2021年初中锐角三角函数知识点总结.doc

1、2021年初中锐角三角函数知识点总结锐角三角函数及其应用榆林第六中学高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数锐角三角函数定义图在RtABC中C为直角则A为ABC中一锐角则有对边邻边斜边AC对边邻边斜边ACBA余弦：A正切：特殊角三角函数值图表记忆法角三角角函数三角值函数3004506001规律记忆法：30、45、60角正弦值分母全部是2分子依次为1、；30、45、60角余弦值恰好是60、45、30角正弦值。口诀记忆法口诀是：“一、二、三三、二、一三、九、二十七弦比二切比三分子根号不能删”前三句中123；321；3927分别是304560角正弦、余弦、正切值中分子根号内值弦比二、切

2、比三是指正弦、余弦分母为2正切分母为3最终一句讲是各函数值中分子全部加上根号不能丢掉如tan60=tan45=这种方法有趣、简单、易记考点二、解直角三角形1、由直角三角形中已知元素求出其它未知元素过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形类型和解法以下表：考点三、锐角三角函数实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线和水平线所成锐角中视线在水平线上方角叫仰角视线在水平线下方角叫俯角。坡度（坡比）、坡角坡面铅直高度和水平宽度比叫坡度（坡比）用字母表示；坡面和水平线夹角叫坡角方向角指北或指南方向线和目标方向线所成小于90锐角叫做方向角注意：东北方向指北偏东45方向东南方

3、向指南偏东45方向西北方向指北偏西45方向西南方向指南偏西45方向我们通常画图方位为上北下南左西右东二、锐角三角函数常见考法(一）、锐角三角函数以选择题形式出现.例1、（陕西）已知抛物线y=x22x+3和x轴交于A、B两点将这条抛物线顶点记为C连接AC、BC则tanCAB值为（）ABCD2【考点】抛物线和x轴交点；锐角三角函数定义【解析】先求出A、B、C坐标作CDAB于D依据tanACD=即可计算【解答】解：令y=0则x22x+3=0解得x=3或1不妨设A（30）B（10）y=x22x+3=（x+1）2+4顶点C（14）图所表示作CDAB于D在RTACD中tanCAD=2故答案为D(二）、锐角

4、三角函数以填空题形式出现.例2、（陕西）请从以下两个小题中任选一个作答若多选则按第一题计分A一个多边形一个外角为45则这个正多边形边数是8B利用科学计算器计算：3sin735211.9（结果正确到0.1）【考点】计算器三角函数；近似数和有效数字；计算器数开方；多边形内角和外角【解析】（1）依据多边形内角和为360进行计算即可；（2）先分别求得3和sin7352近似值再相乘求得计算结果【解答】解：（1）正多边形外角和为360这个正多边形边数为：36045=8(2）3sin735212.3690.96111.9故答案为：811.9例3、（陕西）图有一滑梯AB其水平宽度AC为5.3米铅直高度BC为2

5、.8米则A度数约为27.8（用科学计算器计算结果正确到0.1）【考点】解直角三角形应用-坡度坡角问题【解析】直接利用坡度定义求得坡角度数即可【解答】解：tanA=0.5283A=27.8故答案为：27.8【点评】本题考查了坡度坡角知识解题时注意坡角正切值等于铅直高度和水平宽度比值难度不大例4、(陕西)用科学计算器计算：+3tan5610.02（结果正确到0.01）【考点】计算器三角函数；计算器数开方【分析】先用计算器求出、tan56值再计算加减运算【解答】解：5.5678tan561.4826则+3tan565.5678+31.482610.02故答案是：10.02【点评】本题考查了计算器使用

6、要注意此题是正确到0.01例5、(陕西)图在正方形ABCD中AD=1将ABD绕点B顺时针旋转45得到ABD此时AD和CD交于点E则DE长度为2【考点】旋转性质【分析】利用正方形和旋转性质得出AD=AE进而利用勾股定理得出BD长进而利用锐角三角函数关系得出DE长即可【解答】解：由题意可得出：BDC=45DAE=90DEA=45AD=AE在正方形ABCD中AD=1AB=AB=1BD=AD=1在RtDAE中DE=2故答案为：2【点评】此题关键考查了正方形和旋转性质和勾股定理、锐角三角函数关系等知识得出AD长是解题关键(三）、锐角三角函数定义以解答题形式出现例6、（12分）（陕西）图在每一个四边形AB

7、CD中全部有ADBCCDBCABC=60AD=8BC=12(1）图点M是四边形ABCD边AD上一点则BMC面积为24；(2）图点N是四边形ABCD边AD上任意一点请你求出BNC周长最小值；(3）图在四边形ABCD边AD上是否存在一点P使得cosBPC值最小？若存在求出此时cosBPC值；若不存在请说明理由【考点】四边形综合题.【专题】综合题【解析】（1）图过A作AEBC可得出四边形AECF为矩形得到EC=ADBE=BCEC在直角三角形ABE中求出AE长即为三角形BMC高求出三角形BMC面积即可；(2）图作点C相关直线AD对称点C连接CNCDCB交AD于点N连接CN则BN+NC=BN+NCBC=

8、BN+CN可得出BNC周长最小值为BNC周长=BN+CN+BC=BC+BC求出即可；(3）图所表示存在点P使得cosBPC值最小作BC中垂线PQ交BC于点Q交AD于点P连接BPCP作BPC外接圆O圆O和直线PQ交于点N则PB=PC圆心O在PN上依据AD和BC平行得到圆O和AD相切依据PQ=DC判定得到PQ大于BQ可得出圆心O在BC上方在AD上任取一点P连接PBPCPB交圆O于点M连接MC可得BPC=BMCBPC即BPC最小cosBPC值最小连接OB求出即可【解答】解：（1）图过A作AEBC四边形AECD为矩形EC=AD=8BE=BCEC=128=4在RtABE中ABE=60BE=4AB=2BE

9、=8AE=4则SBMC=BC?AE=24；故答案为：24；(2）图作点C相关直线AD对称点C连接CNCDCB交AD于点N连接CN则BN+NC=BN+NCBC=BN+CNBNC周长最小值为BNC周长=BN+CN+BC=BC+BCADBCAEBCABC=60过点A作AEBC则CE=AD=8BE=4AE=BE?tan60=4CC=2CD=2AE=8BC=12BC=4BNC周长最小值为4+12；(3）图所表示存在点P使得cosBPC值最小作BC中垂线PQ交BC于点Q交AD于点P连接BPCP作BPC外接圆O圆O和直线PQ交于点N则PB=PC圆心O在PN上ADBC圆O和AD相切于点PPQ=DC=46PQB

10、QBPC90圆心O在弦BC上方在AD上任取一点P连接PBPCPB交圆O于点M连接MCBPC=BMCBPCBPC最大cosBPC值最小连接OB则BON=2BPN=BPCOB=OP=4OQ在RtBOQ中依据勾股定理得：OQ2+62=（4OQ）2解得：OQ=OB=cosBPC=cosBOQ=则此时cosBPC值为【点评】此题属于四边形综合题包含知识有：勾股定理矩形判定和性质对称性质圆切线判定和性质和锐角三角函数定义熟练掌握定理及性质是解本题关键例7、（10分）(陕西省)已知抛物线C：y=x2+bx+c经过A（30）和B（03）两点将这条抛物线顶点记为M它对称轴和x轴交点记为N(1）求抛物线C表示式；

11、(2）求点M坐标；(3）将抛物线C平移到C抛物线C顶点记为M它对称轴和x轴交点记为N假如以点M、N、M、N为顶点四边形是面积为16平行四边形那么应将抛物线C怎样平移？为何？新课标xkb1.【考点】二次函数图象和几何变换；二次函数性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形性质菁优网版权全部【分析】（1）直接把A（30）和B（03）两点代入抛物线y=x2+bx+c求出bc值即可；(2）依据（1）中抛物线解析式可得出其顶点坐标；(3）依据平行四边形定义可知有四种情形符合条件如解答图所表示需要分类讨论【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（30）和B（03）两点解得故此抛物线解析式为：y=

12、x22x+3；(2）由（1）知抛物线解析式为：y=x22x+3当x=1时y=4xKb1.M（14）(3）由题意以点M、N、M、N为顶点平行四边形边MN对边只能是MNMNMN且MN=MNMN?NN=16NN=4i）当M、N、M、N为顶点平行四边形是?MNNM时将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件抛物线C；ii）当M、N、M、N为顶点平行四边形是?MNMN时将抛物线C先向左或向右平移4个单位再向下平移8个单位可得符合条件抛物线C上述四种平移均可得到符合条件抛物线C【点评】本题考查了抛物线平移变换、平行四边形性质、待定系数法及二次函数图象和性质等知识点第（3）问需要分类讨论避免漏解例8、（1

13、2分）(陕西)问题探究(1）图在矩形ABCD中AB=3BC=4假如BC边上存在点P使APD为等腰三角形那么请画出满足条件一个等腰三角形APD并求出此时BP长；(2）图在ABC中ABC=60BC=12AD是BC边上高E、F分别为边AB、AC中点当AD=6时BC边上存在一点Q使EQF=90求此时BQ长；问题处理(3）有一山庄它平面图为图五边形ABCDE山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置用来监视边AB现只要使AMB大约为60就能够让监控装置效果达成最好已知A=E=D=90AB=270mAE=400mED=285mCD=340m问在线段CD上是否存在点M使AMB=60？若存在请求出符合条件

14、DM长若不存在请说明理由【考点】圆综合题；全等三角形判定和性质；等边三角形性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形性质；正方形判定和性质；直线和圆位置关系；特殊角三角函数值菁优网版权全部【专题】压轴题；存在型【分析】（1）因为PAD是等腰三角形底边不定需三种情况讨论利用三角形全等、矩形性质、勾股定理等知识即可处理问题(2）以EF为直径作O易证O和BC相切从而得到符合条件点Q唯一然后经过添加辅助线借助于正方形、特殊角三角函数值等知识即可求出BQ长(3）要满足AMB=60可结构以AB为边等边三角形外接圆该圆和线段CD交点就是满足条件点然后借助于等边三角形性质、特殊角三角函数值等知识就可算出符合条件D

15、M长【解答】解：（1）作AD垂直平分线交BC于点P图则PA=PDPAD是等腰三角形四边形ABCD是矩形AB=DCB=C=90PA=PDAB=DCRtABPRtDCP（HL）BP=CPBC=4BP=CP=2以点D为圆心AD为半径画弧交BC于点P图则DA=DPPAD是等腰三角形四边形ABCD是矩形AD=BCAB=DCC=90AB=3BC=4DC=3DP=4CP=BP=4点A为圆心AD为半径画弧交BC于点P图则AD=APPAD是等腰三角形同理可得：BP=总而言之：在等腰三角形ADP中若PA=PD则BP=2；若DP=DA则BP=4；若AP=AD则BP=(2）E、F分别为边AB、AC中点EFBCEF=B

16、CBC=12EF=6以EF为直径作O过点O作OQBC垂足为Q连接EQ、FQ图ADBCAD=6EF和BC之间距离为3OQ=3OQ=OE=3O和BC相切切点为QEF为O直径EQF=90过点E作EGBC垂足为G图EGBCOQBCEGOQEOGQEGOQEGQ=90OE=OQ四边形OEGQ是正方形GQ=EO=3EG=OQ=3B=60EGB=90EG=3BG=BQ=GQ+BG=3+当EQF=90时BQ长为3+(3）在线段CD上存在点M使AMB=60理由以下：以AB为边在AB右侧作等边三角形ABG作GPAB垂足为P作AKBG垂足为K设GP和AK交于点O以点O为圆心OA为半径作O过点O作OHCD垂足为H图则

17、O是ABG外接圆ABG是等边三角形GPABAP=PB=ABAB=270AP=135ED=285OH=285135=150ABG是等边三角形AKBGBAK=GAK=30OP=AP?tan30=135=45OA=2OP=90OHOAO和CD相交设交点为M连接MA、MB图AMB=AGB=60OM=OA=90OHCDOH=150OM=90HM=30AE=400OP=45DH=40045若点M在点H左边则DM=DH+HM=40045+3040045+30340DMCD点M不在线段CD上应舍去若点M在点H右边则DM=DHHM=40045304004530340DMCD点M在线段CD上总而言之：在线段CD上

18、存在唯一点M使AMB=60此时DM长为（4004530）米_|k|B|1.c|O|m【点评】本题考查了垂直平分线性质、矩形性质、等边三角形性质、正方形判定和性质、直线和圆位置关系、圆周角定理、三角形中位线定理、全等三角形判定和性质、勾股定理、特殊角三角函数值等知识考查了操作、探究等能力综合性很强而结构等边三角形及其外接圆是处理本题关键三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学关键内容三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数这部分知识学习对于学生来说有一定难度下面就三角函数教学中轻易出现多个“错误”进行分析：1对应关系混淆AB图9【1】图9优异村准备在坡角为AB图9A.米B.米C.米D.米解析：分

19、别过点BA作平行水平面直线和垂直于水平面直线相交于点C。则ABC是直角三角形且C=90,CBA=,故选B。ABCD图10ABCD图102专用名词不清【2】图10斜坡AC坡度（坡比）为1:AC10米坡顶有一旗杆BC旗杆顶端B点和A点有一条彩带AB相连AB14米试求旗杆BC高度解析：坡度是表示斜坡铅直距离和水平距离比所以过点C作CEAD于ECE为铅直距离AE为水平距离即CE：AE=1:。CAE=30解直角三角形AEC可得CE=5（m）,AE=（m）,在RtABE中（m）,BC=BE-CE=6（m）错因分析：本题要注意斜坡坡度是坡角正切值搞清坡角和坡度区分和联络；其它实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。四、锐角三角函数