求曲线的方程

1、 一、复习一、复习：什么是曲线的方程和方程的曲线：什么是曲线的方程和方程的曲线? (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点。上的点。 二、坐标法和解析几何的意义、基本问题二、坐标法和解析几何的意义、基本问题: 在建立坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程在建立坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的 性质，这种研究几何问题的方法称为性质，这种研究几何问题的方法称为坐标法，坐标法，这门科这门科

2、学称为学称为解析几何。解析几何。 解析几何的解析几何的两大两大基本问题就是：基本问题就是： （1）根据已知条件，求出表示曲线的方程）根据已知条件，求出表示曲线的方程 （2）通过曲线的方程，研究曲线的性质）通过曲线的方程，研究曲线的性质 说明：本节主要讨论求曲线方程的一般步骤说明：本节主要讨论求曲线方程的一般步骤. . 例例1 1： 设设A、B两点的坐标分别为两点的坐标分别为 (1,1)、(3,7)，求线段，求线段 的垂直平分线的垂直平分线 的方程的方程 例例1 设设A、B两点的坐标是两点的坐标是( 1, 1)，(3,7)，求线段，求线段AB的垂直的垂直 平分线的方程。平分线的方程。 解法一：易

3、求线段解法一：易求线段AB 的中点坐标为（的中点坐标为（1，3），）， 由斜率关系可求得由斜率关系可求得 l 的斜率为的斜率为 1 2 k 直线直线AB的斜率为的斜率为 7( 1) 2 3( 1) k 于是有于是有 即即 l 的方程为的方程为270 xy ) 1( 2 1 3xy 上述问题是我们早就学过的，用点上述问题是我们早就学过的，用点 斜式就可解决可是，你们是否想斜式就可解决可是，你们是否想 过过恰好就是所求的吗？或者说恰好就是所求的吗？或者说 就是直线就是直线 的方程吗？根据是什么，的方程吗？根据是什么， 用证明吗？用证明吗？ 证明：（证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解）曲线

4、上的点的坐标都是这个方程的解 设设 是线段是线段 的垂直平分线上任意一点，则的垂直平分线上任意一点，则 00 (,)M xy AB | |MAMB 即即 2222 0000 1137xyxy 将上式两边平方，整理得将上式两边平方，整理得 00 270 xy 这说明点这说明点 的坐标是方程的坐标是方程 的解的解 00 (,)M xy270 xy （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 设点设点M1的坐标的坐标(x1,y1)是方程是方程的解，即的解，即x1+ +2y1-7=0 x1=7-2y1点点M1到到A、B的距离分别是的距离分别是 22 111 2

5、2 11 2 11 11 821 5613 ; M Axy yy yy 22 111 22 11 2 11 37 427 5613 M Bxy yy yy |M1A|=|M1B| 由由、可知，方程可知，方程是线段是线段AB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为适合的条件可表示为 2222 1137xyxy 将上式两边平方，整理得将上式两边平方，整理得270 xy 证明证明：（：（1）由求方程的过程可知，垂直平）由求方程的过程可知，垂直平 分线上每一点的坐标都是方程分线上每一点的坐标都是方程 的解；的解； （2）同解法一。）同解

6、法一。 例例1 设设A、B两点的坐标是两点的坐标是( 1, 1)，(3,7)，求线段，求线段AB的垂直的垂直 平分线的方程。平分线的方程。 解法二：设解法二：设 ( , )M x y是线段是线段AB 的垂直平分线上任意一点，也就是点的垂直平分线上任意一点，也就是点 M属于集合属于集合 | |PMMAMB 求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤： （1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数 对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标； （2）限制条件：写出适合条件）限制条件：写出适合条件P的点的点M的集合的集合 P=M |

7、 P(M); （3）列方程：用坐标表示条件）列方程：用坐标表示条件P(M)，列出方程，列出方程 f(x,y)=0; （4）化简：化方程）化简：化方程 f(x,y)=0为最简形式；为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解）证明：证明以化简后的方程的解 为坐标的点都在曲线上。为坐标的点都在曲线上。 设点设点M（x,y）是曲线上任意一点，）是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B，那么点，那么点M属于属于 集合集合 .2| MBMAMP 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：适合的条件可表示为： 2)2( 22 yyx 将将式移项后再两边平方，得式移项后再两边平方，得 x2+(y2)2=(y+2)2, 化简得：化简得： 2 8 1 xy 因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0,虽然原点虽然原点O的坐标（的坐标（0， 0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方 程是程是 (x0) , 2 8 1 xy 36 22 yx 01110 22 xyx 通过本节学习，要求大家