福建省三明市2020届高三数学毕业班质量检查测试试题理₍含解析₎

1、福建省三明市2020届高三数学毕业班质量检查测试试题 理（含解析）本试卷共6页，满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式与对数不等式分别求解集合，再求交集即可.【详解】，故.故选：D【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的计算以及集合的运算，属于基础题.2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ）A. B. C. 3D. 7【答案】B【解析】【分析】将复数化简为的形式，代入公式计算.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查复数的四则运算和基本概念，属于基础题.3. 设，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】可以得出分别与的大小关系，从而得出，的大小关系【详解】解：因为，故选：A【点睛】

3、本题考查了对数的运算，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题4. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为1的正方形内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ）附：若随机变量，则，.A. 0.1359B. 0.6587C. 0.7282D. 0.8641【答案】D【解析】【分析】由题意根据正态曲线的性质求出概率，即可求解【详解】解：因为由题意，故选：D【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题5. 设正项等比数列的前n项和为，且，则（ ）A. 3B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析

4、】【分析】根据等比数列的性质得出，即可得出.【详解】设等比数列的公比为解得（舍）或故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式基本量的计算，属于中档题.6. 的展开式中，的系数为（ ）A. 55B. 25C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理求解即可.【详解】的通项为令，得，此时的系数为令，得，此时的系数为的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.7. 执行如图所示的程序框图，若输入时，输出的，则正数（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分

5、析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，不满足条件，退出循环，执行输出语句，输出的值为6所以，解得或，因为，所以故选：A【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题8. 已知抛物线，过的焦点且斜率为1的直线交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，根据题意联立直线与抛物线的方程，再得出关于的二次方程，利用三角形面积公式与韦达定理求解

6、即可.【详解】易得直线的方程为，焦点 ，设.联立可得，故，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了求解抛物线中的三角形面积问题，需要根据题意联立直线与抛物线，并利用韦达定理以及面积公式求解.属于中档题.9. 早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，周髀算经中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为（勾）和（股）时，径隅（弦）则为”，故勾股定理也称为商高定理.现有的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾的长为，点在弦上的射影为点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图形，计算出的值，然后利用平面向量数量积的定义可求得的值.【详解】如下图所示：由题意可知

7、，则，所以，.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面数量积定义的的应用，考查计算能力，属于基础题.10. 已知函数，若存在，使得，则正数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】，化简整理，令，根据正弦函数性质易求.【详解】解：，所以，令，所以能取到最小值，能取到最大值，所以，故选：D.【点睛】考查三角函数的恒等变换以及三角函数的性质，同时考查学生的运算求解能力；基础题.11. 已知某正三棱锥底面边长为4，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）A. B. C. D.

8、 【答案】D【解析】【分析】先利用侧面与底面所成二面角的余弦值为可得三个侧面的等腰三角形底边上的高，再根据等体积法可求得球的半径，进而根据立体几何中的相似，可得所切的三棱锥的相似比，进而得到的半径比以及表面积的比.【详解】如图，正三棱锥，设在底面上的投影为，取中点，易得，即为侧面与底面所成二面角.又，故，.设球的半径为，则，即，解得.根据题意可知，为与正三棱锥相似的正三棱锥的内切球，且该三棱锥的高.故两正三棱锥的相似比为，故其内切球的的半径比也为，故球与球的表面积之比为.故选：D【点睛】本题主要考查了三棱锥的内切球的问题，需要根据等体积法求得内切球的半径，同时也考查了立体几何中的相似比问题，需

9、要画图分析内切球与所切的三棱锥的关系，同时也考查了计算能力，属于难题.12. 已知是定义在R上的奇函数，当时，.对于任意不小于2的正整数n，当时，都满足.给出以下命题：的值域为；当时，；当时，方程有且只有三个实根.以上三个命题中，所有真命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出当时解析式，即可判断；再根据奇函数性质可判断，最后结合图象可判断.【详解】因为当时，都满足所以当时，当时，从而类推可得当时，当时，即正确；当时，因为是定义在R上的奇函数，所以，即正确；当时，由图可知 不止三个交点，所以错误；故选：A【点睛】本题考查函数解析式、函数值域、函数图象，考

10、查综合分析求解能力，属较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为_.【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，进而可得，由导数的几何意义可得，从而得解；【详解】解：因为所以所以又因为曲线在处的切线与直线平行，所以故答案为：【点睛】本题考查利用导数计算切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题14. 已知满足则的最大值为_【答案】13【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再依据目标函数的几何意义，找出最优解，从而求出目标函数的最大值.【详解】画出可行域，如图中阴影部分所示，目标函数可化为，其斜率为-1，截距为，平

11、移直线知当直线经过点C时，其截距最大，取得最大值，由，得，故.【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最值的问题，一般的步骤如下：（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）设，画出直线；（3）观察、分析、平移直线，从而找到最优解；（4）求出目标函数的最大值或最小值.15. 在数列中，且，则_.【答案】362【解析】【分析】构造，求出，由题意可得，利用等差数列的通项公式可得，利用累加法即可求得.【详解】构造，则，由题意可得，故数列是以1为首项2为公差的等差数列，故，所以，以上个式子相加可得，解得，故.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的证明、累加法求数列通项公式的问题，属于中档题.16. 在平面直角坐

12、标系中，已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P在圆上运动，直线与E的右支交于M.记直线，的斜率分别为，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设，则，再由在双曲线上可得，则，则当与圆相切时有最值，设直线方程为，利用点到线的距离公式求出的值，即可求出取值范围；【详解】解：如图所示设，则，所以；又在双曲线上，所以，所以；所以又所以又点在圆上，当与圆相切时有最值，设直线方程为，圆心到直线距离为，化简得，解得所以所以故答案为：【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、2

13、3题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 在中，D为中点，且，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由正弦定理可知，化简即可得 ,计算即可得出结果；（2）设，则,根据勾股定理可求得,因为,在中，利用余弦定理计算求得，根据面积公式计算即可得出结果.【详解】（1）在中，所以.在中，根据正弦定理，即因为，所以.因为D是中点，即，所以.所以.（2）设，则.在中，根据勾股定理，.在中，根据余弦定理得.所以，解得（舍去），或.即，.则.【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键.18. 已知椭圆的

14、离心率为，上顶点为A，右顶点为B.点在椭圆C内，且直线与直线垂直.（1）求C的方程；（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以为直径的圆过点.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)根据椭圆的基本量关系、直线垂直的斜率关系求解即可.(2)先分析当直线的斜率为0时是否满足，再分析当直线的斜率不为0时，设其方程为，联立椭圆得出韦达定理，再计算可得即可证明.【详解】（1）因为A为椭圆的上顶点，所以，则直线的斜率.因为与直线垂直，所以，解得. 设C的焦距为，因为C的离心率为，所以，.则，所以.所以C的方程为.（2）由（1）知，. 当直线的斜率为0时，线段即为C的长轴，M或N与B重合，则以为

15、直径的圆过点B.当直线的斜率不为0时，设其方程为.联立，消去x得，整理得，设，.则，.那么，所以. 所以，即以为直径的圆过点B.【点睛】本题主要考查了椭圆中的基本量求解，同时也考查了联立直线与椭圆得出韦达定理，进而利用垂直的关系证明圆过定点的问题，属于难题.19. 图1，在中，E为中点.以为折痕将折起，使点C到达点D的位置，且为直二面角，F是线段上靠近A的三等分点，连结，如图2.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点为M，连结，可得到平面，所以.计算，根据勾股定理得到，故可证平面，从而得到.（2）过E作，以E为坐标原点，以，的方向

16、分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量和直线的方向向量，代入公式计算即可.【详解】（1）设中点为M，连结.因为E是中点，所以，又因为，所以.因为为直二面角，即平面平面，又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.在中，所以，且.因为F是上靠近A的三等分点，所以，.在中，根据余弦定理，即，.在中，所以，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以. （2）如图，过E作，则平面.以E为坐标原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系则，.故，那么.设平面的一个法向量为.则，即，取，得，此时.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值

17、为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断和线面角的计算，属于中档题.20. 某疾病有甲、乙两种类型，对甲型患者的有效治疗只能通过注射药物Y，而乙型患者可以服药物A进行有效治疗，对该疾病患者可以通过药物A的临床检验确定甲型或乙型.检验的方法是：如果患者利用药物A完成第一个疗程有效，就可以确定是乙型；否则进行第二个疗程，如果完成第二个疗程有效，也可以确定是乙型，否则确定是甲型.为了掌握这种疾病患者中甲型、乙型所占比例，随机抽取100名患者作为样本通过药物A进行临床检验，检验结果是：样本中完成第二个疗程有效的患者是完成第一个疗程有效的患者的60%，且最终确定为甲型患者的有36人.（1）根据检验结果，将

18、频率视作概率，在利用药物A完成第一个疗程无效的患者中仼选3人，求其中甲型患者恰为2人的概率；（2）该疾病的患者通过治疗，使血浆中某物质t的浓度降低到或更低时，就认为已经达到治愈指标.为了确定药物Y对甲型患者的疗效，需了解疗程次数x（单位：次）对患者血浆中t的浓度（单位：）的影响.在甲型患者中抽取一个有代表性的样本，利用药物Y进行5个疗程，每个疗程完成后对每个个体抽取相同容量的血浆进行分析，并对疗程数和每个疗程后样本血浆中t的平均浓度的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.311.00.46262.530.1551.458上表中，.根据散点图直接判断（不必说明理由），与哪一个适宜作

19、为甲型患者血浆中t的平均浓度y关于疗程次数x的回归方程类型？并根据表中数据建立y关于x的回归方程.患者在享受基本医疗保险及政府专项补助后，自己需承担的费用z（单位：元）与x，y的关系为.在达到治愈指标的前提下，甲型患者完成多少个疗程自己承担的费用最低？对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）（2）适宜；8个或9个【解析】【分析】（1）首先求出完成第一个疗程有效的患者人数，用频率视作概率，可知完成第一个疗程无效的患者是甲型患者的概率为，再根据二项分布的概率公式计算可得；（2）根据散点图可以判断，适宜作为甲型患者血浆中t的平均含量关于疗程次数的回归方程类型.，令，

20、先建立y关于w的线性回归方程，根据所给数据求出回归方程，最后换元即可得到关于的回归方程；依题意可得，且，解得，则，最后根据对勾函数的性质计算可得；【详解】解：（1）设样本中完成第一个疗程有效的患者人数为n，则，解得，则完成第一个疗程无效的患者人数为60人.将频率视作概率，则利用药物A完成第一个疗程无效的患者是甲型患者的概率为. 在利用药物A完成第一个疗程无效的患者中任选3人，设其中是甲型患者的人数为，则，. 所以.所以所求的概率为 （2）根据散点图可以判断，适宜作为甲型患者血浆中t的平均含量关于疗程次数的回归方程类型. 令，先建立y关于w的线性回归方程.由，. 所以y关于w的线性回归方程为，因

21、此y关于x的回归方程为.当达到治愈指标时，由，且，解得 注射药物Y治疗x个疗程时，患者自己需承担费用为：.令，易知在单调递减，在单调递增.因为，且，所以甲型患者完成8个或9个疗程时，能够达到治愈指标且自己承担的费用最低；【点睛】本题考查非线性回归分析，利用最小二乘法求回归方程，二项分布的性质的应用，属于中档题.21. 已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，判断是否存在使得，并证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）不存在；见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，分别讨论，两种情况，分别求解对应的不等式，即可得出结果；（2）先由（1）得，推出，由时，得到，分别讨论，两种情况

22、，通过导数的方法研究函数的最值等，即可得出结果.【详解】（1）的定义域为，由，得. 若，则当时，此时的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得.当时，；当时，.此时，单调递增区间为；单调递减区间为.（2）当时，不存在，使得，证明如下：由（1）知，当时，在单调递增，在单调递减，所以，故，即.因为，所以当时，故.当时，再由令，则.令，得.当时，；当，.所以，故，所以当时，对，都有. 当时，对于，故. 综合，当时，对于任意的，都有.所以，当时，不存在，使得.【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的单调性，以及导数的方法研究不等式能成立的问题，属于常考题型，难度较大.（二）选考题：本题满分10分.请考生在22、23两题中任选