431空间直角坐标系

1、1 4.3.1 空间直角坐标系 X xO 数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示 -1-2123 AB 数轴上的点 x y P O x y(x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x，y) 来表示点 平面坐标系中的点 问题引入 4空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？ 当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以 用有序实数（x，y，z）表示 Oy x z M x y z （x，y，z） y x z 如图， 是单位正方体以O为原点，分 别以射线OA,OC, 的方向为正方向，以线段OA,OC, 的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴这时我们 说建立了一个空间直角坐标系 ，其中点O 叫做坐标

2、 原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面 CBADOABC OD OD xyzO 空间直角坐标系 AB C A B C D O x o 右手直角坐标系 空间直角坐标系 y z Oxyz 横轴 纵轴 竖轴 1 1 1 x y z O 让右手拇指在空间直角坐标系中， 轴食指指向轴的正方向指向 ， yx 轴的如果中指能指向的正方向 ，z 则称这个坐标系为正方向 ， x y z右手直角坐标系 8 x yo z xoy面 yoz面 zox面 空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限 空间直角坐标系中任空间直角坐标系中任 意一

3、点的位置如何表示？意一点的位置如何表示？ P1 P2 P3 y x z 1 1 P x y z o 1 3、空间中点的坐标 对于空间任意一点对于空间任意一点P，要求它的坐标，要求它的坐标 方法一：过过P P点分别做三个平面分别垂直于点分别做三个平面分别垂直于x,y,zx,y,z 轴，平面与三个坐标轴的交点分别为轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P P1 1、P P2 2、P P3 3，在其，在其 相应轴上的坐标依次为相应轴上的坐标依次为x,y,zx,y,z，那么，那么(x,y,z)(x,y,z)就叫做点就叫做点P P的的 空间直角坐标，简称为坐标，记作空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z

4、)P(x,y,z)，三个数值，三个数值 叫做叫做 P P点的点的横横坐标、坐标、纵纵坐标、坐标、竖竖坐标。坐标。 x y z o 1 1 1 P P 0 x y z P P点坐标为点坐标为 (x,y,z) P1 3、空间中点的坐标 方法二：过过P P点作点作xOyxOy面的垂线，垂足为面的垂线，垂足为 点。点。 点点 在坐标系在坐标系xOyxOy中的坐标中的坐标x x、y y依次是依次是P P点的横坐标、点的横坐标、 纵坐标。再过纵坐标。再过P P点作点作z z轴的垂线，垂足轴的垂线，垂足 在在z z轴上的坐轴上的坐 标标z z就是就是P P点的竖坐标。点的竖坐标。 0 P 0 P 1 P M

5、 N 小提示：坐标轴坐标轴 上的点至少有两个上的点至少有两个 坐标等于坐标等于0；坐标面；坐标面 上的点至少有一个上的点至少有一个 坐标等于坐标等于0。 点点P的位置的位置原点原点OX轴上轴上AY轴上轴上BZ轴上轴上C 坐标形式坐标形式 点点P的位置的位置X Y面内面内DY Z面内面内EZ X面内面内F 坐标形式坐标形式 O x y z 1 1 1 A D C B E F (0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z) (x,y,0)(0,y,z)(x,0,z) 4、特殊位置的点的坐标 点点P所在卦限所在卦限 坐标符号坐标符号 点点P所在卦限所在卦限 坐标符号坐标符号 (+,+,+)

6、 5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号 (-,+,+) (-,-,+)(+,-,+) (+,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(+,-,-) 14 例题 例1、如下图，在长方体OABC-DABC中， |OA|=3，|OC|=4，|OD|=2，写出D，C，A， B四点的坐标. A B x z y OC A D B C (0,0,2) (0,4,0) (3,0,2) (3,4,2) y x O z 1 1 1 A B C D E F 1、在空间直角坐标系中描出下列在空间直角坐标系中描出下列 各点，并说明这些点的位置各点，并说明这些点的位置 A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）

7、D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0） 16 如图，长方体ABCD-ABCD的边长为 AB=12， AD=8，AA=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点， 射线AB，AD，AA分别为，x轴、y轴和z轴的正半 轴，建立空间直角 坐标系，求长方体各个顶点的 坐标。 例2 C B D C A D B A y x z A（0，0，0） B（12，0，0） C（12，8，0） D（0，8，0） C（12，8，5） B（12，0，5） A（0，0，5） D（0，8，5） 12 5 8 17 如图，长方体ABCD-ABCD的边长为 AB=12， AD=8，AA=5.以这个长方体的顶点A为坐标原

8、点，射线AB，AD，AA分别为，x轴、y轴和z 轴的正半轴，建立空间直角 坐标系，求长方体 各个顶点的坐标。 例2 C B D C A D B A y x z A（0，0，0） B（12，0，0） C（12，8，0） D（0，8，0） C（12，8，5） B（12，0，5） A（0，0，5） D（0，8，5） 在平面xOy的点有哪些? 这些点的坐标有什么共性? 18 如图，长方体ABCD-ABCD的边长为 AB=12， AD=8，AA=5.以这个长方体的顶点A为坐标原 点，射线AB，AD，AA分别为，x轴、y轴和z 轴的正半轴，建立空间直角 坐标系，求长方体 各个顶点的坐标。 例2 C B D

9、 C A D B A y x z A（0，0，0） B（12，0，0） C（12，8，0） D（0，8，0） C（12，8，5） B（12，0，5） A（0，0，5） D（0，8，5） 在平面yOz的点有哪些? 这些点的坐标有什么共性? 19 在空间直角坐标系中，x轴上的点、 y轴上的 点、z轴上的点，xOy坐标平面内的点、xOz坐 标平面内的点、yOz坐标平面内的点的坐标各具 有什么特点？ 总结: x轴上的点的坐标的特点： xOy坐标平面内的点的特点： xOz坐标平面内的点的特点： yOz坐标平面内的点的特点： y轴上的点的坐标的特点： z轴上的点的坐标的特点： （m，0，） （，m，） （

10、，0，m） （m，n，） （，m，n） （m，0，n） 20 练习 2、如下图，在长方体OABC-DABC中， |OA|=3，|OC|=4，|OD|=3，AC于BD相交于 点P.分别写出点D ，B，P的坐标. x z y O A C D B A B C P P (0,0,3) (3,4,3) (3/2,2,3) 已知点已知点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2), 且线段且线段P1P2的中点为的中点为M(x,y,z), 则则 中点坐标公式中点坐标公式 12 2 12 2 12 2 xx x yy y zz z 21 如图，长方体ABCD-ABCD的边长为 AB=12， AD=8，A

11、A=5.以这个长方体的顶点A为坐标原 点，射线AB，AD，AA分别为，x轴、y轴和z 轴的正半轴，建立空间直角 坐标系，求长方体 各个顶点的坐标。 例2 C B D C A D B A y x z A（0，0，0） B（12，0，0） C（12，8，0） D（0，8，0） C（12，8，5） B（12，0，5） A（0，0，5） D（0，8，5） 在平面xOz的点有哪些? 这些点的坐标有什么共性? 例3 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 中色红点代表钠原子，黑点代表氯原子 2 1 典型例题 解：把图中的钠原子分成上、中、下三

12、层来写它们所在 位置的坐标 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子 2 1 典型例题 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标 x y z O 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为 1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是: （0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1）， （ ， ，1） 2 1 2 1 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为， 所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是 （ ，0， ），（1， ， ），

13、（ ，1， ），（0， ， ）； 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 典型例题 下层的原子全部在平面上，它们所 在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)， （1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）, 2 1 2 1 （ ， ，0）. x y z O 25 对称点对称点 x y O x0 y0 (x0,y0)P (x0 , -y0)P1 横坐标不变， 纵坐标相反。 (-x0 ,y0)P2 横坐标相反， 纵坐标不变。 P3 横坐标相反， 纵坐标相反。 -y0 -x0 (-x0 , -y0) 26 空间对称点 x o y z 1(1 , 1 )1 ,P (1,1,1)P 2( , 1 11 , )P 3 1 ,(,1 )1P 4(1 ,1 1 , )P 5(1 , 1 )1 ,P 6( , ) 11 ,1P 对称点对称点 一般的一般的P(x , y , z) 关于：关于： （1）x轴对称的点轴对称的点P1为为_; （2）y轴对称的点轴对称的点P2为为_; （3）z轴对称的点轴对称的点P3为为_; ( ,)xyz (, ,)x yz (, )xy z 关于谁对称谁不变 (1)与点与点M关于关于x轴对称的点轴对称的点 (2)与点与