运筹学存贮论存储论库存论PPT学习教案

1、会计学1 运筹学存贮论存储论库存论运筹学存贮论存储论库存论 第一节 引言 在生产和生活中,人们经常进行着各种个样的存 贮活动,这是为了解决供应(或生产)与需求(或 消费)之间不协调或矛盾的一种手段.例如,一场 战斗在很短时间内可能消毫几十万发炮弹,而兵 工厂不可能在这么短的时间内生产那么多炮弹, 这就是供需矛盾,为了解决这一矛盾,只能将军 火工厂每天生产的炮弹储存到军火库内,以备战 争发生时的需要. 第1页/共60页 这种供需不协调的现象十分普遍,在农业,商 业和物资领域大量存在.人们在解决这些矛 盾时,很容易想到用存贮这个环节来协调供 需之间的矛盾.我们可以把存贮看作中心,把 供应与需求看作

2、一个具有输入(供应)和输出 (需求)的控制系统. 存贮 输入(供应) 输出(需求) 为什么要研究存贮问题? 存贮量过大会有什么后果: 1.由于不必要的存贮,增加了库存保管费及保 管场地,而使产品价格增高; 第2页/共60页 2.过高的存贮量占用了流动资金使资金周转 困难,降低了资金利用率; 3.过量存贮降低了材料或产品的质量,甚至于 产品过时,变质损坏. 存贮量不足会有什么后果: 1.由于原料不足可能会造成停工,停产等重大 经济损失; 2.因缺货失去销售机会,失去顾客; 3.用频繁订货的方法以补充短缺的物资,这将 增加订购费用. 第3页/共60页 为了统一供,需和存贮诸方面的矛盾,就要对 存贮

3、系统进行分析.从获得最佳经济效益的 目的出发,求出最佳订购批量,最佳订购周期, 从而得到最佳存贮量,使整个存贮系统所支 付的费用最少. 用数学语言来说就是建立一个目标函数,这 个目标函数是由总费用与定货批量或定货周 期构成的,并求使得目标函数达到最小值的 定货批量或定货周期. 第4页/共60页 存储问题的基本概念 存贮问题的基本要素 (1)需求率:指单位时间内对某种物品的需求量, 以D表示. (2)定货批量:定货采用以一定数量物品为一批 的方式进行,一次定货包含某种物品的数量称 为批量,用Q表示. (3)定货间隔期:指两次定货之间的时间间隔, 用t表示. 第5页/共60页 (4)定货提前期:从

4、提出定货到收到货物的时间 间隔,用L表示. (5)存贮(定货)策略:指什么时间提出定货(对存 储进行补充)以及定货(补充)的数量. 几种常见的存储策略: t-循环策略:不论实际的存储状态如何,总是 每隔一个固定的时间t,补充一个固定的存储量 Q. (t,S)策略:每隔一个固定时间t补充一次,补充 数量以补足一个固定的最大存储量S为准.因此 每次补充的数量是不固定的,当存储余额为I时, 补充数量是Q=S-I. 第6页/共60页 (s,S)策略:设s为定货点(或保险存储量,安 全存储量,警戒点等).当存储余额为I,若Is则 不对存储进行补充;若I s时,则对存储进行 补充,补充数量Q=S-I.补充

5、后的数量达到最大 存储量S. (t,s,S)策略:在很多情况下,实际存储量需要 通过盘点才能得知,若每隔一个固定时间t盘 点一次,得知存储量为I,再根据I是否超过定货 点s决定是否定货. 第7页/共60页 与存贮问题有关的基本费用项目 (1)一次费用或准备费用:每组织一次生产,定 货或采购某种物品所必须的费用(如差旅费, 手续费,检验费等).通常认为它与定购数量无 关.但是,分配到每件物品上的费用随购买量 的增加而减少,此费用用C2表示. (2)存储费:包括仓库保管费,占用流动资金的 利息,保险金,存贮物品的变质损失费等.以每 第8页/共60页 件存贮物在单位时间内所发生的费用,用C1表 示.

6、 (3)缺货损失费:这是一种由于未及时满足顾 客需要而产生的损失,包括两种情况,其一是 顾客不愿意等待而损失一笔交易,进而影响企 业的声誉.其二是顾客愿意等待稍后的供应而 发生的处理过期定货的损失,用C3表示. 在一个存贮问题中主要考虑两个量:供应(需求) 量的多少;何时供应(需求),即量和期的问题.按 这两个参数的确定性和随机性,可分为确定性 存贮模型和随机性存贮模型. 第9页/共60页 第二节 经济定货批量的存贮模型 1.基本的EOQ(Economic order quality 经济定 货批量,1915年,英国,Harris)模型 设一种物品的需求率D(件/年)是已知常数,并 以批量Q供

7、应给需求方,瞬间供货,不允许缺 货, 货到后存在仓库中,并以速率D消耗掉.该类问 题只考虑两种费用:定货费C2(元/次),存贮费 C1(元/件年),试确定每次的定货批量为多少时, 使全年的总费用为最少. 第10页/共60页 解:先用图形表示这一过程 Q t T 时间 数量 O 第11页/共60页 C表示全年发生的总费用,TOC表示全年内的 定货费,TCC表示全年内的的存储费,n表示全 年的平均定货次数, . Q D n 平均存储量为 这是因为在时间t内的需求 量为Dt,此时的库存量为Q-Dt,则平均库存量为 . 2 1 Q 221 1 ,. 2 D TOCCnCTCCC Q Q . 2 1 2

8、 1 2 1 ) 2 1 ( 1 )| 2 1 |( 1 )( 1 2 0 2 0 0 QQQDTQ DTQT T DtQt T dtDtQ T TT T 第12页/共60页 21 22 1 2 1 12 1 , 2 21 0, 2 .2. D CTOCTCCCC QTC Q C DDCdC CQQEOQ dQQC CDC C 求的最小值 称为 公式此时 2 1 2 ,. CQD Tn DDCQ 最佳定货周期为 第13页/共60页 例1 某商店有甲商品出售,每单位甲商品成本 为500元,其存储费用每年为成本的20%,该商 品每次的定购费为20元,顾客对甲商品的年需 求量为365个,如不允许缺货

9、,定货提前期为零, 求最佳定购批量最小费用及最佳定货周期. 解: 21 2 21 1 20/,500 20%100/,365/, 22 20 365 12(),2 100 2 20 100 3651208(),12/. CCD C D QCC C D C Q T D 元 次元 年个 年 单位 元天 次 第14页/共60页 如果定货方式不按上边的办法,而是采取任 意一种方式,如每隔20天定货一次,每次定购 20个单位,其总费用又如何呢? 根据前边的证明可知,平均存贮量为 ,则在 这种定购方式下,平均存贮量为10个单位,于是 Q 2 1 ).),(36525.1820 )

10、,(25.1820365 ),(100010%20500 元总费用为 元每年的定购费为 次每年的定购次数为 元每年的存贮费为 显然比按EOQ公式计算的结果要差. 第15页/共60页 2.一般的EOQ模型 时间 库存 o A A M BE 1 S 2 S C t 1 t 2 t 3 t 4 t 第16页/共60页 在一般的EOQ模型中,允许库存发生短缺.生产 部门按一定的速率P进行生产,需求部门的需求 速率为D(PD),在 段,按速率P生产,如果在这 段无需求量,则存贮量可达到 点,如果有需求 量实际可达到A点.在 和 内生产停止,但需 求仍按速率D进行,到达B点后存贮量为零,到C 点发生最大短

11、缺,从该点又恢复生产,到E点补上 短缺量,并开始一个新的生产周期. 设 为最大存贮量, 为最大短缺量, 为开 始一个周期的生产准备费, 为单位产品在单 位时间的存贮费, 为发生单位产品在单位时 间短缺时的损失费,确定总费用为最小的最佳生 产批量Q. 1 t A 2 t 3 t 1 S 2 S D C P C S C 第17页/共60页 解:一个生产周期的长度为 ,若分 别用OC,CC,SC表示一个周期的生产准备费,存 贮费和短缺费,TC表示单位时间的平均费用,则 4321 tttt . )( 2 )( 2 ),( 2 ),( 2 , 4321 43 2 21 1 4321 43 2 21 1

12、tttt tt SC tt SC C tttt SCCCOC TC tt SC SCtt SC CCCOC SP D SP D 22121 21111 , )( t DP P ttt DP D t DttDPDtPtS 所以 因为 第18页/共60页 )()( ),( ,)( 324321 324321 34334432 tt DP PD ttttDQ tt DP P tttt t DP P ttt DP D ttDPDtS , )( 2 )( )( 22 32 2 3 2 2 32 3322 tt tCtC D P DP C tt DP P t DP P Dt C t DP P Dt C C

13、 TC SPD sP D 第19页/共60页 0)( 2 2)( 2 )( 0)( 2 2)( 2 )( 2 3 2 2332 2 32 3 2 3 2 2232 2 32 2 tCtC D tCtt D P DP Ctt t TC tCtC D tCtt D P DP Ctt t TC SPSD SPPD 解出 . 332 t C CC tt P PS 第20页/共60页 SP DSP SPS PD SPP SD SP SPD SPP PD SPS PD CC PDCCDC TC CCC PDDCC DtS CCC PDDCC DtS PDCC CCDC Q CCDC PDCC t CCDC

14、 PDCC t )1 (2 , )( )1 (2 , )( )1 (2 , )1 ( )(2 )( )1 (2 , )( )1 (2 32 21 23 第21页/共60页 3.定货提前期为零,允许缺货的EOQ模型 设S为最大允许缺货量,在 时间间隔内,库存 量是正值,在 时间间隔内发生短缺.每当新的 一批零件到达,马上补足供应所短缺的数量S,然 后将Q-S的物品储存在仓库.因此在这种情况下, 最高的库存量是Q-S,该模型总费用包括:定货费 保管费 和短缺费用 ,现在确定经济批量Q 及供应间隔期 ,使平均总费用最小. 1 t 2 t 2 C 1 C 3 C t 第22页/共60页 时间 数量 O

15、 Q 1 Q 2 Q 1 t 2 t t 第23页/共60页 解: 213123 1313 32 1 113 12 2 313 213 13 2()2 , 2 () 2 , () 2() . C D CCDC C C QC C CCC CDC CCC C C D C CC C CC T DC C 经济存储量Q =, 最佳缺货量Q 最佳定货周期 第24页/共60页 例2 某百货公司对海尔电冰箱的年需求量为 4900台,设每次定购费为50元,每台每年存储费 为100元.如果允许缺货,每台每年的缺货损失 费为200元,试求最佳存贮方案. 解: 213 50/,100/,200/, 4900/. CC

16、C D 元 次元 台 年元 台 年 年 台 年 2 2 4900 50(100200) 85(), 100 200 2 50 100 4900 28() 200(100200) 2 50(100200) 0.0174()6.35(), 4900 100 200 2 4900 50 100 200 5715(). 100200 Q Q T C 台 台 年天 元 第25页/共60页 4.非瞬时进货,不允许缺货的EOQ模型 时间 库存 A A O B S 1 t 2 t t . , 21 为最小内的费用周期 使在的值及相应的确定最佳生产批量 TCt SttQ 第26页/共60页 公式如下: 2 12

17、 1 2 1 2 ,2(1) (1) 2 . C D QCC C DD P CD P CP T C DPD 注:P为生产速率,D为消耗速率,PD. 第27页/共60页 例3 某企业每月需某产品100件,由内部生产 解决,设每月生产500件,每批装备费为5万元, 每件每月存储费为0.4万元/件,求最佳生产批 量及最小费用(计划期为一个月). 解:D=100件/月,P=500件/月,C1=0.4万元/件, C2=5万元/次. 2 1 22 5 100 56 (1/)0.4(1 100/500) C D Q CD P 件 21 2(1/)2 5 0.4 100(1 100/500) 17.89 CC

18、 C DD P 万元 第28页/共60页 第三节 具有约束条件的存储模型 如果在存贮模型中包含有多种物品,且定货批量 受到仓库面积和资金等方面的限制,这样在考虑 最优定货批量时需要增加必要的约束条件.现在 只考虑仓库容量的限制条件. 第29页/共60页 1 21 (1,2, ), , ,: . , , ii i i n ii i i Qiini wW QwW i DCC 设为第 种物品的定货批量 已知第 种 物品占用的存储空间为仓库的最大容量为则 考虑各种物品的定货批量时 应加上约束条件 又设第 种物品的定货提前期为零 单位时间的需求 率为定货费和保管费分别为则使总费用 最小的数学模型为 第3

19、0页/共60页 21 1 1 1 min 2 . . 0,1, ii n i i i i n ii i i D TCCC Q Q QwW st Qin 在不考虑约束条件时,如果用最佳定货批量公式 算出的结果满足 式,则此时的各物品的最优 定货批量已求出,否则应按拉格朗日乘数法求最 优定货批量,即 第31页/共60页 121 11 1 ( ,) 2 (0) ii nn i niii ii i D LQQCC QQwW Q 2 1 2 1 1 0 2 0 i i i i ii n ii i C D L Cw QQ L QwW 2 1 2 2 i i i i i C D Q Cw 第32页/共60页

20、 在具体计算时,可令 由 式求出 的 值,将其代入 式,如果满足此式,则各物品 的最佳定货批量已得到,否则,可逐步减小 值,一直到求出的 值代入 式满足为止. 0 i Q i Q 第33页/共60页 例4 考虑一个具有三种物品的存储问题,有关 数据如下表,已知总的存储量为W=30立方米, 试求各种物品的最佳定货批量. 物品 1 2 3 10 5 15 2 4 4 0.3 0.1 0.2 1 1 1 2i C i D 1i C)( 3 mwi 第34页/共60页 解:当 时,由 可得 2 1 2 2 i i i i i C D Q Cw . 5 .24 2 . 0 4152 ,20 1 . 0

21、452 , 5 .11 3 . 0 2102 321 QQQ :, ,3056 3 1 其过程如下值进行试算 现在减小即不满足此式式代入 i iiw Q 0 第35页/共60页 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 10.0 9.0 8.2 7.6 14.1 11.5 10.0 8.9 17.3 14.9 13.4 12.2 41.4 35.4 31.6 28.7 1 Q 2 Q 3 Q i i iw Q 3 1 .13, 9, 8 321 QQQ 第36页/共60页 第四节 具有价格折扣优惠的存贮模型 生产或销售部门为鼓励用户加大定货批量,常常 规定一次定货量达到规定数量时,给予价

22、格折扣 优惠. , , , ,. , ,. ., , 1 321 3322 2111 QQQ CCC CQQQC QQQCQQ 若计算出经济定货批量价格折扣优惠 先不考虑例不允许缺货的模型型为以瞬时进货较 加总一起进行比短缺损失费同货物价格存贮费费 就需把定货在计算最佳定货批量时中 其等等每件价格为时件价格为 每时每件价格为时设定货量 第37页/共60页 ., , , ; , 221 21 依此类推时的各项费用总和 只须比较定货量为时若总和 时的上述各项费用需比较定货量为 QQQQQ QQQ 例5 (P200例8.5)某复印社每月约消耗 复印 纸80箱，他从汇文批发站进货，每进一次货发 生的固

23、定费用200元。汇文批发站规定，一次 购买量 箱时，每箱120元， 时，每箱119元，当 箱时，每箱118 元。已知存储费为16元/年箱，求该复印社每 次进货的最佳批量，使全年的总费用为最少。 4 A 300Q 300500Q 500Q 第38页/共60页 解： 21 2 1 960,200,16, 22 200 960 155. 16 DCC C D Q C 因为 ，故需将一次进货量 同 ， 时的全年总费用比 较。 1 300QQ 155Q 1 300Q 2 500Q 第39页/共60页 当 时，全年总费用为 9601 20016 155960 120117678.70 1552 元 Q15

24、5 当一次进货为 时，全年总费用为 1 Q300 9601 20016 300960 119117280 3002 元 当一次进货为 时，全年总费用为 2 Q500 9601 20016 500960 118117664 5002 元 最优决策：每次进货300箱，全年总费用最少。 第40页/共60页 第二节所学的存储问题中，需求与补充的相 关各量都是确定的，但实际问题中需求量往 往是一个不确定的值，如果能将它表示成一 个随机变量，这就是需求是随机的存储模型。 这里只研究单周期随机存储问题。典型的单 周期存储模型是“报童问题”（Newsboy Problem），它是由报童卖报演变而来的，在 存储

25、论和供应链的研究中有广泛地应用。 第五节 单周期随机存储模型 第41页/共60页 该问题的特点是，在一个周期内订货 只进行一次，若未到期末货已售完也不 再补充订货；若发生滞销，未售出的货 应在期末降价处理。无论是供大于求还 是供不应求都会造成损失，研究的目的 是确定该时期的订货量，使预期的总损 失最少或总盈利最大。此问题在现实中 大量存在，如报纸、书刊、服装、食品、 计算机硬件等时令性产品的订货。 第42页/共60页 为了便于研究，需要引入各变量的记号： X：一个时期的需求量，是一个非负的随机量 Q：一个时期的订货批量 C：单位产品的获得成本（Unit Acquisition Cost),即产

26、品的购入价格 P：单位产品的售出价格（Unit Selling Price) V：单位产品的残值（Unit Salvage Value)，即 未售出剩余产品的处理价格 B：单位产品的缺货成本（Unit Shortage Cost) 第43页/共60页 H：供过于求时单位产品一个时期内的持有 （存储）成本，供不应求时等于零 ：供过于求时单位产品总成本（Unit Overstock Cost），即 =C-V+H ：供不应求时单位产品总成本（Unit Understock Cost),即 =P-C+B 0 C 0 C u C u C 第44页/共60页 一、需求是离散型随机变量的报童问题 如果一个时

27、期内需求量 是一个随机变量， 其取值为 ，概率分布为 ，最 优存储策略是使该时期内的总期望费用最小， 或总期望收益最大。 当订货批量 时，供大于求发生存储， 总费用的期望值为 X ,1,2, i x in( ) i P x i Qx 0 () ( ) i ii Q x CQx P x 第45页/共60页 当订货批量 时，供不应求发生缺货，总 费用的期望值为 i Qx () ( ) i uii Q x CxQ P x 综上可得总费用用的期望值为 0 ( )() ( )() ( ) ii iiuii Q xQ x E C QCQx P xCxQ P x 我们希望求得总费用期望值的最优值。 第46页

28、/共60页 X 是离散型随机变量，不能用求导数的方 法求极值。由于 取非负整数，由上式得 出 取最小值的必要条件为 X Q ( ) (1) ( ) (1) E C QE C Q E C QE C Q 于是有 1 0 02 1 0 0 (1)(1) ( )(1) ( ) ( ) (1)(1) ( )(1) ( ) ( ) ii ii Q iiuii xxQ Q iiuii xxQ E C QCQx P xCxQP xE C Q E C QCQx P xCxQP xE C Q 第47页/共60页 解上式得到 0 0 1 0 0 ( ) ( ) i i Q u i x u Q u i x u C P

29、 x CC C P x CC 最佳订货批量应按下面的不等式确定： 1 00 0 ( )( ) ii QQ u ii xx u C P xP x CC 设 称为临界值，它的两边都是累加 概率。实际操作时，取所有大于临界值的累 加概率中的最小者为最佳订货批量 。 0 u u C M CC Q 第48页/共60页 例6 报童问题：某报童每天向邮局订购报纸 若干份。若报童一提出订购，立即可拿到报 纸。设订购报纸每份0.35元，零售报纸每份 0.50元，如果当天没有售完，第二天可退回 邮局，邮局按每份0.10元退款。已知这种报 纸需求的概率分布如下表，问报童应定多少 份报纸才能保证损失最少而赚钱最多？

30、需求X9 10 11 12 13 14 P(x)0.05 0.15 0.20 0.40 0.15 0.05 第49页/共60页 解：已知C=0.35，P=0.50，V=0.10，如 果当天订货批量小于需求量，则B=0， H=0。 0 0 0.350.1000.25 0.500.3500.15 0.15 0.375 0.150.25 u u u CCVH CPCB C M CC 计算上表的累加概率得到 1011 00 ( )0.200.375( )0.40 xx P xMP x 因此， ，即报童每天向邮局订购11份 报纸，能使报童每天获利最多。 11Q 第50页/共60页 例7 某设备上有一关键

31、零件需要更换，需 求量 服从泊松分布，根据以往的经验平 均需求量为5件，此零件的价格为100元/件 。若零件用不完，到期末完全报废；若备 件不足，待零件损坏后再去购买，就会造 成停工损失180元。试确定期初应准备多少 件配件最好？ X 第51页/共60页 解：已知C=100，B=180，V=H=0,售价 P=C=100，因此 0 100,100 100 180180 u CCVHCPCB 泊松分布的概率分布为 ( ),0,1, ! x P xex x 根据题意，参数 （为什么？），临界 值 5 0 180 0.6428 180 100 u u C M CC 第52页/共60页 查泊松分布的概率分布值表，计算其累计 概率可知，当 时6Q 56 00 ()0.51600.6428()0.7622 xx P xMP x 即期初应有6个备件最好。 第53页/共60页 二