核心素养提升练五十10.7

1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养提升练五十抛物线皿XI (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1. 已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(-3,m)到焦点的距离为5,则抛物线方程为()2 2A.y =8xB.y =-8x2 2C.y =4xD.y =-4x2P【解析】选B.设抛物线方程为y=-2px(p0),贝片-(-3)=5,即p=4,所以抛物线方 程为 y2=-8x.【变式备选】(2018 玉溪模拟)若抛物线y2=2px(p0)上一点P(2,y 0)到其准

2、线的距离为4,则抛物线的标准方程为()22A.y =4xB.y =6x22C.y =8xD.y =10x【解析】选C.因为抛物线y2=2px,所以准线为x=-.因为点P(2,y 0)到其准线的 卩 一 2距离为4,所以2+ =4,即p=4,所以抛物线的标准方程为y =8x.r2. 已知抛物线的方程为y2=2px(p0),过抛物线上一点M(p. p)和抛物线的焦点F作直线I交抛物线于另一点N,则|NF| ： |FM|=(A.1 :血B.1 :D.1 ：3【解析】选C.由已知直线I的方程为y=2.玮)，联立厂=2以y = 2应(埒)迂C.1 ：2? V2 1? P 3p 3N -,-p ,所以 |

3、NF|=_+_= p,|MF|=p+二 p,所以 |NF| : |FM|=1 : 2.44 2 42 23. 已知双曲线C:二-%=1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x 2=2py(p0)的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2,则抛物线G的方程为()A.x2=yG.x2=8yB.x y3 ，D.x2=16y以V2【解析】选D.因为二-=1的离心率为2,所以一=2,即.=2 a2+h2b芦=4,所以；x2=2py的焦点坐标为0,X2 V2一-=1的渐近线方程为ary= x,即 y二士x.由已p2知 一:=2,即p=8.所以C2的方程为x =16y.4. 若点A的坐标为(3,2),F是抛物线

4、y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为 ()A.(0,0)C.(1,(1B. :，-=6 沁.答案:6，二7. (2018 正定模拟)如图，正方形ABCD和正方形DEFG勺边长分别为a,b(a0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.F ,0 ,那么M ,4在抛物线上，即16=2p,即p2-8p+16=0,2 2 2解得p=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6. 已知正 AOB(C为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y原点O为AD的中点，抛物线y =2px(p0)经过C,F两点，则-二.

5、 a=3x上,则厶AOB勺边长是【解析】由抛物线的对称性得/ AOx=30所以直线OA的方程为y= x,联立3 :解得A（9,3丐）.所以|AO|= y2 - 3x【解析】|OD|= -,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,所以 C _,-a ,F -+b,b ,又抛物线y2=2px(p0)经过C,F两点，所以f(-a)2 = 2pX,| b2 = 2p(| + b),b2 = ap + 2bp,所以 b2=a2+2ab,2-2ab -1=0, abb又1,所以=1 +aa8.(2019-西安模拟)如图，过抛物线y=x2的焦点F的直线I与抛物线和圆x2+(y-1)1 =1交于A,B,C,

6、D四点,则圳f=【解析】解得x= 士 2所以A(-2,1),D(2,1), 因为 B(-1,1),C(1,1), 所以=(1,0), J =(-1,0),所以二二=-1.答案:-1 三、解答题(每小题10分,共20分)9. 已知点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上,直线li：y=kx+1(k R,且k工0)与抛物线E相交于B,C两点，直线AB,AC分别交直线l2：y=-1于点S,T.(1)求a的值.若|ST|=2：，求直线li的方程.2【解析】(1)因为点A(2,1)在抛物线E:x =ay上,所以a=4.由(1)得抛物线E的方程为x2=4y.设点B,C的坐标分别为(X1,y1),(X2,y2

7、), 依题意得二=4y 1隔=4y 2,y = kx +1,9.消去 y,得 x2-4kx-4=0,tv = 4yf4fc4vF+l fTnT解得 X1,2二=2k 2一.2所以 X1+X2=4k,x 1X2=-4.yr1 -1 xl+2直线AB的斜率kAB=二二,心打24故直线AB的方程为y-仁(x-2).8令y=-1,得x=2-（由题意知X1+2工0）,所以点S的坐标为席圆学子梦想铸金字品牌8同理可得点T的坐标为所以|ST|= 2A . x2+2/2-）Xjj+2/I8仗炖）（孔+2）（乜+為 昭厲）S（X!-XZ） x-x2心+2因为 |ST|=2所以凶帜2|=2 ,|k|.由 |xi-

8、X2|2=（x i+X2）2-4x 1X2,得 20k2=16k 2+16,解得 k=2 或 k=-2, 所以直线li的方程为y=2x+1或y=-2x+1.10. （2018 衡水模拟）已知抛物线C:y2二ax（a0）上一点Pj茫到焦点F的距离为2t.世纪金榜导学号（1）求抛物线C的方程.（2）抛物线上一点A的纵坐标为1,过点Q（3,-1）的直线与抛物线C交于M,N两个 不同的点（均与点A不重合）,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k 1 - k2为定 值.a【解析】（1）由抛物线的定义可知|PF|=t+ 一=21则a=4t,4由点P 一在抛物线上则at二a 1所以 a x 二-，

9、则 a2=1,由 a0,则 a=1,故抛物线的方程为y2二x.因为A点在抛物线上，且yA=1.所以XA = 1,所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线I的方程x-3=m(y+1).即x=my+m+3, 代入 y2=x 得 y2-my-m-3=0.设 M(xi,yi),N(X2,y2),则 yi+y 2=m,y iy2=-m-3,所以 ki k2=Tpl X2lJ7加为力+m（m+2）血+旳）+倣+2）n 丿尊人匕I |=| .荒皿IT纠（20分钟40分）1. （5分）（2018 哈尔滨模拟）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为I,P是I上一点,Q是直线PF与C的一个交点，若=4 ,

10、则|QF|等于 （）5A. B.3C.D.222） *【解析】选B.设Q到I的距离为d,则|QF|=d,因为】；=4：- ；,所以|PQ|=3d,不22 dfn妨设直线PF的斜率为-.=-2 , _,因为F（2,0）,所以直线PF的方程为y=-2 , _（x-2）,与 y2=8x 联立得 x=1,所以 |QF|=d=1+2=3.2. （5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,0为坐标原点.若|AF|=3,则厶A0B勺面积为（）A.32 C.【解析】选C.焦点F（1,0）,设A,B分别在第一、四象限，则点A到准线l:x=-1的 距离为3,点A的横坐标为2,纵坐标为2, .

11、,AB的方程为y=2 : （x-1）,与抛物线 方程联立得2x2-5x+2=0,所以B的横坐标为-，纵坐标为-2，S的=X 1 X （2 ： +3. （5分）（2018 正定模拟）设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,贝S l的方程为（）A. y=x-1 或 y=-x+1B. y= （x-1）或 y=-（x-1）rrC. y=， !（x-1）或 y=- ,（x-1）2 2D. y=77（x-1）或 y=-7（x-1）【解析】选C.如图所示，作出抛物线的准线|1及点A,B到准线的垂线段AA,BB1,设直线l交准线于点M,|BF|=m,由抛物线的

12、定义知|BBi|=m,|AA i|=|AF|=3m,由 BBi IIAA i 知I 隔 1= |MB| 阴,即巴=严,3PI所以 |MB|=2m,|MA|=6m, 所以ZAMA 1=30 ZAFx= /MAA 1=60 4. (12分)设直线I的方程为x=m(y+2)+5，该直线交抛物线C:y2=4x于P,Q两个不 同的点.|世纪金榜导学号-(1)若点A(5,-2)为线段PQ的中点，求直线I的方程. 证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B(1,2).【解析】(1)设 P(X1,y1),Q(X2,y2),(X = my + (2m + 5)联立，消去X得ly = 4无y2-4my-4(2m+5)=

13、0, 所以 y1+y2=4m,y 1y2=-8m-20,因为A为线段PQ的中点，yi+js所以 =2m=-2,解得m=-1.所以直线I的方程为x+y-3=0.因为yj yf 卜1丁2)2X1+X2=m(y 1+y 2)+2(2m+5)=4m2+4m+10,x 1x2=二 =(2m+5) 24丄16* ,所以；.、=(x1-1)(x2-1)+(y 1-2)(y 2-2),j 即厂=x 1X2-(x 1+x 2)+1+y 1y2-2(y 1+y 2)+4,)所以：=(2m+5) 2-(4m 2+4m+10)+1+-8m-20-2(4m)+4 =0,ft亂圆学子梦想铸金字品牌所以BP丄BQ,即以线段

14、PQ为直径的圆恒过点B(1,2).5. (13分)(2016 全国卷皿)已知抛物线C:y =2x的焦点为F,平行于x轴的两条 直线li, 12分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.|世纪金榜导学号(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明:AR/ FQ. 若厶PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意可知 冃门|,设|i：y=a, l2：y=b且abO,A 一 B记过A,B两点的直线方程为l,由点A,B可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0, 因为点F在线段AB上所以ab+1=0, 记直线AR的斜率为,直线FQ的斜率为k2,血b所以k1 =,k2= -=-b,又因为ab+仁0,1+旷2 2所以 k1= 二 二二 =-b,所以 k1=k 2,即 AR /FQ. 1+H卫讪a A