北师大版-数学-八年级上册--例题与讲解-第四章4一次函数的应用

1、初中-数学-打印版【例题与讲解】八年级数学上册第四章4一次函数的应用以庸:破轴融基本技解 小口一。1.确定一次函数表达式(1)借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为)，= 弱(AKO)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y=Ax+6(AW0)；然后再观察图 象上有没有明确几个点的坐标.对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可：对于一次 函数，则需要知道两个点的坐标：最后将各点坐标分别代入p=履或y=Ax+6中，求出其 中的上b,即可确定出其关系式.(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件由于正比例函数片=履(在工0)中只有一个未知

2、系数A，故只要一个条件，即一对x, y 的值或一个点的坐标，就可以求出A的值，确定正比例函数的表达式.一次函数片=Ly+6(ZH0)有两个未知系数，b,需要两个独立的关于 6的条件， 求得上b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对K y的值.22C. y=r+3D. y=3x+3JJ解析：设直线相对应的函数表达式是了=履+6(4力0),当x=0时，y=3,代入得633=3,当 x=2 时，y=0,则 2A+3 = 0, 4=-$，故=一/+3. 乙乙答案：A点技巧用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成产=弱+6藤0)的形式，再将4 6两点 坐标代入该关系式，即可求出

3、A, 6,从而确定出具体的关系式.2 .待定系数法(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的 方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数.(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待定系数的解析式；将K y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未 知数的方程或方程组：解方程(组)，得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式.【例2 一 1】一次函数图象如图所示，求其解析式.分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出儿b 的值，从而确定表达式.解：设

4、一次函数解析式为y=Ax+b， 一次函数图象过点(0, -2), .-2=4乂0 + 6, ：.b=-2. .一次函数图象过点(1,0),，0=*Xl + 6, A=2. ,一次函数解析式为j，=2x-2.【例22】在直角坐标系中，一次函数y=Ax+b的图象经过三点月(2,0), 6(0,2), ,求这个函数的表达式，并求皿的值.解：根据题意，得2A+b=0，6=2,而+6=3，把6=2代入，得24+2=0,即4=1：把6=2, A= -1代入，得s= -1.故函数的表达式为尸一 x+2.3 . 一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常

5、遇到的问题，要掌 握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代 表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两,个变量之间的关系.释疑点函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助.(2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活 中有着广泛的应用.利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部 分内容在中考中占有重要的地位.谈重点 函数尸弱+6图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范闱受到一定的限制时，函数y=4x+6(AW0)的图象 就不再是

6、一条直线.要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等.【例3 一 1】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时 间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：甲乙n R J I I I I26x(h)(1)乙队开挖到30m时，用了 h.开挖6h时中队比乙队多挖了 m.(2)请,你求出：甲队在的时段内，y与*之间的函数关系式；乙队在2WxW6的时段内，y与x之间的函数关系式.(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了 2h.开挖6 h时甲队比乙队 多挖了 10

7、m： (2)设甲队在的时段内j，与x之间的函数关系式为y=Lx(LW0),由 图可知，函数图象过点(6,60), .6Z=60,解得=10, .y=10乂设乙队在2WxW6的时 段内y与*之间的函数关系式为尸=昆X+从幺0),由图可知，函数图象过点(2,30), (6, 50),代入，=在*+6,求出去=5, b=20, y=5x+20. (3)由题意，得 10x=5x+20, 解得 x= 4(h).解：(1)2 10(2) y=10x. p=5x+20.(3)由题意,得 10x=5x+20,解得 x=4(h).故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等.【例3一2】某单位急需用车，但又不

8、准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租 车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为必元，应付给 国有出租车公司的月费用是六元，乃，性分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观 察图象回答下列问题：(D每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？初中-数学-打印版每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同?(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租哪家车合算？川元3 0002 0001 ()0()y2I 2 50050015()0一试n分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例 函数：两

9、条直线交点的横坐标为1 500；表明当x=l 500时，两个函数值相等：根据图象 可知：500 时，0-v0时，向上平移；当80或ax+6V0的形 式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数b=ax+8的值大（小）于。时，求自变量 相应的取值范围；反之，求一次函数尸ax+6的值何时大（小）于。时，只要求出不等式ax + 80或电y+6Vo的解集即可.从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观 点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现.【例6】已知一次函数y=ax+从a, 6是常数，且aHO）. x与y的部分对应值如下表：2123

10、6424那么方程ax+6=0的解是,不等式ax+60的解集是.解析：本题先以表格的形式向我们提供了一次函数的信息.按一般解法，我 们完全可以利用这些对应值，通过待定系数法求出未知系数a和6,然后再去解方程或不等 式，于是得解.果真那样去做的话，说明你没有真正领会到本题的用意.事实上，本题是 想考查你对一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情,况.由三者之间 的关系可知，求方程研+力=0的解，实质上就是求一次函数/二工+占的函数值为0时，对 应的自变量x的取值，从表中可直接看出*=1;同理，求不等式ax+60的解集，实质上 就是求当一次函数y=ax+b的函数值大于。时，对应的自变量

11、x的取值范围，这时也可以 从表中直接看出为*1.答案：Y=1 a-0 时，向上平移：当6V0时，向下平移），所以将直线y=2x向上平移两个单位长度，所得的 直线是y=2x+2.答案：A【例7 一 5】大拇指尽量伸开时，拇指与食指的距离称为指距，某研窕表明，一般情况某人身高196 cm, 一般情况下他的指距是多少？解：（1）设一次函数的解析式为方6为常数，且女/0）.由题意，得 160 = 204+XD，169=214+庞）.一，得4=9,代入，得6=-20.故一次函数的解析式为h=9d-20.当方=196时，196=9/20,得d=24.因此某人身高196 cm, 一般情况下他的指距是24 c

12、m.8 .分段计费问题在自变量的不同取值范闱内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分 段函数，有关运用分段函数的知识解决生活中的问题是近几年中考的热点之一，能考查学 生分析问题、解决问题的能力，及培养学生思维的广阔性和深刻性.分段计费问题和实际生活联系密切，这类问题考查有效地应用数学知识解决实际问题 的能力.常见的分段计费问题有：水费分段计费、电费分段计费、话费分段计费等.点评：解决问题的关键是根据已知条件构建函数在不同的条件下的解析式，再由条件 选择对应的解析式求解.【例8】某市居民生活用电基本价格为每度0.4元，若每月用电超过a度，超过部分 按基本电价的70制攵费.(1)某户五月份用电84度，共缴电费30. 72元，求a的值；(2)若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应缴电费多少 元？分析：先判断是不是超过a度，再进行计算.解：设该户每月用电为x度，缴纳电费为j，元，根据题意可分段构建函数关系式：当时，y=0.4a：当