- (t- 一 ) 2+ 一 ,2 3636 -1 v 0,当 t=7 时,6cme最大值=36(2)存在如图2,由(1)知CN=0C-0N=3- 7=口，由旋转得 CN =CN=U , CN丄x轴,6 6 6由题意得CP丄x轴，CP=CN+N P=2 P (3, 2)- DP= 3 1 22 4 2 =2. 2 ,四边形DPHG是菱形，

9、DG=PH=DP=2 2，PH DG, H (3, 2-22 ),如图3,H四边形DPHG是菱形， DG=PH=DP=2 ,2，PH/ DG, H (3, 2+22 )如图4，四边形DPGH是菱形，P与H关于抛物线对称轴对称,二 H (-1 , 2).如图5，过点P作PG丄直线x=1于G,作DH丄直线x=1，过P作PH丄DH于H ,/ PH=DG=DH=PG=2 , / PGD=90四边形DPGH是菱形，二 H (3, 4)综上所述，点 H的坐标为(3, 2-2 2 )或(3, 2+2.2 )或(-1 , 2)或(3, 4).【名师点睛】 此题考查了二次函数的图象和性质，顶点、对称轴，三角形周

10、长最小利用对称转化为两点之间线段最短的应用，菱形的性质，分类讨论等.1 2【例3】如图，直线y x 4交x轴于点A，交y轴于点C,抛物线yx2 bx c经过点A，交y轴2于点B 0, 2 点D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，设点D的横坐标为m .(2) 当点D在直线AC下方的抛物线上运动时，求线段PD长度的最大值；(3) 假设点E是平面内任意一点，是否存在点D，使以B，C， P， E为顶点的四边形为菱形？假设存在， 请直接出m的值；假设不存在，请说明理由.思路点拨(1)先根据直线解析式求得点 A的坐标，再将点 A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可得到答案；(2)根据PD

11、丄x轴知点P的横坐标为 m，由点D与点P所在的位置表示两点的坐标，得到线段 PD的二次函数 解析式，利用顶点式解析式即可求得最大值；(3)当四边形为菱形时四条边相等，故 BCP为等腰三角形，分三种情况，根据两边相等求得 m值总分值解答(1) 对于 y x 4,令y 0,得x 4, A 4,0.1 2将 A 4,0 , B 0, 2 代入 y x bx c,21得 01 16 4b C，2 c,b 3,解得2c 2,1 3故抛物线的解析式为y 2 2x 2-(2)易得P m,m4 , D1m,-2 m3m 2 ,22PD41 232mmm221 216mm221 /1 249(m)228点D在直

12、线AC下方的抛物线上,4981当m 时，线段PD的长度有最大值，为2VBCP必为等腰三角形.(3)存在，m的值为6，3 2，3 2或3 .解法提示：当以 B , C, P , E为顶点的四边形为菱形时,由 B 0, 2 , C 0,4 , Pm, m 4 ,得 BC236 , PB2 m22 2(m 4 2)2 2m212m 36PC2 m2( m 4 4)22 m2.分以下三种情况讨论.当BC PB时，BC2PB2,即 36 2m2 12m 36,解得m 0 (不合题意，舍去)，m2 6 . 当 BC PC 时，BC2 PC2 , 即 36 2m2,解得讥 3、2 , g 3.2 . 当 P

13、B PC 时，PB2 PC2,即 2m212m 36 2m2,综上可知，m的值为6, 3 2，3 2或3.【名师点睛】此题是二次函数的综合题，(2)中求线段长度的最大值时可利用两点的坐标求得线段长度的函数解析式， 根据解析式求得最大值即可，(3)中是函数图像与图形的综合题，依据图形的性质解题是关键方法【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = - _3x2 2-3x+ 3与x轴交于A, B两点，与y轴交3 3于点C,点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与直线 AC交于点E.(1)假设点P为直线AC上方抛物线上的动点，连接 PC ,卩丘，当厶PCE的面积Sapce最大时，点P关于抛 物线对称

14、轴的对称点为点 Q,此时点T从点Q开始出发，沿适当的路径运动至 y轴上的点F处，再沿适当 的路径运动至x轴上的点G处，最后沿适当的路径运动至直线 AC上的点H处，求满足条件的点 P的坐标 及QF+FG+ -AH的最小值.3(2 )将厶BOC绕点B顺时针旋转120边BO所在直线与直线 AC交于点M，将抛物线沿射线 CA方向 平移一 J3个单位后，顶点 D的对应点为D,点R在y轴上，点N在坐标平面内，当以点 D, R , M , N3思路点拨3一(1)易求 A (- 3, 0), B (1, 0), C (0, J3),直线 AC 的直线解析式为 y=，当 PCE 的3面积Sapce最大时，当P点

15、到直线AC的距离d最大即可求出点 P坐标，进而可求点 Q坐标，作点Q关于y轴的对称点Q,作AC关于X轴的对称AC，过点Q作直线AC的垂线交于点 H，角y轴于点F，交x轴于点G,即可求QF+FG+的最小值；32由平移可知抛物线向下移动3个单位，向左平移1个单位，易求BO的直线解析式为y=、3x 、3 ,3从而可以知道点 M的坐标，然后分类讨论：当DM是菱形RDNM的对角线时，当DM / RN时.总分值解答0 ,61在 y-I x2 三3x 、3 中令 y=0,解得 X!3 33,X21 , A (- 3, 0), B (1, 0),令 x=0,解得y 下，那么C 0，巧，求得D 直线AC的直线解

16、析式为y 乜 X、3,3过点P作PK / y轴交AC于点K，设P x,- 3 2x3x -3 ,其中 330,那么K3x,x3SVPECPK1-1 PK21 .3 2 2 .3=xx 32 33抛物线开口向下,又3 x 0且对称轴为直线 x二当X 时，Sa pce最大,2点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q,抛物线对称轴 x =- 1- Q1 5、32，4作点Q关于y轴的对称点Q -25 3),作AC关于x轴的对称 AC4过点Q作直线AC的垂线交于点H，交y轴于点F,交x轴于点G, QF = QF,/ CAO = / OAH = 30 HG = AHtan30。= AH ,3 QF+FG+ AH

17、 = QF+FG+HG = QH ,3过Q作QM丄x轴，交x轴于点M ,交AH于点N , QM =,4在 Rt AMN 中，AM = 7 ,2 MN = I-3 ,629厂- QN =. 3 ,12在 VQ MG,VAHG 中，/ AHG / QMG,Z AGH / Q GB VQ MGsVAHG/ HQN = / OAH = 30, QH = 298(2) 在 RtAOBC 中，OC=、3 , OB = 1 ,/ CBO = 60将 BOC绕点B顺时针旋转120,/ OBC = 60- O ( 3 , _f ),2 2将抛物线沿射线 CA方向平移2 J3个单位,3 BB = 2 3 , BB

18、 / AC ,3/ BBK = 30过点B丄x轴，交x轴于点K,在 Rt BBK 中，BK = 3 , BK = 1 ,3-抛物线向下移动二3个单位,3向左平移个单位,- D (- 1,心),3- D (- 2, ,3 ),- BO的直线解析式为y=込x-，3 ,y 3x 、3M点坐标为方程组.3的解,y x V33- M 3，仝,2 2当DM是菱形RDNM的对角线时,1 3丿3DM的中点为(-一，),4 41设 R (0, n) , N (, m),2 n m.n _ 3灵A/32 4 2m=-3 ,1 _- N3 )；2当DM / RN时，设 R (0, n) , N (- 7, m),2

19、/ DM 2=( - ) 2+ ( _1) 2= 13,2 23 DN2=( -) 2+ ( .3 - n) 2= 13,m=73 姮或m =胚-?22N (- 7, Q込3)或N(-,姮);2222N (- 7，爲44、)或N(-7，亦丿43 )或 N (- ， J3 )；2222 211III备用團【名师点睛】此题考查的是二次函数图像的综合问题，能够熟练准确的调动二次函数各方面知识是解题的关键5 1【例5】二次函数y =- x2+bx+c的图象与直线y =- x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上，过4 2点B作BC丄x轴，垂足为C( - 3, 0).(1) 填空：b =, c=.点

20、N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP丄x轴，垂足为点 P,交AB于点M，求MN 的最大值；思路点拨(1)由一次函数解析式求得点 A、B的坐标，然后将其代入二次函数解析式，即利用待定系数法确定函数解析式；设M的横坐标是X,那么根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；(3)BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，那么BC=MC ,据此即可列方程，求得 x的值，从而得到 N的坐标；总分值解答由直线y =-1x+1 得到：A(0 , 1),把x=- 3代入y=-1x+12得到:1y =- 2*- 3)+1故 B(

21、- 3, 5).2c=1将A、B的坐标分别代入2+bx+c,5，3 3b c2417解得 b =, c= 1 ；4沁52 17设 N(m，- m2m+1),44一 1那么，M , P点的坐标分别是(m，- m+1),25171MN = ( - m2m+1) (m2+1),442(m,0),5215=m m4 45 3 2 45=_ (m+ _)2+4 2163 45.当m=-时，MN的最大值为45 ;2 16连接MN , BN，由BM与NC互相垂直平分,四边形BCMN是菱形 由 BC / MN , MN = BC，且 BC = MC , 而 BC =一 _ x( _ 3)+1 =2即:5m21

22、551且(-m+1)2+(m+3) 2=254解得：m =- 1;故当N( - 1 , 4)时，BM与NC互相垂直平分【名师点睛】 此题主要考查了二次函数综合题，菱形的性质，掌握二次函数综合题，菱形的性质是解题的关键1 7【例6】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-一 x2- x- 3交x轴于A, B两点(点A在点B的左2 2侧),交y轴于点C(1) 求直线AC的解析式；(2) 点P是直线AC上方抛物线上的一动点(不与点A,点C重合)，过点P作PD丄x轴交AC于点D, 求PD的最大值；(3) 将厶BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点为点 B,点0平移后的对应点为点 0 点C平移后的对

23、应点为点 C,点S是坐标平面内一点，假设以A, C, 0 S为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S的坐标.思路点拨(1) y-x2 7x 3,令y=0,那么x=-1或-6，故点A、B、C的坐标分别为:2 2(-6, 0)、(-1, 0)、(0,-3,然后用待定系数法即可求解;2设点 P x，-x2 |x 3，那么点 D X，gx-3)，那么PD= -x27x3-x-3 = -X23x，然后配方法分析其最值，即可求解；3分AC是菱形的2 2 2 2边、AC是对角线两种情况,分别求解即可.2总分值解答(1 )当 y=0 时，!x227x 3=02解得：x=-1或-6，当 x=0 时，y=-3

24、点A、B、C的坐标分别为:(-6，0)、(-1,0)、(0，-3 )，设直线AC的表达式为:kx b将点A、C的坐标代入得:6k b 0k解得：b直线AC的解析式为:1x-321(2)设点 P ( x，-x21 27那么 PD= x2-x 32 27 x21x-3 ) = x2 23，那么点D(x，3x=-x-3)21 2(x 3)1 9 - v 0,故PD有最大值为-2 2(3) 设直线BC的表达式为：y kx b将点B、C的坐标代入得:k 3解得：b 3直线BC的解析式为：y 3x-3 如图3或4中，当四边形 ACSO是菱形时，设 AS交CO于K , AC=AO =3 .5 ,点O平移后的

25、对应点为点O,平移直线的k为3 ,20那么设点O向左平移m个单位，那么向上平移 3m个单位，那么点 O (-m, 3m),设点S (a, b), ( m+6) 2+ ( -3m)2= (3.5 ) 2,解得m=6 3 1410. ，( 6 3、忆1018+9 忆)或106+3、141018 )10由中点公式可得:(6 3、142012+9.14 )20或(6+3用2012 9,袒)/ ,/ AK=KS ,12+9 一14 )或(54+3 .和10101010 如图5或6中，当四边形 ACOS是菱形时，设 CS交AO于K, AC=CO =35 ,点O平移后的对应点为点O,平移直线的k为3 , C

26、 (0, -3)，设O (m, -3m),二 m2+ -3m+3 2= 3、5 2,解得m= 3 3115 O9 9怖或3 3州 9 9州555由中点公式可得：K 27+3 119 9、石或27 3 一后 9 9 一后10 ， 10 “ 10 ， 10 / CK=KS ,27+3、不 6 9 .石55或( 如图7中，当四边形 ASCO是菱形时，SO垂直平分线段 AC ,riiLV 二图79直线SO的解析式为y 2x 292x -2 ,91027103xx解得y O9 27广10 10/ KS=KO ,51105710综上所述，满足条件的点S坐标为54 314 ,1012+9、石)或(54+3

27、.1412 10 10 1027+3石6 9不)或5527 3 亘 6 9 )或555157)10 10【点睛】此题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、中点公式的运用，此题难度较大，其中3，要注意分类求解，防止遗漏.【变式训练】1 如图，直线y= -x+2与y轴交于点21与直线y=- 2x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD恰与原点0重合，抛物线 y (x - h)2+k的顶点在直线y=-上移动假设抛物线与菱形的边AB、点CBC都有公共点，那么 h的取值范围是(B - 2 w h wi【答案】A【解析】【详解】 当抛物线经过C且顶点在C右侧时,y= (x- h) 2+k的

28、顶点在直线y=- 亠过C(0,0),2当抛物线经过 B点时，将 B (-2, 1)代入 y= (x- h) 2-,23解得 m=-2,h2=.(舍去)2应选A.1 92 .如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 Ci： yi=(x+3) 2- -，将抛物线 Ci向右平移3个单位、2 2再向上平移个单位得抛物线 C2，那么图中阴影局部的面积为 .【答案】2【解析】【分析】根据上T加，下T减，左T加，右T减的原那么表示抛物线 C2的解析式，由对称性可知：S阴影局部=Sa OPQ,先计算Q的坐标，表示 PQ的长，可得面积.【详解】1 9 9由平移可得：抛物线 C2的解析式：y2=(x+3-3 ) 2

29、- + ,2 2 21即抛物线C2的解析式：y2=x2,21由抛物线C2的解析式：y2=x2，可知，抛物线 C2过原点0,21 9当 x=-3 时，y2= x (-3) 2=,2 29Q (-3,),21 9T抛物线 Ci： yi=(x+3) 2 2 29P (-3,-),29 9PQ= +=9, P与Q关于x轴对称，2 2 OQ=OP,.g1127S 阴影局部=Saopq= X3 PQ= X3 X9=2 227故答案为：272【点睛】此题考查二次函数的平移规律、抛物线与x轴的交点、对称性、三角形面积以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移原那么是关键.3如图，在平面直角坐标系中，菱形OAB

30、C的顶点A在x轴正半轴上，顶点 C的坐标为4, 3, D是抛物线 y=- x2+6x上一点，且在x轴上方，那么 BCD面积的最大值为 【解析】试题解析：T D是抛物线y x2 6x上一点，设 D(x, x26x),T顶点C的坐标为(4,3),OC . 42 325,T四边形OABC是菱形，BC OC 5, BC Px 轴，1 5SVBCD 5 ( x2 6x 3) (x 3)215,2 25Q0,2SVBCD有最大值，最大值为15,故答案为15.0,顶点B在y轴正半轴上，顶点 D2-5X+C经过点B、C,那么菱形 ABCD的面积为【答案】20【解析】【分析】根据抛物线的解析式结合抛物线过点B、

31、C,即可得出点C的横坐标,由菱形的性质可得出 AD=AB=BC=5，3 .如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为3,再根据勾股定理可求出 OB的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形ABCD的面积.【详解】b5抛物线的对称轴为 x=-.2a2抛物线y=-x2-5x+c经过点B、C,且点B在y轴上，BC / x轴,点C的横坐标为-5.四边形ABCD为菱形， AB=BC=AD=5 ,点 D 的坐标为-2, 0, OA=3 .在 Rt ABC 中，AB=5 , OA=3 , B= i AB2 OA2 =4,S菱形ABCD =AD?OB=5 4=20故答案为20.【点睛】 此题考查

32、了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的性质以及平行四边形的面积，根据二4 .二次函数y=2 3 x2的图象如下图，点 0为坐标原点，点 A在y轴的正半轴上，点 B、C在函数图象上，四边形 OBAC为菱形，且/ OBA=120 ,那么点C的坐标为 .【答案】1 32，2【解析】【分析】连结BC交0A于D,如图，根据菱形的性质得BC丄0A , / OBD=60，利用含30度的直角三角形三边的关系得0D= 3bd，设BD=t，那么0D= 3t, B( t, 3t),利用二次函数图象上点的坐标特征得2 .3t2= /3t,得出BD= 1 , 0D=仝，然后根据菱形的性质得出 C点坐标.2

33、 2【详解】连结BC交0A于D,如图，四边形0BAC为菱形, BC 丄 0A ,/ 0BA=120 ,/ 0BD=60 ,0D=3 BD ,设 BD=t，那么 0D=3t,- B (t,3t),1把 B (t, . 3t)代入 y=2 3 x2 得 2 3t2=.、3t，解得 ti=0 (舍去)，t2=,2 BD= 1 , 0D= _!,2 2故C点坐标为：(-1 , _3 ).2 2故答案为：(-1, 3).2 2【点睛】此题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD的长是解题关键.1 25 .如图，菱形 OABC的顶点0、A、C在抛物线y X上，其

34、中点0为坐标原点，对角线 0B在y轴上,3且0B=2 .那么菱形 0ABC的面积是 .【答案】2、3【解析】1 2解：t菱形0ABC的顶点0、A、C在抛物线y x上，对角线0B在y轴上，且0B=2, 由题意可得:3A, C点纵坐标为1，故 仁-X2，解得：x=J3，故A ( J3 , 1), C (- J3 , 1),故菱形0ABC的面积 31是：2X( 疋 X、3 ) =2、3 故答案为：2、3 .2点睛：此题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A, C点坐标是解题的关键.7如图，二次函数 y=ax2+2x+c的图象经过点 C (0, 3),与x轴分别交于点 A，点B (

35、3, 0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.(1) 求二次函数 y=ax 2+2x+c的表达式；(2) 连接PO, PC,并把 POC沿y轴翻折，得到四边形 POP C .假设四边形POP C为菱形，请求出此时点P的坐标；(3) 当点P运动到什么位置时，四边形 ACPB的面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ACPB的最大【答案】(1) y= - x2+2x+3 (2)(2+ 1 , 3) (3)当点p的坐标为(9 , I5)时，四边形ACPB的最2 22 4大面积值为8【解析】【分析】(1 )根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自

36、变量与函数值的对应关系，可得P点坐标;(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.PQ的长，根据面积的【详解】(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得9a 6 c c 3,a 1解得b 3,二次函数的解析式为 y= - x2+2x+3 ；(2)假设四边形POP C为菱形，那么点P在线段CO的垂直平分线上,如图1，连接PP,那么PE丄CO,垂足为E,二 E。，3，3点P的纵坐标一，2 一 2 一 当y 时，即 x 2x 32 22 2(不合题意，舍)点P的坐标为2一10, 一 ;2 2P在抛物线上，设 P ( m

37、, - m2+2m+3),设直线BC的解析式为y=kx+b ,3k30b3,k1解得b3.直线BC的解析为y= - x+3，设点Q的坐标为m， - m+3)，PQ=-m2;+2m+3 -(- m+3) = - m2+3m将点B和点C的坐标代入函数解析式，得当 y=0 时，-x2+2x+3=0 ,解得 Xi= - 1 , X2=3 ,OA=1 ,AB 314,111ABOC -PQOF-PQ FB,222143 1m23m3,2223375m 一22 8S 四边形 ABPC=SABC +SaPCQ+S PBQ3当m=时，四边形 ABPC的面积最大.2当m= 3时,2m2 2m 3 15，即P点的

38、坐标为弓,号42 4当点P的坐标为31575厂时，四边形ACPB的最大面积值为韦.【点睛】此题考查了二次函数综合题，解1的关键是待定系数法；解2的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解3的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质.2 1 18如图1，抛物线G : y ax bx 2与直线I: y x 交于x轴上的一点A，和另一点B 3,n2 2图1S21求抛物线Ci的解析式;2点P是抛物线Ci上的一个动点点P在A,B两点之间，但不包括A,B两点PMAB 于点 M，PN /y轴交AB于点N，求MN的最大值;3如图2,将抛物线Ci绕顶点旋转180

39、后，再作适当平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线Ci上，且抛持线C2与抛物线Ci交于点D，过点D作DF/X轴交抛物线C2于点F，过点E作EG/X轴交抛物线Ci于点G，是否存在这样的抛物线 C2，使得四边形DFEG为菱形？假设存在，请求E点的横坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】i y x2-x 2 ; 2乙卫；3 E点的横坐标为 2 -时，四边形DFEG为菱形2 2 5 2【解析】【分析】i求直线I与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线 Ci的解析式.2延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m,由PN / / y轴可得点N、H横坐标也为 m,即能用m表示PN、NH、

40、AH的长.由 AHN PMN 90及对顶角 ANH PNM可得 NAH NPM.发现在RtVPMN中，MN与PN比值即为sin NPM，故先在RtVANH中求sin NAH的值，再代入MN PN sin NPM，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得 MN最大值.1 33设点E e, e2e 2 ,所以可设抛物线C2顶点式为y -xe2 e2 e2.令两抛物线解2 2 2 22析式y 0列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线C1的顶点，故DG DE EF ,且求得DF平行且等于GE ,即四边形DFEG首先一定是平行四边形.由?DFEG为菱形可得 DF DG ,故此e的值.时VDE

41、F为等边三角形利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得【详解】解：1直线I: y1交x轴于点A,2x 10,解得：x2 21,0 ,3,3, n在直线I上,Q抛物线Ci :2 axbx2经过点9a3b解得:123，2抛物线Ci的解析式为H,设 PE，123m 一m 2 ( 1 m 3),Q PN /y轴,XnXhxP m，N m,-1 m ，AH m 1，22NH1 111PN1 1 12 3mmmmm2 2222 2 22Q RtVAHN 中，tanNAHNH1AH2NHNHNHNHsin NAHANNH 2AH2NH 2 (2NH )2.5NHQ PM AB于点M,AHNPMN90，Q

42、 ANHPNM，NAHNPM，RtVPMN中，sinNPMMNPN5MN5PN 1m2m3，(m 1)225 ?55221052MN的最大值为5，2 .55使得四边形DFEG为菱形,3存在满足条件的抛物线C2,DF于点251，3 25抛物线Ci顶点为 ,2 81 3设 E e, e2e 2 (e 4),2 2小12123抛物线C2顶点式为y (xe)2-e2-e2 ,2 2 2 1 /、21 23小1 23小当(Xe)ee 2XX 2 ,22222解得：X1e,X232325两抛物线另一交点D 2,7为抛物线Ci顶点,QEG/X 轴，DF/X 轴,32e 3, EQ -e23251 2 e39

43、EG DF 2DQ 2 e -e 2e -2228228四边形DFEG是平行四边形，假设?DFEG为菱形，那么DG DF ,Q由抛物线对称性可得：DG DE EF ,DEEFDF ,VDEF是等边三角形，EQtanEDQ6,DQ1 2 e3 e9 33 e -2282解得：ei3 (舍去),e2 2 3 -2 2E点的横坐标为 2、3 时，四边形DFEG为菱形.2【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，三角函数的应用，求二次函数最值，二元一次方程组和一元二次 方程的解法，菱形的判定和性质，掌握二次函数的图象与性质，三角函数的应用，求二次函数最值，二元 一次方程组和一元二次方程的解法，菱形的

44、判定和性质是解题的关键9 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y仝 x225 3_x 3 3与x轴交于A、B两点(点A在点B2(2)在直线BC上方有一点Q,连接QC、QB,当QBC面积最大时，一动点 P从Q出发，沿适当路径到达y轴上的M点，再沿与对称轴垂直的方向到达对称轴上的N点，连接BN，求QM + MN + BN的最小值.(3) 在直线BC上找点G , K是平面内一点，在平面内是否存在点G,使以0、C、G、K为顶点的四边形是菱形？假设存在，求出 K的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】(1) 7 5語；(2) 52601 3)存在，满足条件的点2K的坐标为(叩,于)或(6. 217字)或(

45、孚,竽).【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出A,B, C的坐标即可解决问题.(2)如图1中，作QH / 0C交BC于H.设Q (m, 迈m225 3_d m+3 J3 ),构建二次函数求出2BCQ 的=N -2，连接QB交对称轴于 N，作NM丄y轴于M，连接QM,那么此时QM+MN+BN的值最小.求出 BQ 的长即可面积最大时Q的坐标，如图2中，作点Q关于y轴的对称点Q,在QQ上取一点Q，使得QQ解决问题.(3)分二种情形：当 0C=CG时，可得菱形 0CGK，菱形OCGK.当CG是菱形的对角线时，可得菱形OCKG ，分别求解即可解决问题.【详解】(1)对于抛物线y3x2 5 3 x 3 3 ,2 2令 x=0，得到 y=3 3，可得 C ( 0, 3 3 ),令 y=0，得到 X2- 5x- 6=0,解得：x= - 1 或 6, A (- 1 , 0), B (6, 0),0A= , 0C=3 3 , 0B=6, AB=7, ACj2 3)2 2 . 7 , BC G.3)2 62 3 . 7 , ABC 的周长=7+27377+5 7 .(2)如图1中，作QH / OC交BC于H .设 Q (m, 3 m2 3m+3 _ 3 )