空间向量的运算B版教材可选

1、第49讲空间向量的运算（B）7 / 7C（第课时）神经网络准确记忆!空间向量的概念及表示空间向量的运算基本定理空间向量及运算重点难点好好把握!空间向量的性质空间向量的夹角公式重点：1.空间向量的概念和表示；2.空间向量的运算；3 .空间向量的性质。难点：空间向量性质的灵活运用。考纲要求注意紧扣！1理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；2 了解空间向量的基本定理, 理解空间向量坐标的概念； 掌握空间向量的数量积的定义和性质；3.掌握空间向量的坐标运算。命题预测仅供参考！应用向量求线段长、异面直线夹角和证明异面直线垂直。点热丿| 定掌握！1空间向量的概念及其表示定义：在空间中具有大小

2、和方向的量叫作向量，零向量是方向任意、大小为零的向量。两个 向量相等的充要条件是它们的方向相同且大小相等。表示：可以用有向线段或是坐标来表示，前者使向量与几何图形发生联系，后者使向量与实数发生联系。用向量知识解立体几何题，大多数情形下，比用几何法简便。这是因为几何问题代数化后， 解题思路方向明确， 不必为寻找解题途径而煞费苦心。特别是对求空间角、 空间距离以及线线垂直方面的问题尤其简单。2. 空间向量的运算空间向量可以进行加法、减法和数乘和数量积等运算，其运算性质与平面向量基本相同，只是在数量积运算中不满足结合律的下述形式b）。空间向量可以进行代数运算、几何运算和坐标运算， 代数运算与实数运算

3、基本相同，几何运算赋予向量运算各自的几何意义和物理意义，坐标运算使向量运算转化为数量运算。 向量加法满足交换率、结合律和数乘的分配率。向量减法可以转换成向量加法进行，即a - b = a +(- b)。例.已知平行六面体ABCD ABCD,化简下列向量表达式 并标出化简结果的向量：AB BC; AB AD AA*；1 AB AD CC;21 F F F (AB AD AA)。解： AB BC = AC ; AB AD AA =AC AA =AC CC =AC; 1一 设G是线段AC靠近点A的三等分点，则11 -(AB AD AA)=AC=AG33 设M是线段CC的中点，贝U AB - AD C

4、C二AC CM AM 23. 共线向量定理及其用共线向量定理：对于空间任意两个向量a、b(bM0,a / b的充要条件是存在实数，使a =丿” b。由该定理易知，当时，若a / b , b / c ,则必有a / c 。该定理可用来证明三点共线或线线平行。例.若空间三点 A (1 ,5, 2)、B (2, 4, 1)、C (p, 3, q + 2)共线，则 p =, q分析： A、B、C三点共线，则AB二 AC ,=Z.(p -1)即(1， 1, 3)=入(p 1, 2, q + 4) ,.一1=2九,3(q +4)1 把代入得 P =3 , q =2 。24. 空间向量基本定理及其应用 空间

5、向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组 x、y、z，使 p=x a+ y b+ z c 。由上述定理可知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p|p =xa+ yb+ zc, x, y, z R.这个集合可看作是由向量 a、b、c生成的，所以我们把a, b, c叫做 空间的一个 基底，a、b、c都叫做基向量由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构 成空间的一个基底。推论：0、A、B、C是空间不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的有序实数组 x、y、z，使 Op=xOA+y OB + z OC，特别地，若 x

6、+y + z=i ,则必有 P、A、 B、C四点共面。r甲故丿OP-xOA+yOB+zOC可以看成是平面ABC的一个向量参数方程，其中x、y、z x +y +z =1为参数。例.已知E、F、G、H分别是空间四边形 ABCD的边AB、BC、CD、DA旳 屮山，用向量 法证明E、F、G、H四点共面。一 一 一 1 _证明：连结 BG,贝U EG 二 EB BG 二 EB (BC BD)二 EB BF EH EF EH2由空间向量基本定理的推论知：E、F、G、H四点共面，(其中丄BD = EH )。25空间向量的夹角及其数量积空间两向量的夹角定义：已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O，作OA

7、=a , OB = b，则一 AOB叫 做向量a和b的夹角，记作，且规定 0 _说明：零向量与其它向量之间不定义夹角，当两个非零向量同向共线时夹角为0，反向共线时夹角为二。空间两向量的数量积定义：已知空间两个向量 a、b ,则| a| | b| cos叫做向量a、b的数量积，记作a ?b ，即 a b=| a| | b| cos 。说明：两向量的数量积是一个实数，它等于两向量的模与其夹角余弦之积，此定义对于a、b是零向量以及共线向量的情况仍然成立。由此可知，零向量与任何向量的数量积均为零。由上述定义不难得出如下结论，对于两个非零向量a、b ,有： cos=abMila * b:2 f fa a

8、 *a a : a一a?b=0。向量的数量积适用如下运算律:交换律：a?b = b?a ;结合律:( a)? b = (a?b );分配律：a?(b+ c) = a ?b+ a?c 。例.已知空间三点A (1 , 1, 1)、B (- 1 , 0 , 4)、C (2, - 2, 3),则 aB 与 cA的夹角0的大小是分析：AB = ( 2, 1 , 3) , CA = ( 1 , 3 , 2),cos 二(-2)(-1)(-1) 3 3 (-2)胡4汇(1414 0 =120 。例.如图，在棱长为a的正四面体 A - BCD中，取AB中点M , CD 中点N，连接MN，求证：MN为AB、CD

9、的公垂线。HD证明：设 AB =p , AC =q , AD =r，且p、q、r三向量两两夹角均为 60 , | p|=| q|=| r |= a ,111 MN = AN -AM (AC AD) AB (p + q - r ), 22211 2 二 MN *AB(p + q - r ) p (q p + r p - p )2 21 222(a cos60 a cos60 -a ) =02 MN _ AB ，同理可证 MN _ CD , MN为AB、CD的公垂线。6.向量的直角坐标运算设 a =(引 a? , a?)，b =( 62*3)，A (%，力，) , B (x?，y?，z?)， 则

10、a+b = ( a1 b1 , a2 b2, a3 b3)，a-b = ( a1 _ d , a2 _ b2, a3 - b3)，a ?b = a1b1 a2b2 a3b3 若a、b为两非零向量，贝Ua_b=a?b =0 二a1b1a2b2- a3b3=0 ,若 b 工0，贝U a/ b：= a=，b：= !=玉=竺二，(b0 , i=1,2,3 )。b1 b2b3 彳=応= Ja； +a； +a；, 幵=Jb b =Jb； +b；匚b；,Mirabcos=a *bM +a2b2 +a3b3_ aja；a孑bfb孑b孑AB = OB - OA =(X2 - X , y2 -，Z2 - z),A

11、B =(X2 X1)2+(y2 yj 2 + ( Z2 -乙)2(两点距离公式)。例.在空间直角坐标系中，已知点P (x, y, z),关于下列叙述 点P关于X轴对称点的坐标是 P1 (x, - y, z); 点P关于yOz平面对称点的坐标是 P2 (x , - y,- z); 点P关于y轴对称点的坐标是 P3 (x, - y, z)； 点P关于原点对称的点的坐标是 P4 ( x, y, z).其中正确的个数是()A. 3 ;B . 2 ;C. 1 ;D. 0。分析：P关于x轴对称点P1 (x, - y, - z) , P关于yOz平面对称点P? (- x, y, z),关于 y轴对称点P3

12、( x, y , z),所以错误，故应选 C。能力测试认真完成!参考答案仔细核对!11 / 7LJ 03 01-05空间向量的运算12345678空间向量的运算加法 减法 数乘数量积证明三点共线 证明线线平行 基本定理VV应用：证明四点共面VV共线向量定理及其用 空间向量基本定理及 其应用空间向量的夹角AB =(x2 X1 , y2 yi , z2 Z1)a+ ba- ba? ba_|_b =a ?b = 0a/ b = a=VV VVVV向量的直角坐标运算1. 已知 p=(x,y,z),q=(a,b,c),(xyzz 0,abc丰 0)，若有等式(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=(a

13、x+by+cz)2 成立，则p、q之间的关系是()A .平行B.垂直C.相交D .以上都可能答案：A。2. 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，设 AC1 =xAB 2yBC 3zCC1 ，贝U x+y+z 等于A. 1 ;B. - ;C.-;36116解：如图， AB+ BC= AC ，AC + CC1 = AC1 ,代入得 AC1 = AB + BC + CC1 ,又已知 AC1 =xAB 2yBC 3zCC 1 ,但有序实数组 x、2 y、3 z唯一，Xx =11 111 2y=1，二 x+y + z=1+_ + -=，故应选 D 。2 36Qz =1o()3. O、A、B、C

14、为空间四点，又OA、A. 0、A、B、C四点不共线；B.C . O、A、B、C四点中任三点不共线；OB、OC为空间的一个基底，贝UO、A、B、C四点共面，但不共线；D. O、A、B、C四点不共面。解：由基底意义可知， OA、 OB、OC不共面，但供选答案中的前三种都有可能使OA、OB、4.是OC共面，故应选D。已知 a=(cos a ,1,sin a ), b=(sin a ,1,cos a )，且 sina 丰 cos a，则向量 a+b 与 a-b 的夹角 ()B. 30C. 60D. 90解: a+ b = ( cosa+sin a ,2, cosa+sin a ), a-b = (co

15、sa-sina ,0, since - cosa ), / cos(cos：i 1 si n：i)(cos： - si n：i) 2 0 (cost 11 sin ：J(s in： -cos：J(cost sin :- )2 22 (cosh sin ： )2 (cos： - sin _：i)222(sin 匚-cos：)22 2 2 2cos a sin a +sin g -cos a.(cos很亠sin : )2 22 (cost sin ： )2 (cos： - sin ： )2 22 (sin=0 = (1 t,(2, t.90,故应选D。1 t , t), b =( 2 ,B.旦;5

16、t) ( 1 t , 1 t ,t , t),贝,b a I的最小值是3. 5C .5t ) = (1 +1 ,b a I = . (1 t)2 (2t_1)2 =，5t2 _2t 2 -2t 1 ,3.5511D .。50),故应选C 。6.已知向量a =( 1,1, 0),1 , 0 , 2),且ka+ b与2a b互相垂直，贝U (k值是)A. 1 ;B.解：ka+b = k (1,2a b= 2 (1, 1,1,0)1 ；50) + (1,3 ；D. Z。55,2) = ( k 1 , k, 2),/两向量垂直，1, 00 , 2)=( 3, 2, 2),3 ( k 1) + 2k 2 x 2 = 0 , k=，故应选 D。5C= (C1, C2, C3)共面且两两不共线, C3)共面。.如果三个向量 a = (a1 , a2 ,出),b= (6 , b2 , b3),求证向量 u= (a1 , b1 , C1), v= ( a2 , b? , w= (a3 , b3 ,c共面且两两不共线Y均不为零)【证明】T a、b、设 a=入 b + y c (