工程力学第六章答案梁的变形

1、第五章梁的变形测试练习1. 判断改错题5-1-1 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角亦为零.（）5-1-2两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的 截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。（）5-1-3悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则A截面的 转角及挠度都不变。（）题5-1-3图5-1-4图示均质等直杆（总重量为W,放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用， 使AC部分被提起，CB部分仍与刚性平面贴合，则在截面C上剪力和弯矩均为零。（）/ / / f/ / / f / /C B题5- 1-4图5-1

2、-5挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。（）5-1-6等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（） 5-1-7两简支梁的抗刚度曰及跨长2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等 而转角是相等的。（）5-1-8简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一 个集中力偶M作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。（）2qBU Hc- BM丄qaaq(x *|C题5-2-11图题5-1-7图2 2 题5-1-8图5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时， 梁同一截面的应力及变形均相同

3、。 （） 5-1-10图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积 分常量。 （）q2. 填空题M (x)5-2-1挠曲线近似微分方程y (x)丿的近似性表现在和 。Pi5-2-2已知图示二梁的抗弯度曰相同，若使二者自由端的挠度相等，则二P22a5-2-3应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。5-2-4在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。5-2-5用积分法求图示的外伸梁(BD为拉杆)的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边 界条件是，连续条件是 。5-2-6用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，连续条件是。5-2-7图示结构为次超静

4、定梁。5-2-5图Df-EABo rxC题5-2-6图x题5-2-7图5-2-8纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为，其变形曲线为曲线。5-2-9两根日值相同、跨度之比为1： 2的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它 们的挠度之比为。5-2-10当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的_ 次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的_次方程。5-2-11图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，则AB段挠曲线方程是x 的次方程；BC段挠曲线方程是x的次方程。FTTTF5-2-12 减小梁变形的王要途径有:Px5-2-13已知梁的

5、挠度曲线方程为y(x)(3l x)，则该梁的弯矩方程为。6EI5-2-14 梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是,挠度和截面剪力Q的关系是5-2-15为使图示AB段的挠曲线为一直线，则x= 。5-2-16 要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端l/3处，则MM 。5-2-17图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度Yb,则C截面的挠度Yc=_ d截面的转角e d=。X3. 选择题5-3-1简支梁长为I，跨度中点作用有集中力P,则梁的最大挠度f=()(曰=常量)PI3B.UD.PI48EI48EI384EI3EI5-3-2悬臂梁长为I ,梁上作用有均布荷载q,则自由端截面的挠度为。A.

6、虫6EI3B旦6EI38EID.qi8EI5-3-3两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，则两梁的A. 弯矩相同，挠曲线形状不相同B. 弯矩相同，挠曲线形状相同C. 弯矩不相同，挠曲线形状不相同D. 弯矩不相同，挠曲线形状相同5-3-4图示(a)、(b)两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图(a)梁的外力偶矩作用在C 截面，图(b)梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧，则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是()。A. 内力相同，变形不相同B. 内力及变形均相同C. 内力及变形均不相同M=PD. 内力不相同，变形相同5-3-5当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0,0 a

7、=0; x=0, yA=0外，另两个条件是()。A. (yc)左=(yc)右，(0 c)左=(0 c)右B. (yc)左=(yc)右,yB=OC. yc=O, yB=OD. yB=O,0 c=O5-3-6 图示简支梁在分布荷载q ( x) =f ( x)作用下，梁的挠度曲线方程为EIy(x)M (x)dxdx CxD,，其中，积分常量O, DO, D题5-3-5图B. C O, DD C O, Dy题5- 3-6图5-3-7挠曲线方程中的积分常梁主要反映了A. 对近似微分方程误差的修正B. 剪力对变形的影响C. 约束条件对变形的影响D. 梁的轴向位移对变形的影响5-3-8图示悬臂梁在B、C两截

8、面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反, 使梁产生弯曲变形。B截面的变形为()。a. y O,Ob.y O,OJM BZcC. y O,OD= y O,OiI题5-3-8图5-3-9图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f发生在()。A.集中力作用处Bo跨中截面C.转角为零处Db转角最大处5-3-1O两简支梁日及I均相同，作用荷载如图所示。跨中截面C分别产生挠度yC和转角 0 c,则两梁C点的挠度及两梁C点的转角有()。A. 0 C相等，yc不相等Bo 0 C不相等，yc相等C. 0 c和都不相等Db 0 c和yc都相等题5-3-1O图4. 计算题5-4-1试画出图示各梁挠曲线的大致

9、形状。M0 二1/(a)233c) 3(b)PlP(d)题5-4-1图I2 2(f)5-4-2 一简支梁承受图示分布荷载q=Kx2（K为已知），试求此梁的挠曲线方程（设日=常量）。EM(x)Ely23qx121612C1x1D1(0X1D2皿x2161224(x2C 2 X?(2 x2 l)5-4-3已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为试求方程中的积分常量。5-4-4试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。（日=常量）y题5-4-2图A1JACyI/ 1 l/22题5- 4-3图qU2 2 题5-4-4图5-4-5外伸梁受图示荷载作用，试求C截面的挠度和A截面的转角。（日=常量。）5-4-6矩形截

10、面梁AB的抗弯刚度为曰，受力如图示。试问B端支座向上抬高为多少时,梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同）5-4-7图示弯曲的钢板梁AB,截面为矩形，宽度为b,高度为h,钢板放在刚硬地面上时 原有曲率半径为p ,在两端受力P作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面C-C上。 已知刚梁E （弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。5-4-8长度为I、抗弯刚度为曰的悬臂梁AB,受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为r 的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触(假设C点 与梁左端A的距离为x)时，B点的挠度。5-4-9单位长度

11、重量为q、抗弯刚度为曰的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的 一端伸出水平面一小段CD,如图所示。若伸出长度为a,试求刚条翘起而不与水平面接触的 CD段的长度b。5-4-10超静定梁如图所示，AB段内作用有均布荷载q，当C支座向下沉陷ql496EI时,试求梁的反力。q题5-4-8图题5-4-9图B C_2题5-4- 10图5-4-11矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为l ,在沿其截面高度h承受非均匀加热，设梁顶 部温度改变为t1,底部温度改变为t 2,且t2t1。温度沿截面高度呈线形改变。材料的线膨 胀系数为a,弹性模量为E由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩 M时，能使梁展

12、直。问应施加多大的外力偶矩？题5-4-11图5-4-12悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连,受力如图所示,若AB梁和CD梁的抗弯 刚度日相等，试求在下列两种情况下C点的挠度(1)当BC杆为刚性杆,即EA= 8时；tJLL2LL2l/2EIl /2(2)当BC杆长为丄，EI2耳时。l2题 5-4-12图5-4-13 AB与BC两梁铰接于B如图所示。已知两梁的抗弯度相等，P=40kNm，试求B 点的约束力。5-4-14悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间 的间隙（垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于，试求各梁的支座 反力。5-4-15具

13、有初始挠度的AB梁如图所示，梁的日和I均为已知。当梁上作用有三角形分布 荷载时（qo已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。qPTnrriiiiB 1CL4m2m_1纽|r题 5- 4-13图题5-4-15图5-4-16试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。曰=常量5-4-17两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M ,如图所示。欲使在固定端A的反 力偶矩MA为零，则力偶矩M应作用在梁上何位置？（即x =?）I /2ABx题5-4-17图题题5-4-16图5-4-1 4图 题1.判断改错题 5-45-1-1 X o挠度和转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬臂梁自 由端作

14、用有集中力解P时，自由端的M=0,但挠度和转角都是最大值。5-1-25-1-35-1-45-1-5测试练习解答5-1-6X。凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。Vo外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。 在c截面上弯矩为零而剪力不为力零。可以用于变截面梁，只是分母中的Iz不同。8根据丄 y （x） M （x）,可知曲率最大值应在M最大的截面处（日=常量EI时）。5-1-7 V。若将2q分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的q作用下C 点有挠度，转角等于零。5-1-8 X o在C截面加上一力偶矩后C截面的挠度不变，而转角改变。5-1-9 X o应力不同，变形相

15、同。因为变形只与Iz有关，而T形截面无论是丄还是，其惯性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与ymx (上下边缘到中性轴的距离)有关, 这种方法的最大拉应力比丄这种方法的最大拉应力要大。5-1-10 X弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。2.填空题5-2-1忽略剪力Q的影响；1 (y)15-2-2 8。因叵沖，所以旦尊3EI a3F2a35-2-3小变形及材料为线弹性5-2-4 y (x)(x)5-2-5x 0, yA 0x l,yBl BD5-2-6y 0, yB0;(1 ) A( 2 ) A,(%)Ay2 ) A5-2-7二次5-2-8 M ;圆弧线El445-

16、2-9 1: 16。因 5q(l) /5q(2l)1/16384 El 384 EI5-2-10 4; 3; 25-2-11 4; 15-2-12合理安排受力，减小M ;减小I ;加大EI5-2-13 M (x) P(l x)Q(x)EIB 5-3-5 BM (x)5-2-14y(x) 計 y (x)5-2- 15 l -a5-2- 161/215-2-17 yc - yB /2a23.选择题 5-3- 1 A 5-3-2 C 5- 3-3 A 5-3-4 5-3-6 D 5-3-7 C 5- 3-8 D 5-3-9 C 5-3- 10 B4计算题5-4-2梁的挠曲线方程为(1)求分布荷载的合

17、力t0q(x)dxKl(2)求反力：RA 4KI3i2,Ri33P KIB44(3)列 M (x)Ra XKx33X4(4)代入yM (x)EI中并积分，由边界条件确定C所以y(x)Kx360EIp(5I3x2x5 4I5)5-4-3（1）边界条件：Xi0,y1i0,解出Ci0Xi0, yi0,，解出Di0（2）连续光滑条件：Xi1X2,21(yi)c1(y 2)C ,解出C20Xi1X2,2(yJc)C ,，解出D205-4-4（i）只有q作用时，（B) q1 3| 4qi 、 qi 6EIq 8EI（2）只有F=ql作用时：(B)Fc) Fp(2)22EI ,(yB)P(yc) P(C )

18、PI 3I P(? p(2)2123EI2EI 2P（3）然后两者叠加:KI5,D 090求合力作用点到点的距离:0q(x)dx x3i4B ( B)q (7ql324EIyB ( B)q ( B)P11ql448EI5-4-5( 1)只有 M01 2-ql作用时，(a)m0Ml3EI),y C M 0( B)M0 ()(2)只有q作用时,A) q(討2) l6EI(.)(3)叠加:yc5-4-6(1)(2)由 A(yc)q(A)M0(yC)M0(jql2) l3EI|_2l 4q(-)启()(A)q(yc)q7ql348EI ,5ql4384 EI将B约束解除，用反力Rb代替。C两截面的弯拒

19、绝对值相等可列方程丄RBI21 PPRBl，解出 RB()2 32P在P和rb 3作用下，求B点的挠度。空3EIPl3144EI22EI 2 3EIRbI3(负号表示向上)5-4-7(1)这是一个求变形和应力的综合题。求压力P:依题意，当两端加上力P后使其平直且在C-C面上产生均布压力q,因此2P可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P, GC面上的均布压力ql4(2)简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于3,旦，解出P E(-)3384 EI5 l(3)1 2M max 8 ql , maxM maxWz24 Eh5l25-4-8qo时,1 1梁A端的弯矩为 一q0|2，A端曲率一1，即

20、有rM(x)EI如2EI2EI当q=0时，AB梁上没有外力，梁轴线平直，A端曲率为零。当荷载q由0增加，到当q qo时，梁上某一段AC与刚性面接触，C点端曲率为丄1(x) rEl解得2EI(2)X 1. qrB点的挠度包括三部分，即y b (yB) i (yB)2(yB )3(yB) i为C点的挠度(yB)12x2r2EI )2(l2r qr2EI1(2EI5)2为C点的转角引起B点的挠度(yB)2丄(1 竺r、(yB)3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度(yB)3 8EL(1 x)4 器1 EI 以上三种挠度叠加，即为点B的挠度yB (1 2 )2r qr5-4-9由于AB段平直，所以B

21、点的弯矩、转角及挠度均等于零。B点和C点与刚性平面接触，简化为铰支座，则BCD端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q(自重)但要满足B 0的条件，如图(a)所示。求B b时，可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点平移得一集中力qa和一力偶矩M0,如图(b)所示。根据B =0的条件求解b,即B ( B )q ( B)Mqb32EI6EI解出b 、2aB_IP DBqa/25-4-10这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将C约束解除，用约束力RC代替，成为基本结构。变形协调条件是yCql496EI（向上）。在q和R共同作用下求出yCql448EI3Rcl324EI，并将其代入变

22、形协调方程，解出Rc1q|（），然后根据平衡方程求出甩、吊即12Ra11矿1( )，Rb討|( )，5-4-11梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t2t1,所以轴线以上伸长少，而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为（ b） t O在 梁的自由端上作用力偶矩M后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M作用下B点的挠度为（b）m0 o由（ b） t= （ b）m0 ,变形条件可以解出M值。其中(B )t2a(t2 tjl2h(B)MMl2代入变形条件中解得M。5-4-12(1)当杆 BC 的 EA=时，杆不变形，将BC杆切短，用Fk代替其约束，取基本结构。变形协调条件为yB=yc（ J）,解出rbc5P莎则yCyBRbcI35P|33EI 96 EI(2)当 EAEA时，杆BC有伸长变形，同样将BC杆切段，用代替，取基本结构。这时的变调条件为 ycyBIbc , IbcRb冷EA2EIRbc 16yc25PI3336 EI5-4-13这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题 简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B铰处切断，用约束力FB代替，取出 基本结构，