142正弦函数、余弦函数的性质

1、p 正弦函数正弦函数ysinx，x0, 2 的图象中，的图象中， 五个关键点是哪些五个关键点是哪些? p 余弦函数余弦函数ycosx，x0, 2 的图象中，的图象中， 五个关键点是哪些五个关键点是哪些? )0 ,2( ),1, 2 3 ( ),0 ,( ),1 , 2 ( ),0 ,0( )1 ,2( ),0 , 2 3 ( ),1,( ),0 , 2 ( ),1 ,0( 复习回顾复习回顾 余弦曲线：余弦曲线：cos yxxR x y 1 - -1 正弦曲线：正弦曲线： sin yxxR x y 1 - -1 1.4.2 1.4.2 正弦函数、正弦函数、 余弦函数的性质余弦函数的性质 每年都有

2、春夏秋冬，它们周而复始的变每年都有春夏秋冬，它们周而复始的变 化着化着 生活中，许多事物都有生活中，许多事物都有“周而复始周而复始”的变化的变化 规律规律 (1)今天是星期一，则过了七天是星期几？今天是星期一，则过了七天是星期几？ 过了十四天呢？过了十四天呢？ (2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？运动的规律如何呢？ 这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用 “周而复始”来描述，这就叫周期现象。 对于函数对于函数f（x）而言，如果存在一个）而言，如果存在一个非非 零常数零常数T，使得当，使得当x取取定义域内的每一个值定义域内的每一个值时，时，

3、都有都有 周期函数的定义：周期函数的定义： 那么函数那么函数f（x）就叫做）就叫做周期函数周期函数 f（x+T）=f（x），）， 非零常数非零常数T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期（period） (4)1,(5(1)2,(6)3, (7) 1,(2)2,(3) 1,(8)2,(9)3 3,比如：fff ff fff f (3)( ),( )2.我们发现因此是以 为周期的周期函数f xf xf x 思考：思考：正弦函数，余弦函数是不是周 期函数？为什么？ 诱导公式：诱导公式：sin（x+2k）=sinx cos（x+2k）=cosx 即：即：f（x+2k）=f（x） 所以，正弦函数、余弦函

4、数都是周期函数， 且周期为2k，也就是，也就是.,-2，2，4，.都都 是它们的周期。是它们的周期。 如果在周期函数如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一）的所有周期中存在一 个最小的正数，那么这个最小正数就叫做个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x） 的的最小正周期最小正周期（minimal positive period） 特别地：特别地：今后所提及的周期，在没有今后所提及的周期，在没有 特别说明的前提下，都是指函数的最小正特别说明的前提下，都是指函数的最小正 周期周期 思考：正弦函数和余弦函数的最小正周期是多 少？ 正弦、余弦函数的性质正弦、余弦函数的性质奇偶性奇偶性 请同学们观察

5、正、余弦函数的图形，请同学们观察正、余弦函数的图形， 说出函数图象有怎样的对称性？其特点是说出函数图象有怎样的对称性？其特点是 什么？什么？ y o 2 4 6 1 1 x 2 4 6 y o 2 4 6 1 1 x 2 4 6 ycosx ysinx 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. . ，函数的定义域都是证明：正弦函数，余弦R xxfsin)(设 正弦函数为奇函数。 )(,xf 则)sin( x xsin)(xf ,cos)(xxg设 余弦函数是偶函数。 )( xg 则 )cos( xxcos)(xg 2 2 1 y Ox - -1 3 2 34 5

6、2 7 2 2 - - - 3 2 - - - -2 5 2 - - - -3 7 2 - - - -4 y=sinx，xR 2 2 1 y Ox - -1 3 2 34 5 2 7 2 2 - - - 3 2 - - - -2 5 2 - - - -3 7 2 - - - -4 y=cosx，xR 单调性和最值 2,2() 22 sin , 11; kkkZ yx 正 弦 函 数在 每 一 个 闭 区 间 上 都 是 其 值 从 数 增 大 到 增 函 sinyx x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 3 2,2 , () 2 11 2 ; kkkZ 在每一

7、个闭区间 上都是其值从 减小到减函数 单调性和最值 ; 1, 2 2 max y kx时当 ; 1, 2 2 min y kx时当 :sinxy x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 :cosxy ; 11 ,)(2 ,2 cos 增大到其值从 上都是增函数 在每一个闭区间余弦函数 Zkkk xy ;11 ,)( 2,2 减小到其值从 上都是减函数 在每一个闭区间 Zk kk x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 :cosxy ; 1,2 max ykx时当 ; 1,2 min ykx时当 图图 象象 y=sinxy=cosx x o y 2 2 2 3 2 -1 1 x y 2 2 2 3 2 -1 1 性性 质质 定义域定义域RR 值值 域域 -1，1-1，1 周期性