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刚性
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刚性转子的动平衡分析与计算设计说明书,刚性,转子,动平衡,分析,计算,设计,说明书
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两平面刚性转子的自动平衡装置摘要 我们提出一个分析两个平面为刚性转子自动平衡装置。,用于消除由于偏心引起的失衡。旋转框架是用来获得自治运动方程和该系统的对称性破缺分支，平面稳定图各参数显示共存一个稳定的平衡状态与其他理想的动力。1.介绍 在旋转机械振动的主要原因不平衡,这发生在主轴的时刻惯性不是与旋转轴重合。在刚性转子的情况下通常涉及平衡过程添加或减去校正质量在两个不同的平面使主轴重新结合。然而,影响热变形和材料侵蚀等导致转子的质量分布变化,在这种情况下平衡过程可能需要重复。这种限制激励平衡的研究设备,质量重新分配等消除任何不平衡。这样一个设备是自动球均衡器(ABB)由一系列免费周游比赛球这充满了粘性流体。ABB的第一项研究于1932年由Thearle1,和的存在一个稳定的稳态旋转速度高于第一重要频率是证明。最近,方程运动的平面转子ABB已经派生利用拉格朗日方法2 - 4。特别使用旋转坐标获取一个自治的系统。 控制方程。完全非线性的稳定边界系统然后使用数值延续计算技术。1977年,Hedaya和夏普5扩展的自动平衡概念提出了两个平面设备,可以补偿两轴偏心轴偏差,参见图1。然而,基于ABB模型Jeffcott转子无法解释相关的现象轴偏差,因为它们不包含任何倾斜运动。这些出平面运动的研究被认为是钟和张成泽6,曹国伟等。7和斯珀林。8,但是只提供了线性稳定性分析。在这里,我们扩展平面分析4,这样我们可能倾斜运动模型ABB和分析两个平面的自动均衡器刚性转子。本文的其余部分组织如下。在第二节我们使用旋转坐标获得自治方程ABB的运动系统的稳定状态认为在第三节,我们关注的是使用数值分歧理论研究物理的作用参数对稳定的平衡状态。第四节我们补充分歧的结果分析通过提供动力学的数值模拟,和调查初始条件的影响。最后,在第五节我们得出结论和讨论可能的方向为未来的工作。1. 运动方程的推导 在本节中,我们获得一个自治的管理体系方程的自动均衡器通过描述这个位置转子的旋转坐标和中心应用拉格朗日方法(3、4、6)。背景rotordynamics理论看到例如9。2.1机械安装 机械设备,我们希望模型所示图1,是基于刚性转子安装两个平面自动均衡器(5、8)。转子质量为M,惯性矩张量J,安装在两个兼容线性轴承位于S1和S2。自动均衡器由一对设置正常的比赛轴在两个不同的平面。每个种族都包含两个平衡球的质量m,通过粘性流体和自由移动,在一个固定的距离R轴轴。的第i个球是由轴向指定的位置和角度位移子和我写的Cz转子轴。2.2。协调框架 为了描述转子的位置和方向,它有助于考虑以下的参考帧,图2所示。我们从一个惯性空间框架OXYZ开始沿着undeflected起源在O和z轴的轴承中心线。关于z轴的旋转的旋转角度旋转框架OxyZ结果。这种转换可以写成x = R1X,在x,x是列向量的坐标00旋转和惯性框架,分别R1= cos sin 0 R1= sin cos 0 0 0 1转子的扭转行为的范围之外，目前的研究,所以我们只考虑特殊情况恒速运行,= t。转子的横向运动可以通过引入进行描述框架Cxyz起源在几何轴中心C,平行轴的旋转框架OxyZ。我们忽视了任何运动轴的方向,因此,位置矢量几何中心rC在于x - y平面。转子也可能执行一个可以被描述为平面外倾斜运动:首先我们定义一个中间轴Cxyz ，Cxyz的旋转一个角度y y轴,我们旋转Cxyz关于x的角x,导致一体框架固定对转子的公务舱。这些转换可以组合= R3R2x,和x身体的和主要的轴的坐标，分别 cosy 0 sin y R2 = 0 1 0 siny 0 cosy 1 0 0R3 = 0 cosx sin x 0 sinx cosx.我们现在能够在体坐标之间转换空间参考系,然而,如图3所示,小转子的质量分布中的错误会导致体轴Cz轴的不同转动惯量。偏心引起的静态不平衡,定义为轴之间的距离C和转子的中心质量中心G也相对应的对称轴p3到极惯性矩轴可能偏差轴的角,这导致失衡。对称的转子使我们采取的偏差是关于轴没有减弱的普遍性模型。该旋转矩阵表达是如此 cos 0 sin R4 = 0 1 0 sin 0 cos 我们还包括角度表示之间的阶段这对静态和失衡。在继续之前的推导拉格朗日,它是值得注意的是,我们选择旋转,这样的顺序关于空间z轴的旋转被反对身体z轴。在标准制定为一个线性四个学位自由的转子,两种方法导致等效方程运动9。然而,对于我们的情况我们必须包括几何非线性平衡球,我们发现时,自治方程只能派生关于空间z轴10。2.3拉格朗日公式 系统的非线性运动方程从拉格朗日方程 d/dt（T/qk-V/qk）- （T/qk-V/qk）+F/qk= 0,在T和V是动能和潜在的能量,分别F是瑞利的耗散函数和qk是广义坐标。在我们的例子中普遍的坐标给出了通过问q = (x, y,x ,y , 1, 2, 3, 4),所以运动是由一个共有八个独立的运动方程。我们在把动能进行派生出来的能源、势能和瑞利的耗散功能. 2.3.1动能 任何刚体的动能可以分解的总和质心的平动能和身体的旋转能量对其质量中心。通过把球点,系统的动能被写为:在rG和央行转子的质量中心的速度吗和第i个球分别的角速度转子。通过使用转换的逆中定义(1) ,我们可以编写质量中心的位置向量,旋转框架作为:旋转坐标x和y已被选定来描述横向运动,因为他们的使用使一个自治配方的旋转角t不显式输入控制方程。第i个球的位置向量同样可以给出的。与偏心率、半径不能认为是一个小量。因此,我们必须采取有关球位置时任何小角度x和y的假设。因此,我们宁愿使用的完整表达式计算动能后的位移,只作任何近似运动方程导出。 当计算平动动能,它也必要的表达速度,因为他们被一个观察者在空间轴框架。因为我们写了这个职位向量对旋转坐标,我们必须使用下面的运营商关系衍生品帧的变化:这里的下标s,r表示,衍生品一个观察者的空间和旋转框架,分别和的角速度旋转框架对一个观察者固定在空间。因此,速度质量中心的空间框架给出的球的速度计算以同样的方式,这样：接下来,我们转向转动能量的表达式,它是最容易使用的主要轴Gp1p2p3派生图3。在这个框架中,惯性张量,需要的对角形式在Jt和Jp横向和极地的时刻分别惯性。由角速度以下三个角速度向量:执导z轴,沿着y y这是导演轴和x是沿着x轴。2.2节的旋转矩阵现在被用来将这些向量,这样写对轴,我们获得的角速度向量因此,转动能现在可以很容易地计算：最后用方程式。(4)-(6)为情商。(3)完成推导系统的动能。2.3.2 势能和阻尼 势能V,来自的弹性挠曲轴承在S1和S2的支持,如图1所示。的这些支持的坐标rotor-fixed框架T(0,0,l1)和T(0,0,l2),我们假设每个轴承是线性和各向同性刚度k1、k2和阻尼c1,c2分别。通过坐标转换为空间框架,每个支持的偏转dSi可能写成因此,潜在的能源可以计算：通常假设振动坐标(x,y)一起不平衡错误和小和O(),小数量。如果我们忽视的O(2)运动然后顺序O(3的所有条款),进入不会导致系统拉格朗日方程和可以忽略。现在常规的计算给出了更多熟悉的公式：接下来我们向耗散效应,而产生的阻尼的支持,再加上粘性阻力球cb,因为他们在比赛中通过流体。这些术语是最容易计算通过使用瑞利耗散函数经过一些操作我们可以写出：完全生成几何非线性运动方程用(3),(7)和(8)到拉格朗日方程。显示他们之前,我们首先应当继续。2.3.3 我们考虑下面的无量纲状态变量:和无因次时间这里1是圆柱形的临界频率旋转,是此外,我们引入无量纲参数：运动方程对这些无因次量计算与计算机代数的援助系统,给出如下订单O(2)被忽略了,我们开始转子运动的方程,这是：x大众、陀螺、阻尼和刚度矩阵,分别和x = x(x,y,y,x）是转子的向量的自由度。我们使用x ，x这样的相反(9)假设更规律。最后,纽约和nx术语是由加上(9)平衡的运动方程球的我们注意到在(9)通过m = 0,我们恢复方程运动的四自由度转子旋转帧9。同样,通过设置倾斜角度x= Y0,该系统减少了平面的运动方程自动平衡器4。还有一点值得注意,有些不对称在纽约和nx条款与O()对应的时刻平衡球。这些是由于固有的不对称欧拉角公式的性质。与参考图2,我们回想一下,x是一个旋转的体y轴时,不是体轴,而是一个中间y轴。与标准rotordynamic假设小的倾斜角度和小怪癖这些不对称要在线性化的过程。然而,在这里,竞赛的杠杆臂不能被忽视,额外的条款包括这些不对称存在11。3. 稳态分叉分析在本节中,我们考虑稳定状态的稳定性解决方案系统的方程式。(9)和(10)。为了简化分岔分析,我们将限制注意显示所有的对称子系统的主要功能自动平衡的过程。这种情况是很常见的实践发生在转子的质量中心位于中跨和支持都是相同的,所以K1=k2=k，c1=c2=c，l1=l2=l 从而导出k12=c12=0有了这个设置,横向和inclinational动作转子耦合,但只有通过平衡的运动球。此外,我们假设z1,2 =z3,4 = z,所以中跨的自动平衡平面等距。 本节的其余部分组织如下:在3.1节我们获得稳定状态的解决方案,并指出各种条件管理他们的存在,在3.2节我们使用延续包汽车12计算分叉图显示各参数稳定的边界平面。3.1稳定状态的解决方案 稳定状态的解决方案得到通过设置衍生品在运动方程(9)-(10)为零。此外,如果我们还设置了振动坐标(x,y,x,y)= 0,我们到达平衡的稳定状态的下列条件:这些都是精确平衡的条件离心力和作用于转子由于时刻不平衡,平衡球8。通过重写上面方程的平均和微分角位移在每个种族,我们发现 因为球被认为是相同的,我们可能没有损失的普遍性和Eq。(12)现在可以解决给下面的身体独特的平衡状态: 这个解决方案存在的参数提供arccoses模数小于一,这确保了球有足够的质量来抵消系统的不平衡。在下面我们将(13)的平衡状态。 稳态配置一个转子的特殊情况与静态不平衡见图4。平衡状态显示在左边,但是还有其他转子的稳定状态的解决方案仍然失去平衡。在这些情况下我们认为球的方程(10),收益率 在x + ziy和yzix公认为是x和吗y歪斜比赛的中心。如果两个比赛(x + ziy,yzix)= 0,那么我们可能重写(14)解决方案: 每个种族都是一致的,因此球或内联种族中心和彼此相反。例如,在州C1所有球都具有相同的角度和这个配置结果激发的圆柱旋转。对于国家C2,球在每个种族再次重合,但现在有两个不同的角度位移。这样的安排会生成一个一些不平衡,会导致一种锥形旋转。内联国家将不会进一步讨论,因为他们被发现总是不稳定,从不参与分支平衡状态。 接下来我们考虑C3,(x + ziyzix)= 0是一个满意的两个种族,这样它的中心停留在undeflected固定位置。球在这个固定比赛现在不受制于Eq。(14),虽然球在反对种族再次重合或内联。作为一个例子,图4中所示的C3的安排底部显示一致的球在顶级比赛比赛球都是分裂。相应的状态的角色身体上相当于种族交换,因为对称保留这两个种族之间的静态不平衡。然而,这不会对一般的不平衡,3.2.2节中我们将讨论。最后,我们注意,如果(x + ziy,yzix)= 0,这两个种族,然后我们再一次导致了平衡状态,前面提过的。图6。双参数分岔图,在变化的参数:、(a),c、(b),和cb、(c),阴影区域对应于一个稳定的平衡状态,和霍普夫分支和H显示下标表示振荡的模式。参数固定时m = 0.025,= c = cb = 0.01,与其他文本中指定的值。3.2数值延拓本研究的其余部分,我们应当考虑转子惯性和刚度参数如下:这些值是基于一个坚实的圆柱形状的转子其半径高六倍。一个旋转的机器兼容的轴承几何通常经历两个平面平衡过程在服务。的近似圆柱形和圆锥形的固有频率模式发生,分别现在我们将为静态和调查结果动态不平衡情况。3.2.1静态不平衡 正如上面提到的,一个静态不平衡时主轴是流离失所,但平行于旋转轴有一个轴偏心0,但是没有轴偏差= 0。对于这个特殊的情况,我们能够恢复所有的扰动分支和稳定状态的解决方案被发现先前的研究平面自动均衡器(3、4)。然而,由于我们的模型包括额外的inclinational自由度,转子通过摆脱现在可以破坏平面运动,因此,稳定的国家一定会有较小的区域稳定。在图5中我们报告结果以下参数:所以：对于这个古怪的价值,平衡状态存在提的条件mc是球的临界值。我们还要注意适当的平衡飞机间隔,种族和支持低阻尼值,这比赛(3、4)。图5(一个)显示了双参数分岔的结果经无量纲参数变化分析和m,同时我们保持其他参数固定。阴影区域对应于一个稳定的平衡状态的存在,虽然在第四节,我们将讨论其他不可取的在这些地区稳定状态可能共存。大众的球,满足mmc平衡状态始终存在,但它不一定是稳定的。曲线明显Hcyl Hcon霍普夫分支和B,在振荡诱导分别由圆柱和圆锥模式。在一个平面分析只有Hcyl曲线的存在,因此,总是伴随着稳定性的变化。这里包含inclinational自由度的稳定性B是主要由Hcon曲线,在这锥形类型振荡,要么是创建或销毁。对于大型的值,B稳定在一个平衡状态霍普夫分叉Hcon和还有一个二级区稳定,足够大的值,以旋转的速度略高于自然频率2。我们也关注之间的相似之处两霍普夫曲线的形状Hcyl Hcon,表明在某种意义上,有二元性横向和inclinational动力学之间的自动均衡器。无花果的单参数分岔图。5(b)和(c)显示的结果通过mc为= 1.5米,增加是一个价值之间的转速,在于自然吗转子的频率。角位移1用作图5中的解决措施(b),我们看到一个不稳定的平衡状态B是出生在m = mc音叉分岔C1涉及不稳定的状态。注意,这两个平衡状态的副本B来自交换球位置,例如12。在图5中(c)我们情节一样分岔图所示面板(b),而是我们使用欧几里得范数L2。这里只有一个副本的每一个身体生成独特的国家,我们可以看到,平衡国家B实际上是产生退化音叉分岔涉及C1和C3。接下来,我们考虑超临界政权的情况 2。图5(d)是一个扩大我们的地区兴趣和面板(e)显示了一个参数扫描我们增加通过mc,固定转速的= 3。我们又一次发现平衡状态B是出生在一个退化的威胁分歧涉及州C1和C3,但相比之下亚临界转速的情况,同步状态C1和分叉B现在都稳定的平衡状态。还要注意,通过平衡状态变化稳定一系列的三个进一步霍普夫分支,在协议的垂直切片通过面板(d)= 3。现在让我们考虑一些稳定图类似图5(一个),我们其他无量纲参数不同我们把m= 0.025,条件(18)所需的平衡满意,值其他参数固定时,再由(15)和(17)。在图6中,我们显示一些两个参数稳定性图表变化的怪癖,支持阻尼c,种族阻尼cb,随着转速增加。在这里,我们又能够恢复Hcyl曲线存在在平面分析,但随着Hcon分支之前更多的影响稳定的平衡状态。我们也介绍一些相同的特性中图5,即稳定的平衡状态足够高的转速Hcon霍普夫分岔,小二次旋转速度略高于稳定区域2,特别是在面板(c)之间的相似性Hcyl和Hcon曲线的形状。图7显示了偏心,密谋反对,而我们也改变球质量m = 4 mc =。因此,对于任何给定值的怪癖,这质量是球四次平衡所需的最小数量系统。用对数刻度为纵轴,这样可以考虑广泛的怪癖。在这里,主要感兴趣的领域发生的小怪癖和超临界旋转速度,那里是一个大型连接稳定的地区。我们还注意到Hcon曲线,这个地区范围内,渐进线向=2，0,这样不稳定在亚临界区域政权。最后,在一般的动态不平衡,我们将简要讨论一些不平衡的情况下,这有一个轴偏差 0但没有轴偏心 =0。这种情况下的稳定状态在图8示意图。静态的唯一区别图4的不平衡稳定状态是在这里种族底部已经通过一个弧度角旋转。再一次,两个种族之间的对称由这种类型的保存不平衡,平衡状态总是出生在退化pitchfork C1分歧涉及同步状态和C3。此外,如果偏差参数,是适当的选择,这样我们又有mc = 0.0025,结果图5所示(一个)静态不平衡可以恢复。因此,有一个自动的属性之间的等价性均衡器为纯粹的偏心和纯粹的失调,和我们不能提供任何显式的分叉图这对不平衡情况。3.2.2动态不平衡会出现一个动态不平衡既是轴偏心0,轴偏差0。一个阶段的角度还必须包括描述的区别两个方向的失衡。中给出的参数集(15)和(17)再一次,除了我们改变不平衡特征：球的临界质量现在给出：这是一个类似的价值,在静态不平衡情况下的前面的部分。在图9中(a)我们提供一个双参数分岔图球质量m的变化和旋转速度。定性图类似于静态的情况下图5(一个),在平衡状态也在霍普夫企稳定Hcon,足够高的在超临界转速政权。然而,现在二级稳定地区几乎消失了,我们看到大幅向上攀升低Hcyl曲线之间的混合显示圆柱和圆锥模式。在面板(b)我们垂直扫描通过图9(a)控股转速固定在= 3,同时增加球质量m mc。在这个图我们使用规范定义的这一措施对应的平均振动水平轴上的点,一个单位长度转子中心。我们看到退化音叉岔这是目前的静态不平衡情况下已经分裂吗成三个独立的非干草叉。一个通用的动态不平衡这正在发生,因为对称这两个种族之间被打破了。因此,不平衡稳定状态C3分离成两个截然不同的用例。配置同步球顶比赛被称为Ct3,而相应的状态球同步是Cb3底部竞赛。我们发现对称和产生的退化分叉只是保存当有一对纯静态或不平衡或者阶段是这样的,因为cos= 0。在所有这些情况下,没有组件轴偏心的在于themisalignment的方向。因此从(13)我们可以看到1234和所以平衡状态B是出生在一个状态球的地方比赛都是一致的。比赛都是一致的。最后在图10我们提供双参数分岔分析我们不同阻尼c和(a)的支持,和比赛再次阻尼cb和(b)。我们选择m = 0.025这样条件(19)存在的平衡状态满意。相比之下,图6我们注意到在这两种情况下二级稳定的地区被丢失。也稳定地区高转速和高阻尼c的支持极大地降低了。4. 数值模拟我们构建的分叉分析前一节通过提供一些说明的重要动力学的结果ABB。在这里,我们使用Matlab程序数值执行的直接数值积分方程运动(9)-(10),在第二节中。检查,我们注意我们的模拟同意这些适当的(3、4)选择的参数和初始条件。图11显示了不同的系统参数的影响3.2.1节中讨论的静态不平衡情况。在参数空间的突出显示在无花果。5和7。我们绘制振动测量A反对无因次时间t,这里的黑色曲线代表了运动ABB的转子和灰色曲线的运动转子没有ABB。所有四个块的初始条件是相同的,并给出:因此,转子undeflected立场,开始休息球最初是固定的(对旋转框架)和放置彼此,这样两侧他们不增加转子的不平衡。面板(一个)显示模拟(,m)=(2、0.01、0.025),与参考图5点(i),位于二级地区的稳定平衡操作,旋转速度略高于自然频率2。我们注意到,尽管自动平衡状态最终实现,瞬变产生略高吗的初始振动水平。同样,如果我们扰乱初始条件轴略倾斜,我们发现转子很容易破坏一种周期性运动显著更糟的振动水平(没有显示,但定性相似(b)。这种效应可能被理解为,无花果的。9日,我们评论消失的地方二次稳定地区引入轴偏差。转子的初始倾斜导致的运动产生一个小的球不平衡,反过来影响ABB的操作。现在我们转向初始条件的影响ABB的操作。这是发现有小敏感,典型的初始值的变化振动坐标(x,y,x,y)或他们的速度(xyx y)的初始值我球位置能产生戏剧性的影响系统的结果。我们3.2.2在考虑动态不平衡的情况,部分(,)=
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