【精品】导数计算公式

1、导数公式一、根本初等函数的导数公式1 函数：(1)y=f(x) = c； (2)y= f(x) = x； (3)y=f(x) = x2； (4)y= f(x) = -； 入(5)y= f(x)= x.问题：上述函数的导数是什么？提示:厨 f x+Ax f x c c/x Ax Ax0,-y2)(x) 1, (3)(x2) 2x, (4)x 令,(5)(&) 春.函数(3)(5)均可表示为y=xa( a Q )的形式，其导数有何规律?1 1提示：t (2)(x) 1 x1 1,(3)(x2) 2x21,(5)( x) (x2) =x2=朮， =aF 1 根本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)

2、= c(c为常数)f (x)= 0f(x) = x a a Q*)f(X)= a a 1f(x)= sin xf (x)= cos xf(x) cos xf (x) sin xf(x) axf (x)axIn af(x) exf (x)exf(x) = logaxf ) l 7xln af(x)= In x1 f 7x、导数运算法那么1 f(x) = X, g(x) =问题1: f(x), g(x)的导数分别是什么?问题2：试求11Q(x) = x+ x，H(x) = x-x的导数.入入11 /x提示：y=(x+Ax)+x+ x+x 二 &+TT+瓦,:也 1 xx+ /x，二 Q (x)=黑

3、。=黑。1 xx+ /x二1 - x2.问题3: Q(x), H(x)的导数与f(x), g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x), g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x),g(x)导数的差.导数运算法那么1. f(x) (x)= f (x) (x)2. f(x) g(x)二 f (x)g(x) + f(x)g (x)f x3. g xf x g x f x g x二(g(x)工 0)gx2题型一例 1利用导数公式直接求导 求以下函数的导数：(1)y= 10x; (2)y= lg x； (3) y log丄 x ；2(4)y=扳；(5) y.xsin22x彳cos1.2解

4、(1)y二(10x)=10xln 10； (2)y = (lg x)二 xln 10；, 丄y二广xln 2xln 2cos裁1 = sin% + 2sin2cos2+ cos 1 = sin x,. y = (sin x) = cos x.练习求以下函数的导数:1(1)y= e x； (2)y=10 x； (3)y= lg 5; (4)y= 3lg3 x; (5)y=彳曲号1.1解：(1)y = ex1 1 1 =exln1= ex= ex; (2)y =丄x10x 1 In 10ln10= 10T =10xln 10; (3) t y= lg 5 是常数函数， y = (lg 5) t y

5、= 3lgx= lg x,. y = (lg x) = xjn10； (5) v y=2cos2| 1= cosX,y = (cos x) = sin x.题型二 利用导数的运算法那么求函数的导数例2求以下函数的导数：x xe +1(1)y= x3 e (2)y= x sinqco; (3)y= x2+ log3x；解(1)y = (x3) ex+ x3(ex)z = 3/ex+x3ex= x2(3 + x)ex.1 , , 1 , 1(2) / y= x sin x,. y = x 2(sin x) = 1 cos x.1(3)y = (x2 + log3x) = (x2) + (log3x

6、) = 2x+ x.ex+ 1 ex 1 ex + 1 ex 1eX ex- 1 ex+ 1 eXex 1 2ex 1 22exex 1 2.练习求以下函数的导数:cos x厂(1)y=-; (2)y=xsin x+px; (3)y= 11+ X+1;(4)y= lg x*.cos x ,cos xx cos x -x解：(1)y =可x six cos x= =x2xsin x+ cos x1 v y= +=兽=1 x 1 x 1 x(2)y = (xsin x) + ( x) = sin x+xcos x+ y.2，二 y44 1 x 41 x 2 1 x 2.1xln 10 + x31

7、1(4)y lg xx2 (lg X) x 题型三导数几何意义的应用例3(1)曲线y 5ex + 3在点(0, 2)处的切线方程为 .(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C: yx3 10x+ 13上，且在第一象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2,那么点P的坐标为解析(1)y 5ex,.所求曲线的切线斜率k y |xo 5e 5, 切线方程为 y ( 2) 5(x 0), 即卩 5x+ y+ 2 0.设点P的坐标为(X0, y。)，因为y 3/10,所以3x0 10 2,解得 X0土 2又点P在第一象限内，所以X0 2,又点P在曲线C上，所以y0 23 10X2+ 13 1,所以点 P

8、 的坐标为(2,1). (1)5x + y+ 2 0 (2)(2,1) 练习 假设曲线f(x) acos x与曲线g(x) x2 + bx+ 1在交点(0, m)处有公切 线，贝U a+ b .解析：f (x) asin x, g (x) 2x+ b,v曲线f(x) acos x与曲线g(x) x2+ bx+ 1在交点(0, m)处有公切线，二 f(0) a g(0) 1,且 f (0) 0 g (0) b， a+ b 1.答案：11.切线方程的求法典例 a R,函数 f(x) x3 3x2 + 3ax 3a + 3,求曲线 y f(x)在 点(1, f(1)处的切线方程.解由得 f (x)

9、3x2 6x+ 3a,故 f (1) 3 6+ 3a 3a 3,且 f(1) 1 3+ 3a 3a + 3 1.故所求切线方程为 y 1 (3a 3)(x 1), 即 3(a 1)xy+4 3a 0.一、斜率，求切线方程.此类问题可以设出切点，利用导数与直线的斜率关系来确定切点， 进而求出切线方程.例：求与直线x + 4y+ 1 = 0垂直的曲线f(x)= 2X2- 1的切线方程.解：所求切线与直线x+ 4y+ 1 = 0垂直，所以所求切线的斜率 k= 4. 设切点坐标为(xo,yo)，那么f (xo) = 4xo = 4,即xo= 1.所以切点坐标为(1,1). 故所求切线方程为y- 1 =

10、 4(x- 1),即卩4x-y-3 = 0.二、过曲线上一点，求切线方程.过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该 点在切线上来确定切点，进而求出切线方程.例：求过曲线f(x) = x3- 2x上的点(1，- 1)的切线方程.解：设切点坐标为(xo， yo)，因为 f (x) = 3x2-2，所以 f (xo) = 3xo-2，且 yo= f(xo) = x0- 2xo.所以切线方程为y-yo= (3x-2)(x-xo)，即 y (x3 2xo) = (3xo 2)(x xo).因为切线过点(1，- 1)，故一1-(x3-2xo) = (3xg 2) -xo)即 2x3

11、3xo+ 1 = o，1解得xo= 1或xo = 2故所求切线方程为x- y- 2= o或5x+ 4y- 1 = o.三、过曲线外一点，求切线方程.这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程.例：函数f(x) = x3- 3x,过点A(o,16)作曲线y= f(x)的切线，求切线 方程.解：由题意知点A(o,16)不在曲线f(x) = x3-3x上，设切点坐标为M(xo,yo).那么 f (xo)= 3x- 3,故切线方程为 yyo= 3(x3 1)(xxo).又点A(0,16)在切线上，所以 16 (x0 3xo)= 3(x0 1)(0 xo),化简得

12、x3= 8,解得X0= 2,即切点为M( 2, 2), 故切线方程为9x y+ 16= 0.课后练习1.给出以下结论：nncos x，= sin x； s“3，= COS3;1111假设y= x2,那么y，= x；灵硕其中正确的个数是A . 0B. 1C. 2D . 3解析：cos x= sin x,所以错误；sinn-3,而-2 = 0,所以10 x2 /2x错误； 1，=x4= -x = 2x 3, 所以错误；xxx11_ 一x0 x21 2 32x1 2 1= 2x= 2xx,所以正确.答案：B2 .函数y= sin x cos的导数是)A . y= cos2x+ sin2xB. y=

13、cos2x sin2xC. y= 2cos x sinD. y= cos x sin解析：y= (sin x cox) = cos x cos+ sin x sin x)= coWx sin2x.3.假设 f(x)= (2x+ a)2，且 f (2)= 20,那么 a=解析：f(x) = 4x2 + 4ax+ a2,v f (x)= 8x+ 4a,. f (2)= 16+ 4a = 20,a= 1.答案：14曲线y= x4+ ax2 + 1在点(-1, a + 2)处切线的斜率为8,那么a=解析：丫 = 4x3 + 2ax,因为曲线在点(-1, a + 2)处切线的斜率为8,所 以 y |x=-1 4 2a= 8,解得 a= 6.答案：一 65 求以下函数的导数：2 1 1(1) y x x+x+x3 ;1 + cos x(2) yx；(3) y (4x x)(ex+ 1).1 112解：(1)：yx x2 + x+ x3 x3+ 1+ 护，二 y 3x2x3.,1 + cos x x2 1 + cos x x2 xsin x 2cos x 2(2) y l _x3.(3) 法一 ：y (4x x)(ex+ 1) 4xex+ 4x xexx,. y (4xex + 4x xe x) (4x)