数学分析(上册)微分中值定理及其应用6-5课件(高等教育出版社第四版)

1、5 函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数从两个熟悉的函数 2 yxyx与与的图象来看的图象来看 凸性的不同：凸性的不同： 2 (),yxyxA B上任取两点上任取两点 AB弦恒在曲线弦恒在曲线 的上方的上方(下方下方) . AB段段 2 yx A B x y O A B xy x y O 如如(1)和和(2)式中的不等号改为严格不等号式中的不等号改为严格不等号,则相应则相应 定义定义1 设设 f 为区间为区间 I上的函数若对于上的函数若对于 I 上的任意上的任意 12 ,(0,1),xx 两点和任意实数总有两点和任意实数总有 1212 (1)()(1) (), (1)fxxf xf x 则称则称

2、 f 为为 I上的一个凸函数上的一个凸函数. 反之如果总有反之如果总有 则称则称 f 为为 I 上的一个凹函数上的一个凹函数. 1212 (1)()(1) (), (2)fxxf xf x 的函数称为严格凸函数和严格凹函数的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 2 ()yx 由此可得在，上为严格的凸函数，由此可得在，上为严格的凸函数， 很明显，若很明显，若 f (x)为为(严格严格)的凸函数的凸函数, 那么那么 f (x)就就 引理引理 f (x)为区间为区间 I上的凸函数的充要条件是：上的凸函数的充要条件是： 有有中中的的任任意意三三点点对对于于, 321 xxxI 3221 2132 ()()

3、()() (3) f xf xf xf x xxxx .0上的严格凹函数上的严格凹函数， yx 为为 为为(严格严格) 凹函数，反之亦然凹函数，反之亦然. 213 (1).xxx 从而有从而有 因为因为 f (x)为为 I 上的凸函数，所以上的凸函数，所以 213 ()(1)f xfxx 13 ()(1) ()f xf x 3221 13 3131 ()(). xxxx f xf x xxxx 312321213 () ()() ()() (),xxf xxxf xxxf x 证证 , 13 23 xx xx 设设 （必要性）（必要性） 于是于是 1 x 2 x 3 xO y x 整理后即为整

4、理后即为 (3) 式式. 即即 322212 () ()() ()xxf xxxf x 321213 () ()() (),xxf xxxf x 213 (1),xxx 由于必要性的证明是可逆的，从而得到由于必要性的证明是可逆的，从而得到 （充分性）（充分性）对于任意对于任意 13, (0,1).xx 设设 3221 2132 ()()()() . f xf xf xf x xxxx 则则 1313 (1)()(1) (),fxxf xf x 所以所以 f 为为 I 上的凸函数上的凸函数. 同理可证同理可证 f 为为 I 上的凸函数的充要条件是：对于上的凸函数的充要条件是：对于 123 ,Ix

5、xx中的任意三点有中的任意三点有 313221 213132 ()()()()()() . (4) f xf xf xf xf xf x xxxxxx 注注 (4) 式与式与 (1) 式是等价的式是等价的. 所以有些课本所以有些课本将将 (4) 式式 作为凸函数的定义作为凸函数的定义. ( 参见下图参见下图 ) 詹森詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦丹麦 ) 1 x 2 x 3 x y x 1 ( )f x 2 ( )f x 3 ( )f x O 12 1, n 必必有有 1111 ()()(). nnnn fxxf xf x 12 12 1 ()()() , n n x

6、xx ff xf xf x nn 对于凹函数，请读者自行写出相应的定理对于凹函数，请读者自行写出相应的定理. 1, , 01, ni xxI 条条件件是是：任任给给1,2, ,in 1 , i n 特别取则特别取则这是著名的这是著名的詹森不等式詹森不等式 . . 由数学归纳法不难证明：由数学归纳法不难证明：f 为为 I 上的凸函数充要上的凸函数充要 (5) 式是凸函数最常用的不等式式是凸函数最常用的不等式 . 即：即： 11 11 ()(5) nn ii ii fxf x nn 例例 1 设设 f 为开区间为开区间 (a, b) 上的凸函数上的凸函数, 那么它在那么它在 下面举例说明凸函数的内

7、在性质下面举例说明凸函数的内在性质. . 证证 012 , 0,xa bhh对于任意的（）使对于任意的（）使 上处处连续上处处连续. (a, b) 中每一点的左、右导数存在中每一点的左、右导数存在. 特别是在特别是在 (a,b) 00 0 ()() ( ),( )(0,) f xhf x F hF hbx h 令令则则在在 0 .( , ),xa bxx上递增 取由引理又得上递增 取由引理又得 000 0 0 ()()()() ,(0,). f xf xf xhf x hbx xxh 010020 12 ()()()() . f xhf xf xhf x hh 00102 ,xxhxhb 由引

8、理得到由引理得到 0 ().fx 同理可证存在同理可证存在 这就证明了这就证明了F(h)有下界有下界. 所以所以 00 0 00 ()() lim( )lim(). hh f xhf x F hfx h 存在存在 注注 开区间上的凸函数处处连续开区间上的凸函数处处连续, ,但不一定处处可但不一定处处可 导导; ; 闭区间上的凸函数在端点不一定连续闭区间上的凸函数在端点不一定连续. . 定理定理 6.13 设设 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数, 则下述则下述 (i)( );f xI为上的凸函数为上的凸函数 12 (iii),Ixx对于上的任意两点有对于上的任意两点有 (ii)(

9、);fxI 为上的增函数为上的增函数 21121 ()()()().f xf xfxxx 注注 (iii) 中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方. 论断互相等价：论断互相等价： 证证 12 , (i)(ii)xxIh 任任取取和和正正数数使使 1212 , , .xxxhI xhI且且 22 ()() . hf xf x h 1121 21 ()()()()hfff xxxxf xxh f已知是凸函数，由(4)式已知是凸函数，由(4)式 因为因为令令,0 h 11 11 0 ()() lim()(), h hf xxf fxfx h 22 22 0 ()() l

10、im()(), h hf xf x fxfx h 所以所以 ( ).fx 故递增故递增 21 12 21 ()() ()(), f xf x fxfx xx 1212 ,(ii)(iii,.)x xIxx对对于于任任意意不不妨妨设设 212112 ()()( )().f xf xfxxxx 则则 ( ),fx 因为递增 所以因为递增 所以 21121 ()()()().f xf xfxxx 12012 (iii)()1i)xxxxx仍仍设设， (01), 则则 10010 ()()()(),(6)f xf xfxxx 20020 ()()()().(7)f xf xfxxx A B x y O

11、 (6)(7)(1) 将式乘以 ，式乘以作和，并注意到将式乘以 ，式乘以作和，并注意到 120 (1)0,xxx故故 01212 ()(1)()(1) ().f xfxxf xf x 我们在这里再一次强调，我们在这里再一次强调， 的切线位于曲线的下方的切线位于曲线的下方. 于相应曲线段的上方于相应曲线段的上方;而它而它 义是义是:曲线曲线 y = f (x) 的弦位的弦位 函数函数 f 是凸函数的几何意是凸函数的几何意 点击上图动画演示点击上图动画演示 证证 由定理由定理 6.13 立即可得立即可得. 定理定理6.14 设设 f (x) 在区间在区间 I 上二阶可导，则上二阶可导，则 f (x

12、) ( )0 ( )0).fxfx 我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质. 对对 理理. 于凹函数也有类似的性质于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定请大家写出相应的定 在区间在区间I上是凸上是凸(凹凹)函数的充要条件为：函数的充要条件为： (, 0),( )0 ,( ) xfxf x 所以当时为凸函数；所以当时为凸函数； (0),( )0,( ).xfxf x 当，时为凹函数当，时为凹函数 解解 因为因为 例例 2 ( )arctan.f xx 讨讨论论函函数数的的凹凹凸凸性性区区间间 22 2 ( ),(,). (1) x fxx x 2 1

13、( ), 1 fx x (,),x (本例说明：在凸本例说明：在凸(凹凹)函数的条件下，可微函数函数的条件下，可微函数的的 极值极值点与稳定点是等价的点与稳定点是等价的.) 例例 3 设函数设函数 f (x)为为 (a, b) 上的可导凸上的可导凸(凹凹)函数函数. 00 ()0 ( ).fxxf x 那那么么的的充充要要条条件件是是为为的的极极值值点点 证证 充分性是显然的充分性是显然的(费马定理费马定理). 下面证明必要性下面证明必要性. 由定理由定理 6.13 的的 (ii), 是递增的是递增的. 所以所以()fx 0 ()0.fx 即即设设 f (x)是凸函数是凸函数, x0 是是 f

14、 (x) 的稳定点的稳定点, 00 ( )(),( ,);f xf xxa x 00 ( )(),(, ).f xf xxxb 00 ( )(),( , ),()( )f xf xxa bf xf x综综上上, ,即即是是的的 0 ( ,)( )0, ( )xa xfxf x 当当时时，是是递递减减的的，故故 (i) 0 (, )( )0,( ),xx bfxf x 当时,是递增的 故当时,是递增的 故(ii) 极小值极小值. . 注 注 我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极 0 ()( )( )f xf xf x若若是是的的一一个个极极值值，则则仅

15、仅有有惟惟一一的的 极值，并且是极小值极值，并且是极小值. 证证 应当注意，这里并没有假设函数应当注意，这里并没有假设函数 f (x) 的可微的可微 ( )( , )f xa b设是区间上的一个严格凸函数，设是区间上的一个严格凸函数，例例 4 此下面这个例题自然就产生了此下面这个例题自然就产生了. 值总是极小值值总是极小值, 可微凹函数的极值总是极大值可微凹函数的极值总是极大值. 因因 性，所以例性，所以例 2 的方法就失效了的方法就失效了. 102 ( ) f xxxx因为严格凸,所以当时,因为严格凸,所以当时, 0120 0120 ()()()() . f xf xf xf x xxxx

16、0120 ()() ()()0.f xf xf xf x ( )f x又因是严格凸的，所以又因是严格凸的，所以 0120 ()()0,()()0,f xf xf xf x 0 ().f x所以是极小值所以是极小值 0 ()f x由于是极值,因此由于是极值,因此 120 , x xx当充分接近时,有当充分接近时,有 对于任意因为对于任意因为 f (x0) 是极小值，所以是极小值，所以 0 (, ),xxb 10 ()().f xf x 又因为又因为 f(x0) 是严格凸函数，所以是严格凸函数，所以 100 100 ()()( )() 0, f xf xf xf x xxxx 0 ( )().f

17、xf x 即即 同理可证：对于任意仍有同理可证：对于任意仍有 f (x0) f (x) . 0 ( ,),xa x 10 (,),xxx 存在使得存在使得 00 ()() ()()f xf xf xf x 和和 同时成立同时成立, 矛盾矛盾. .所以极值点惟一所以极值点惟一. . 设设 f (x) 有另一极小值有另一极小值 . 根据以上讨论，把根据以上讨论，把 ()f x x 和和 x0 分别看作极值点时分别看作极值点时, 有有 均为正数均为正数. 1 ( )ln1 ,( )0,fxxfx x ( )0f xx 所所以以在在时时为为严严格格凸凸的的. .由由詹森不等式 詹森不等式 1 ( (

18、)( )( ), 33 abc ff af bf c 3 (), , a b c acb abca b ca b c 证明不等式其中证明不等式其中例例 5 ( )ln ,f xxx 设则设则 证证 1 lnln. 333 abc abcabc a b c 即即 又因又因 3 , 3 abc abc 故有故有 31 lnln(). 33 abc abc abca b c 再由对数函数是严格增的，就证得再由对数函数是严格增的，就证得 3 (). a b c abc abca b c . 11 qp b q a p ab ( )ln . ( )0,( )f xxfxf x 设因故是设因故是0 x 上上 1111 ()() pqpq fabf af b pqpq .lnln 1 ln 1 abb q a p qp 11 . pq abab pq 即即 的严格凹函数，所以有的严格凹函数，所以有 11 0,0,0,0,1.abpq qp 设设求求证证例例 6 ( )Myf x 点为曲线的拐点.点为曲线的拐点. 图中所示的图中所示的M 是一个拐点是一个拐点. (0, 0)arctan; yx 例例如如点点是是曲曲线线的的一一个个拐拐点点 而而 cos, 0 , 2 yxk 余余弦弦曲曲线线的的所所有有拐拐点点为为 00 ( )(,()yf xM xf x 设曲线