专题10直线与圆的应用(解析版)

1、专题10直线与圆的应用1、 【2021年高考北京卷文数】设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为I 那么以F为圆心，且与I相切的圆的方程为【答案】(x 1)2 y24【解析】抛物线 y2=4x中，2p=4, p=2,焦点F (1, 0),准线I的方程为x=- 1,以F为圆心，且与I相切的圆的方程为(x-1)2+/=22，即为(x 1)2 y2 4 .2、 【2021年高考浙江卷】圆 C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.假设直线2x y 3 0与圆C相切于点 A( 2, 1)，贝廿 m =, r =【答案】2， -、511【解析】由题意可知kACAC: y 1 (x 2)，把(0,m)代入直线AC

2、的方程得m 2 ,22此时 r | AC |厂.5 .此题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系首先通过确定直线 AC的斜率，进一步得到其方程，将(0,m)代入后求得m，计算得解解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质3、【2021年高考浙江卷】X2椭圆92y_51的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方，假设线段PF的中点在以原点 O为圆心，OF为半径的圆上，那么直线 PF的斜率是【答案】、15【解析】方法 仁如图，设F1为椭圆右焦点由题意可知|OF|=|OM |= c= 2 , 由中位线定理可得 PF1 2| OM | 4，设P(x, y)，可得(x

3、 2)2 y2 16 ,32x21 (舍)，22 2与方程y 1联立，可解得x953 J152l又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得 P / ，所以kpF 215 .2 212方法2:焦半径公式应用由题意可知|0F |=|0M |= c= 2 ,由中位线定理可得 PFi 2|0M | 4 ,即 a exp 4Xp从而可求得P 3,15 ，所以kPF2 215215.12此题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解也可利用焦半径及三角形中位

4、线定理解决，那么更为简洁4、【2021年高考全国I卷文数】直线y. 2x 1与圆x y2y 30交于A，B两点，贝y AB【答案】22【解析】根据题意，圆的方程可化为x2y 1 24，所以圆的圆心为 0, 1，且半径是2,根据点到直线的距离公式可以求得0 1 1I21 2结合圆中的特殊三角形，可知AB2、厂2，故答案为2&.该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用

5、勾股定理求得弦长0, 0),( 1, 1),( 2, 0)的圆的方程5、【2021年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点【答案】x2 y2 2x【解析】设圆的方程为DxEy F 0,圆经过三点0，0， 1，1， 2,0，解得0 ，那么圆的方程为x2 y2 2x 0.4 0 2D F6、【2021年高考浙江卷】2x椭圆921的左焦点为5F，点P在椭圆上且在x轴的上方,假设线段PF的中点在以原点 O为圆心，OF为半径的圆上，那么直线 PF的斜率是【答案】、15【解析】方法 仁如图，设F1为椭圆右焦点由题意可知|OF|=|OM |= c= 2 ,由中位线定理可得 PF|2|OM | 4，设

6、P(x, y)，可得(x 2)2 y216 ,2 2与方程1联立，可解得 x953,x221 (舍)23 寸152l又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得P ,，所以kPF 215 .2 2 PF 12由中位线定理可得PF12|OM | 4，即 a exp 4 xp|7153从而可求得P，邑，所以喀22212此题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答 解析几何问题的重要途径结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与 椭圆方程联立可进一步求解也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，那么更为简洁y2 2y 30交于A，B两点，那么

7、AB27【2021年高考全国I卷文数】直线y x 1与圆x【答案】2、2【解析】根据题意，圆的方程可化为x2y 1 24，所以圆的圆心为 0, 1，且半径是根据点到直线的距离公式可以求得i2结合圆中的特殊三角形，可知AB2 2，故答案为2 2.8、【2021年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中,经过三点0，0， 1，i， 2，0的圆的方程【答案】x2 y2 2x【解析】设圆的方程为x2DxEy F0 ,圆经过三点0, 0， 1，1， 2,0，那么 1 1 D E F4 0 2D F解得0 ，那么圆的方程为x2 y2 2x 0.0求圆的方程，主要有两种方法：1几何法：具体过程中要用到初中有关圆的

8、一些常用性质和定理.如:圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线.2待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆 心和半径有关，选择标准式，否那么，选择一般式不管是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.9、【2021年高考全国 川卷文数】直线x y 20分别与x轴，y轴交于a , b两点，点p在圆(x 2)2 y2 2上，那么 ABP面积的取值范围是A. 2 , 6B. 4, 8C.迈,3迈D. 22 , 3罷【答案】A【解析】Q直线x y 20分别与x轴，y轴交于a , B两点，A

9、 2,0 ,B 0, 2，那么AB 2 2 .Q点P在圆(x 2)2 y2 2上， 圆心为(2, 0)，那么圆心到直线的距离 d, _=1 2Q2.v2故点P到直线x y 2 0的距离d2的范围为 血,3运，那么Saabp - AB d2 2d2 2,6 .2.先求出A, B两故答案为A.此题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题点坐标得到 AB，再计算圆心到直线的距离，得到点P到直线距离的范围，由面积公式计算即可.10、【2021年高考全国I卷文数】点 A, B关于坐标原点 O对称，|AB| =4 O M过点A, B且与直线 x+2=0相切.(1) 假设A在

10、直线x+y=0上，求O M的半径；(2) 是否存在定点 P,使得当A运动时，|MA | - MP为定值？并说明理由.【答案】(1) e M的半径r=2或r=6 ; (2)存在，理由见解析.【解析】(1)因为e M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由A在直线x+y=0上，且A, B关于坐标原点o对称，所以M在直线y x上，故可设M(a, a).因为eM与直线x+2=0相切，所以e M的半径为r |a 2|.ujih lot22由得|AO|=2，又mo AO,故可得2a 4 (a 2)，解得a=0或a=4 .故e M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA| |MP

11、|为定值.理由如下：设M (x, y)，由得e M的半径为r=|x+2|,|AO|=2 .uuuu由于MOAO，故可得x2 y2 4 (x 2)2，化简得M的轨迹方程为y2 4x.因为曲线C : y2 4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.因为|MA| |MP|=r |MP|=x+2(x+1)=1，所以存在满足条件的定点 P.【名师点睛】此题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解一、圆的有关概念和方程1、定义：在平

12、面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2 2 22、 圆的标准方程：设圆心的坐标C a,b，半径为r，那么圆的标准方程为：x a y b r23、 圆的一般方程：圆方程为 x2 y2 Dx Ey F 0(1)x2,y2的系数相同(2)方程中无xy项(3)对于D,E,F的取值要求：D2 E2 4F 04、确定圆的方程的方法和步骤 ；确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1) 根据题意，选择标准方程或一般方程；(2) 根据条件列出关于 a，b，r或D E、F的方程组；(3) 解出a、b、r或D E、F代入标准方程或一般方程.5点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x a)

13、2+ (y b) 2= r2,点 Mx。, y)(1) 点在圆上：(xo a)2+ (yo b) 2= r2;(2) 点在圆外:(xo a)2+ (yo b)2r2;222(3) 点在圆内：(xo a) + (yo b) 0).要确定两个待定量a, r2的值，只需建立两个含a, r2的等式，建立方程组求解.由圆C过点A(2 ,(2 a) 2+( 1 + 2a) 2= r2,1),且与直线x + y = 1相切，得|a 2a 1| 迄 =r,5a2 8a+ 5= r2,a= 1,即22解得2 所以圆C的标准方程为(x 1)2+ (y+ 2)2= 2.a2 + 2a+ 1 = 2r2,r2= 2.

14、例2、(2021镇江期末)圆 C与圆x2+ y2+ 10x + 10y = 0相切于原点，且过点 A(0， 6),那么圆C的标准方程为.【答案】(x + 3)2+ (y + 3)2= 18【解析】由几何知识可知，圆心C在圆x2+ y2+ 10x + 10y = 0的圆心与原点的连线 y = x上，又在0A的垂直平分线y= 3上，所以C( 3, 3)，易得圆C的标准方程为(x + 3)2+ (y + 3)2= 18.例3、(2021苏州期末)在平面直角坐标系 xOy中，过点A(1 , 3), B(4 , 6)，且圆心在直线 x 2y 1 = 0上的圆的标准方程为 .【答案】(x 5)2+ (y

15、2)2= 17【解析】 思路分析由圆心既的线段 AB的垂直平分线上，又在直线x 2y 1= 0上，先求出圆心的坐标.5995线段AB的中点为M 2 2，斜率kAB = 1，所以线段 AB的垂直平分线方程为 y = x ?，即x + y = 7.x + y = 7,一由得圆心C(5, 2)，半径r = CA =17,圆C的方程为(x 5)2+ (y 2)2= 17.x 2y = 1,解后反思因为圆的标准方程中有三个待定量，所以只要建立一个含三个方程的方程组.(1 a)2+(3 b)2= r2,a= 5,设圆的标准方程为(x a)2 + (y b)2= r2,贝U(4 a)2+(6 b)2= r2

16、,解得 b= 2,a 2b 1 = 0,d= 17.所以圆的方程为(x 5)2+ (y 2)2= 17.题型二直线与圆的位置关系直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：1、代数法。2、几何法。运用几何法时要注意寻找直角三角形。例4、(2021南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy中，圆0: x2 + y2= 1，圆C: (x 4)2 + y2= 4.假设存在过点P(m, 0)的直线I，直线I被两圆截得的弦长相等，那么实数 m的取值范围是 .4【答案】4, 3【解析】当直线I斜率不存在时，I与两个圆不可能都相交，故不成立；当 I斜率存在时，设I的方程为 y =

17、k(x m)，g卩kx y km = 0，设圆0、圆C到直线I的距离分别为d1，d2，那么有：1 d2 = 4 d2，即卩d2 d2=3，所以m2=3,整理得1 + k21 + k2，所以m2吕尹,16 8m = 3+ 323，解得 mv13,又直线与圆相交，所以d11,那么；：2 1，即口冬上尹44即3m2 + 8m 160，解得4m-，综上实数 m的取值范围是 4，- 33l的方程为x解题反思1.设直线方程时，要考虑斜率是否存在，否那么会漏解，当然此题也可以设直线=my + a,从而防止了斜率的讨论.2.此题不能无视了对直线与圆相交这一条件的应用，即dr这一不等关系，而由于1 d2= 4

18、d2，故只需d11就能保证d22，因此不需要考虑直线 l与圆C相交的应用.3. 处理双元变量的取值范围，要有消元和整体代换的意识.例5、(2021无锡期末)过圆x2 + y2= 16内一点P( 2，3)作两条相互垂直的弦AB 和 CD，且 AB = CD，那么四边形ACBD的面积为【答案】.19【解析】设O到AB的距离为d1,0到CD的距离为d2,那么由垂径定理可得2d2= r2 AB ,d2=r2 CD2?226，由于 AB = CD，故 d1 = d2，且 d1 = d2= 2 0P =2 ，所以AB=r2 d2= 16J192，得 AB = 38,从而四边形ACBD的面积为S= 2AB

19、X CD = 2 X 38 X 38= 19.例6、(2021盐城三模)定义：点M(x0,y)到直线l : ax by c 0的有向距离为2 2A( 1,0) ,B(1,0)，直线m过点P(3,0)，假设圆x (y 18)81上存在一点C ,使得A, B,C三点到直线m的有向距离之和为 0，那么直线I的斜率的取值范围为3【答案】(，-4【解析】设直线 m的斜率为k，那么直线m的方程为y k(x3)，即 kxy 3k 0 ,设点 C(x), y)，那么点A, B,C三点到直线 m的有向距离分别为k 0 3k(1)24kk2=1,d2k 0 3k2k-?d3kx0 y0 3k kx0 y0 3k,

20、由d11d2 d30得,4kk_12kk_1kxo y 3k.k210，即kx0 y0 9k 0，又因为点在C圆上，故d18 9k9，即题型三隐圆问题的研究隐圆问题常见的有五种方法:1、定义法、2、阿波罗尼斯圆、3、ABAC .4、MAMB (定值)，5、轨迹法。在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题例7、(2021苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy中，圆C : (x 1)2寸 2，点A(2,0)，假设圆C上存在点M，满足MA2 MO2 10，那么点M的纵坐标的取值范围是I答案】中弓【解析】思路分析：根据条件可得动

21、点 M的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理解题过程：设M (x, y)，因为MA2 MO20)上存在点P,且点P关于直线x y= 0的对称点Q在圆C2： (x 2)2 + (y 1)2= 1上，贝U r的取值范围是 .【答案】.2 1,2 + 1【解析】设圆Ci上存在点P(xo, yo)满足题意，点P关于直线x y= 0的对称点Q(yo, xo),x2+( yo 1) 2= r2,贝U22故只需圆x2 + (y 1)2= r2与圆(x 1)2+ (y 2)2= 1有交点即可，所以|r(yo 2) 2+( xo 1) 2= 1,1|w (1 o) 2+( 2 1) 2w r+

22、 1，解得 2 1 r 2+ 1.6、 (2021苏州暑假测试)点A(1 , 0)和点B(o , 1),假设圆x2+ y2 4x 2y + t= 0上恰有两个不同的点 P,1使得 PAB的面积为2,那么实数t的取值范围是 .19【答案】.2,91【解析】思路分析 题设“圆x2+ y2 4x 2y+ t = O上恰有两个不同的点P,使得 PAB的面积为等价于“圆上有且只有两个点到直线AB的距离为22，进而思考圆心到直线AB的距离在什么范围内符合题意.圆x2+ y2 4x 2y+ t = O的方程可化为(x 2)2 + (y 1)2= 5 t,设点P到直线AB的距离为h,那么Spab =2 X 2

23、 X h= 1，解得h= j，而圆心到直线 AB的距离为 2,欲使得圆x2 + y2 4x 2y+ t = 0上恰有两个 不同的点P,使得 PAB的面积为2,那么需要圆上有且只有两个点到直线AB的距离为22,故圆的半径5 t2 2, 2+ 2，解得 t 2,9.7、 (2021南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，假设圆(x 2)2+ (y 2)2= 1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx + y + 3= 0上，那么实数k的最小值为 .4【答案】：3【解析】思路分析 “圆(x 2)2+ (y 2)2= 1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx + y + 3 = 0上

24、等价于“圆(x 2)2+ (y 2)2= 1关于x轴的对称圆与直线 kx + y + 3 = 0有公共点.圆(x 2)2+ (y 2)2= 1关于x轴的对称圆的方程为(x 2)2 + (y + 2)2= 1，由题意得圆心(2, 2)到直线 kx + y+ 3 = 0的距离d=了十日三1,解得一4 k 2 2. 当k = 2时，C1C2最小，得到PQ最小.解题反思 此题考查圆的切线长的问题， 主要考查了转化与化归的思想.切线长通常用勾股定理来求解,这样问题就转化为求圆外一点与圆上一点距离的最小值，而这种距离的最值问题，是圆的考查中常见的知识点.9、2021苏锡常镇调研一假设直线 I : ax+

25、y 4a= 0上存在相距为2的两个动点A , B,圆O: x2 + y2=1上存在点C,使得 ABC为等腰直角三角形C为直角顶点，那么实数a的取值范围为【答案】决.【解析】思路分析根据条件可以确定点 C的另一轨迹为圆，进而将问题转化为两个圆的位置关系解记线段AB的中点为M，因为 ABC为等腰直角三角形C为直角顶点，所以点C在以M为圆心，半径为1的圆上，又因为点离d=Kr2，解得C在圆O上，所以圆M和圆O有公共点，即0W OM 2,故圆心O到直线I的距3 aw 3，所以实数a的取值范围为 一亠3,32 2x y 1的两条切线，切点分33310、2021苏锡常镇调研二过直线 I： y x 2上任意

26、点P作圆C:别为A , B,当切线最小时， PAB的面积为1【答案】丄.2【解析】因为 PAOP2 r2. OP2 1，所以当0P最小时，切线长 PA最小.0P的最小值即点 0到002厂直线I的距离d V2，所以PAmin 1，此时 PAB为等腰直角三角形，所以PAB的V12 1211面积S PA PB .2211、 (2021镇江期末)圆O: x2 + y2= 1,圆M : (x a)2 + (y 2)2= 2假设圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点为 A , B，使得PA丄PB,那么实数a的取值范围为 .【答案】【解析】思路分析考察点P的轨迹C,轨迹C与圆M有公共点利用圆与圆的位置

27、关系求解.由PA丄PB, PA丄AO , PB丄OB , PA= PB,得四边形PAOB是正方形，所以 P的轨迹是以原点 O为圆 心，2为半径的圆.又点P也在圆M上，所以OM 2+ 2,得a2+ 22 8,解得一2 a 2.解后反思 此题是“隐圆问题，是江苏卷一大特色，通过圆与圆的位置关系，较好地实现了代数问题与几何问题的相互转化.12、 (2021南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中，假设动圆C上的点x0,表示的平面区域内，那么面积最大的圆C的标准方程为 .x + ,3y+ 3 0【答案】(x 1)2+ y2= 4【解析】首先由线性约束条件作出可行域，面积最大

28、的圆C即为可行域三角形的内切圆 (如图),由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r，那么圆心C(3 r,0)，且它与直线x3y + 3= 0相切，所以|33|寸1+ 3 =r，解得r= 2，所以面积最大的圆 C的标准方程为(x 1)2+ y2= 4.13、(2021南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，假设直线y = k(x 3,3)上存在一点P,圆x2+ (y 1)2=1上存在一点Q,满足OP= 3OQ，那么实数k的最小值为 .【答案】 3【解析】思路分析 由于点Q在圆上运动，导致点 P也随之移动，所以可以根据 OP= 3OQ,得出点P的轨迹方程，从而转化为直线与曲线的位置关系问题.

29、2 2设点 P(x, y)，由 OP= 3OQ可得 Q 3, 3 又点 Q 在圆 x2+ (y 1)2= 1 上，可得 | + 3 1 = 1,即卩 x2 + (y 3)2= 9，所以点P既在圆x2+ (y 3)2= 9上，又在直线y = k(x 3 3)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d= I w 3,解得一乜3w kw 0.勺1 + k214、(2021常州期末)过原点的直线I与圆x2+ y2= 1交于P, Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线I有异于Q的交点N,且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线I的方程为【答案】.y= 3x【解析】思路分析由PQ为圆的直径可得 AP丄AQ，