测量误差PPT学习教案

1、会计学1 测量误差测量误差PPT课件课件 测量与观测值测量与观测值 观测观测与观测值的分类与观测值的分类 观测条件观测条件 等精度观测和不等精度观测等精度观测和不等精度观测 直接观测和间接观测直接观测和间接观测 独立独立观测和非独立观测观测和非独立观测 5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述 第1页/共36页 5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述 1、 测量误差及其来源测量误差及其来源 测量误差的来源测量误差的来源 （1 1）仪器误差：仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差仪器精度的局限、轴系残余误差 等。等。 （2 2）人为误差：人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等判断力和分辨率的限

2、制、经验等 。 （3 3）外界条件的影响：外界条件的影响：温度变化、风、大气折光温度变化、风、大气折光 等等 测量误差的表现形式测量误差的表现形式 测量误差（真误差测量误差（真误差=观测值-真值）Xl jiij ll Xl（观测值与真值之差） （观测值与观测值之差） 第2页/共36页 例：例： 误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 l ld d 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 l lt t 计算改正计算改正 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I I 操作时抵消操作时抵消( (前后视等距前后视等距) ) 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 操作时抵消操作时抵消( (

3、盘左盘右取平均盘左盘右取平均) ) 2.2.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有规律性变化，具有积累性积累性。 系统误差可以消除或减弱系统误差可以消除或减弱。 ( (计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校) ) 测量误差分为：测量误差分为：粗差粗差、系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差 2、测量误差的种类及处理方法、测量误差的种类及处理方法 1.1.粗差粗差( (错误错误) )超限的误差超限的误差 第3页/共36页 3.3.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，误差出现的大小、符号各不相同， 表面看无规律性。

4、表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。 准确度(测量成果与真值的差异） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 测量平差（求解最或是值并评定精度） 4.4.几个概念几个概念: : 精（密）度（观测值之间的离散程度） 第4页/共36页 举例举例: : 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358358个三角形的内个三角形的内 角之和，得到角之和，得到358358个三角形闭合差个三角形闭合差 i i( (偶然误偶然误 差，也即真误差差，也即真误差) ) ，然后对三角形闭合差，然后对三

5、角形闭合差 i i 进行分析。进行分析。 分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，偶然当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而而 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。 3、偶然误差的特性、偶然误差的特性 第5页/共36页 第6页/共36页 用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计： 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于对称于y轴。轴。 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区频率直方图中，每一条形的面积表示误差出

6、现在该区 间的频率间的频率k/n，而所有条形的，而所有条形的总面积等于总面积等于1。 各条形顶边中点各条形顶边中点 连线经光滑后的曲连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶线形状，表现出偶 然误差的普遍规律然误差的普遍规律 图5-1 误差统计直方图 第7页/共36页 从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的差的四个特性四个特性： 特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。 3.3.偶然误差的特性偶然误差的特性 (1)(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对

7、值不会超过一定 的限值的限值( (有界性有界性) )； (2)(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多( (趋向性趋向性) )； (3)(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等( (对称性对称性) )； (4)(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 ( (抵偿性抵偿性) )： 0limlim 21 nn n n n 第8页/共36页 偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性 当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n

8、(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小 ( (d d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为这条曲线称为 “正态分布曲正态分布曲 线线”，又称为，又称为 “高斯误差分高斯误差分 布曲线布曲线”。 所以偶然误差所以偶然误差 具有具有正态分布正态分布 的特性。的特性。 图5-1 误差统计直方图 第9页/共36页 X n l x 0 0 v l n l nlxnv lxv ii 二、最或是误差（观测值的改正数 ） 作为计算检核作为计算检核 代替真误差 n llll 21 第10页/共36页 第11页/共36页 n l x 时，vv

9、=最小，满足最小二乘法原理要求。即在 等精度观测中，算术平均值x为真值X的最优估值 （最佳估值、最或然值、最可靠值等）。 第12页/共36页 1.1.方差与标准差方差与标准差 由正态分布密度函数 2 2 2 2 1 ax ex 式中 、 为常数；a =2.72828 e x= y 正态分布曲线(a=0) 令：令： ，上式为：ax 2 2 2 2 1 )( efy 5.3 5.3 衡量精度的指标衡量精度的指标 第13页/共36页 标准差 的数学意义 2 2 2 2 1 )( efy 表示表示 的的 离散程度离散程度 x= y 较小 较 大 nn nn lim lim 2 称为标准差标准差： nn

10、 n n n limlim 222 2 2 1 2 2 上式中， 称为方差方差： 第14页/共36页 测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准。 中误差中误差: : 观测次数无限多时，用标准差观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：表示偶然误差的离散情形： n n lim 上式中，偶然误差上式中，偶然误差 为观测值为观测值 与真值与真值X之差：之差： 观测次数观测次数n n有限有限时，用时，用中误差中误差m表示偶然误差的离散情形：表示偶然误差的离散情形： nn m n 22 2 2 1 i=i - X 第15页/共36页 P123表5-2 第16页/共36页 m m1 1

11、小于小于m m2 2, ,说明第一组观测值的误差分布比较说明第一组观测值的误差分布比较集中集中， 其其精度较高精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比；相对地，第二组观测值的误差分布比 较较离散，离散，其其精度较低：精度较低： m1=2.7是第一组观测值的中误差 ； m2=3.6是第二组观测值的中误差 。 第17页/共36页 3 . 7 10 2313421324 9 .13 10 4702180210 2222222222 2 2222222222 1 m m 由于中误差能突出地反映出大误差的存在， 因而能较好地评定误差分布的离散程度（即精度 ）。 第18页/共36页 1 n vv m m

12、:观测值中误差（一测回中误差），并不等于每 个观测值的真误差，而是一组观测值真误差离散 程度的代表。 算术平均值中误差m x: ) 1( nn vv n m mx 第19页/共36页 测 回 观测值vivv计算 164 23 48 264 24 06 364 23 54 464 24 12 257 36 00 12 -6 6 -12 0 144 36 36 144 360 5 . 5 0 .11 1 n m m n vv m x 004264 n l x 第20页/共36页 1 n vv n 证明如下：证明如下： nnnn lxvlX lxvlX lxvlX 2222 1111 真误差：真误差

13、：改正数：改正数： Xl Xl Xl nn 22 11 nn lxv lxv lxv 22 11 ii ii v Xxv 对上式取n项的平方和 vvvn2 2 由上两式得 其中: 0lnxv 第21页/共36页 2 2 22 22 )( nn Xl n nX n l Xx n ji ji jinn 1, 22 2 2 1 2 21 2 2)( 0 22 2 2 nn vvnvvvn 22 2 n vv nn 2 1 n vv n 中误差 定义: n m 白塞尔 公式: 1 n vv m 第22页/共36页 2.2.容许误差容许误差(极限误差) 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概

14、 率为： de m dfP m2 2 2 2 1 )()( 误差出现在K倍中误差区间内的概率为： km km m de m kmP 2 2 2 2 1 )( 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差： |容|=3|m| 或 |容|=2|m| 第23页/共36页 3.3.相对误差相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数

15、值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 K2K1，所以距离，所以距离S2精度较高。精度较高。 例例2 2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。计算。计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000 解：解： 0.02m 0.02m 第24页/共36页 测回测回观测值观测值vivv计算计算 1124.345 2124.352 3124.

16、360 4124.349 5124.356 6124.362 746.12 4 +9 +2 -6 +5 -2 -8 0 81 4 36 25 4 64 214 46560 11 7.2 5.6 1 x x m x k mm n m m mm n vv m m n l x354.124 第25页/共36页 研究观测值函数误差传播的规律，称为误差 传播定律。 第26页/共36页 222 yxZ mmm )()(YYXXZZ YXZ YXYYXXZZ2 n YX n YY n XX n ZZ 2 0 n YX 有观测误差 真误差 平方求和 除以n 根据偶然误差第四特性，有 和差函数误 差 第27页/

17、共36页 xZ mKm )(XXKZZ XKZ XXKZZ 2 n XX K n ZZ 2 有观测误差 真误差 平方求和 除以n 倍函数误差 例:在1:1000地形图上量得图上距离d=123.456mm, 其误差m d=0.1mm，则其实地距离D及其误差m D: D=123.456mmD=0.1m 第28页/共36页 ii XiY mKm 2222 2 22 1 2 21n XnXXZ mKmKmKm n l n l n l nn l x 111 21 n m m n m m n m n m n m x x 2 2222222 ) 1 () 1 () 1 ( 设Yi=K i X i，则 代入和

18、差函数传播定律，则得线性函数传播定律 例：算术平均值 算术平均值中误差 第29页/共36页 n n dX X f dX X f dX X f dZ 2 2 1 1 式中的各偏导数，在实际观测了各X i 后，即 为常数；以微分代表测量真误差，上述全微分公 式与线性函数的真误差公式相似，则有： 2222 2 22 1 2 )()()( 21n X n XXZ m X f m X f m X f m 第30页/共36页 viLh LD AB sin cos 第31页/共36页 dvdi d Ldldh dv v h di i h d h dl L h dh cossin mm m D oo D 017. 0 2062656812123sin44.127801. 0812123cos 222222 mm m h oo h 035. 0 002. 0002. 02062656812123cos44.127801. 0812123sin 22222222 d LdldD d D dl L D dD )sin(cos 2、分别求全微分， = 206265 第32页/共36页 站 mnmh 即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比。 即水准测量高差中误