固体物理晶格振动chap3PPT优秀课件

1、一维双原子链的模型一维双原子链的模型一维复式格子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链一维无限长链 两种原子两种原子m和和M _( M m) _ 构成一维复式格子构成一维复式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同种原子间的距离同种原子间的距离2a_晶格常数晶格常数 系统有系统有N个原胞个原胞包含个自由度包含个自由度01/202121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 两种原子两种原子振动的振幅振动的振幅A和和B一般来说一般

2、来说是不同的是不同的 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n个个m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式22()2()2iaqiaqiaqiaqmAeeBAMBeeAB A、B有非零的解，系数行列式为零有非零的解，系数行列式为零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe0)2(cos20cos2)2(22BMaqAaqBAm2222cos02cos2maqaqMsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 一

3、维复式晶格中存在一维复式晶格中存在两种独立的格波两种独立的格波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 与与q之间存在着两之间存在着两种不同的色散关系种不同的色散关系 一维复式格子存在一维复式格子存在两种独立的格波两种独立的格波 光学波光学波 声学波声学波05/20两种格波的振幅两种格波的振幅0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(212222()411s

4、in ()mMmMaqmMmM 光学波光学波 声学波声学波相邻原胞之间位相差相邻原胞之间位相差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子振动方程原子振动方程1. q的取值的取值波矢波矢q的值的值aqa22采用周期性边界条件采用周期性边界条件nnNhaqN2)2(22qhaN2aq一维双原子链的布里渊区22qhaNNaq h为整数为整数每个波矢的线度每个波矢的线度允许的允许的q值的数目值的数目NNaa/ 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目a. 描写晶格振动的波矢描写晶格振动的波矢q只能取分立的值。只能取分立的值。 对应一个对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波有

5、两支格波：一支声学波和一支光学波b. 总的格波数目为总的格波数目为2N q的取值的取值重要结论n晶体中的格波的支数原胞内原子的自由度J一种色散关系，即q，对应一支格波n晶格振动的模式数晶体中原子的总自由度J一种振动模式对应一个（ ， q ）2. 色散关系的特点色散关系的特点 2.1 短波极限短波极限2qa 两种格波的频率两种格波的频率212121min212121max)2()()()()()2()()()()(mmMMmmMMmMMmmM因为因为 Mmmaxmin)()(出现出现“频率的禁带区频率的禁带区”maxmin)()(minmax()() 不存在格波不存在格波频率间隙频率间隙10/2

6、02.2 长波极限长波极限0qA 声学波声学波应用应用11/2xx 声学波的色散关系声学波的色散关系就是把一维链看作连续介质就是把一维链看作连续介质时的弹性波时的弹性波长声学波中相邻原子的振动长声学波中相邻原子的振动0, 0qaqmABcos22)(2 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 代表原胞质心的振动代表原胞质心的振动2()aqmMB光学波光学波 长波极限长波极限0qsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm1)(sin)(422aqMmmM2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 长光学波同种原子振动位相一致，相

7、邻原子振动相反长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动习题n对于NaCl晶体，已知其恢复力常数 1.510-1N/cm。试求NaCl晶体中格波光学支的最高频率和最低频率；声学支的最高频率。n对于NaCl晶体，其密度2.18g/cm3,正负离子的平衡距离a2.8110-10m，光学支格波的最高频率是3.6010-13rad/s 。试以一维双原子链模型计算：nNaCl的恢复力常数；n长声学波的波速；nNaCl的体积模量。nCl和Na的原子量分别为35.5和23.0。例题例题 一维复式格子中，如果一维

8、复式格子中，如果计算计算1) 光学波频率的最大值光学波频率的最大值 和最小值和最小值 ，声学波频率，声学波频率的最大值的最大值 ；2) 相应声子的能量相应声子的能量 , 和和 ；3) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？波长在什么波段？ 4) 在在 下，三种声子数目各为多少？下，三种声子数目各为多少？g1067. 1527km4mMmN /15OminAmaxOmaxKT300OEmaxOEminAEmax 1) 声学波的最大频率声学波的最大频率MA2maxsradA/10313max光学波的最大频率光学波的最大频率2

9、maxOMMmmM2 . 0光学波的最小频率光学波的最小频率15/204mMmN /15sradMO/107 . 62513maxsradmO/106213minOOEmaxmaxeVEO0442. 0maxOOEminmineVEO0396. 0minAAEmaxmaxeVEA0198. 0max2）相应声子的能量）相应声子的能量MA2max2maxOmO2mineVEO0442. 0maxm283）如果用电磁波激发光学波，要激发）如果用电磁波激发光学波，要激发 的声子所用的电磁的声子所用的电磁波波长在什么波段？波波长在什么波段？OmaxOmax对应电磁波的能量和波长对应电磁波的能量和波长

10、要激发的声子所用的电磁波波长在红外波段要激发的声子所用的电磁波波长在红外波段20/20sradO/107 . 613maxKT300)4光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目11)(/maxmaxmaxTkOOBOeneVTkB026. 0eVEO442. 0max-8maxmax1014. 4)(OOn11)(/minminminTkOOBOen-7minmin1042. 2)(OOneVEO396. 0min声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目11)(/maxmaxmaxTkAABAen-4maxmax1093. 4)(AAneVEA198. 0max3) 某一特定谐振子具有激发能某

11、一特定谐振子具有激发能的几率的几率)21( nnTknBnCeP/1/nTknnBnCePnTkTknBnBneeP/nTkBneC/1nTknTknnBBeeP/根据归一化条件根据归一化条件归一化常数归一化常数)1 (/TkTknnBBeePnnnP1()2nnnP/(1)2BBk Tnk Tnene1)1 (xxnnnTknTknnBBeeP/频率为频率为 谐振子的平均能量谐振子的平均能量2)1 (xxnxnn)2111(/TkBe)(21)(qqnii频率为频率为 谐振子的能量谐振子的能量11)(/TkiBieqn第第i个个q态的平均数声子态的平均数声子/Bk Txe/Bk TxeKT3

12、00光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目11)(/maxmaxmaxTkOOBOeneVTkB026. 0eVEO442. 0max-8maxmax1014. 4)(OOn11)(/minminminTkOOBOen-7minmin1042. 2)(OOneVEO396. 0min声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目11)(/maxmaxmaxTkAABAen-4maxmax1093. 4)(AAneVEA198. 0max三维晶格的振动n三维晶格振动的动力学方程组三维晶格振动的动力学方程组nq q取值与倒格子空间取值与倒格子空间n布里渊区布里渊区n例题例题三维复式格子三维复式格子各原

13、子偏离格点的位移各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目晶体的原胞数目321NNNN 原子的质量原子的质量nmmmm,321第第l个原胞的位置个原胞的位置332211)(alalallR原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置nlRlRlRlR,3,2,1nllll,3,2,1 一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子01/19三维晶格振动的动力学方程组三维晶格振动的动力学方程组 第第k个原子运动方程个原子运动方程 klklmk23, 2, 1 原子在三个方向上的位移分量原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解方程右边是原

14、子位移的线性齐次函数，其方程的解qklRtikeAkl将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程2,kkkkAkkqCAm;,;,;,222111nznynxzyxzyxAAAAAAAAA 3n个线性齐次方程个线性齐次方程 系数行列式为零条件，得到系数行列式为零条件，得到3n个个)3, 3, 2, 1(njj长波极限长波极限0q存在存在3个解个解qj 趋于一致趋于一致nAAAA,321 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波支声学波1, 2,3;1, 2, 3;1, 2,knk 3n3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相

15、支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相对运动对运动 3n3支光学波支光学波即：1.晶体中的格波的支数原胞内的自由度数。2.若晶体中一个原胞中有n个原子组成，则有3n支格波，其中3支声学波、3n3支光学波。3.若晶体为二维结构，则有2n支格波，相应的有2支是声学波，2n-2支光学波。4.若晶体为一维结构，则有n支格波，相应的有1支声学波，n-1支光学波。 金刚石有几支声学波，几支光学波？q取值与倒格子空间波矢波矢332211bxbxbxq 波矢空间的波矢空间的3个基矢个基矢321,bbb 倒格子基矢倒格子基矢123,x xx 3个系数个系数qklRtikeAkl1 12233llllllRN

16、 aRRN aRRN aR)()()(333333222222111111bxklRaNtikzbxklRtikzzbxklRaNtikybxklRtikyybxklRaNtikxbxklRtikxxzzyyxxeAeAkleAeAkleAeAkl采用波恩卡曼边界条件采用波恩卡曼边界条件1 1 1 1122222333 332,2,2N a x bhN a x bhN a x bh333222111bNhbNhbNhq波矢波矢波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积123123*()bbbVNNN0*vN 倒格子原胞体积倒格子原胞体积)(*3210bbbv状态密度状态密度0123*()

17、NNvbbb033(2 )(2 )NvV333333332222222211111111222NhxbaNhxNhxbaNhxNhxbaNhx波矢的取值波矢的取值_ h1 h2 h3 原子振动波函数原子振动波函数qlRie)(波矢改变一个倒格矢波矢改变一个倒格矢332211bnbnbnGnnGqqqlRiqGlRieen)()()(1 12233( )2 ()nR lGl nl nl nqklRtikeAkl 不同原胞之间位相联系不同原胞之间位相联系 原子振动状态一样原子振动状态一样从原子振动考查，q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系为了得到所有不同的格波，也只需考虑一定范围的为了得到

18、所有不同的格波，也只需考虑一定范围的q值值q的取值限制在一个倒格子原胞中的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区第一布里渊区2211bqbx2222bqby2233bqbz333222111bNhbNhbNhq11122NNh22222NhN22333NhN 个取值个取值321NNNN 111222333xyzhqbNhqbNhqbN由于边界条件允许的q的分布密度为3/ 2V因此不同q的总数为倒格子原胞的体积3/ 2VN3*0033*0002/ 2/ 2vvvVvvNN对应于一个波矢对应于一个波矢q 3支声学波和支声学波和3n3支光学波支光学波总的格波数目总的格波数目nNnN3) 333(结

19、论：1. 在简约布里渊区范围内，晶格中振动波矢q数晶格的原胞数，即存在N个波矢。2.晶格振动的模式数（振动状态数）晶体的总自由度数3nN正好等于晶体Nn个原子的自由度上述的格波已概括了晶体的全部振动模例1：若晶体A为简单立方结构，B为闪锌矿结构，它们立方单胞的边长均为4埃，晶体均为4*4*4cm3，试求：a)原胞体积；b)布里渊区体积；c)每个原胞中原子数；d)晶格中原子数；e)格波总数；f)光学波支数；g)声学波支数；h)q空间代表点密度；i)格波波矢取分立值的个数。布里渊区Brillouin Zone n简约布里渊区/第一布里渊区：由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面，由这些平面所围成的最

20、小体积。n其体积倒格子原胞体积n环绕原点对称；是单连通区域n第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域为第二第二布里渊区布里渊区；第一、第二布里渊区与再次远垂直平分面所围成的区域为第三布里渊区第三布里渊区。n各布里渊区关于原点对称。n除第一布里渊区外，其它区并不是但连通区域。n任一布里渊区的面积（二维）/体积（三维）之和倒易空间中原胞的体积。n布里渊区的形状取决于晶体的布拉伐格子。第一布里渊区实际是倒易点阵的维格纳赛茨原胞。二维布里渊区二维布里渊区 正方格子的布里渊区正方格子的布里渊区 正方格子的基矢正方格子的基矢12aaiaaj倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢jabiab222110/19维格

21、纳赛茨原胞Wigner-Seitz 简化版作法n为了确定WS原胞，实际上往往只需作出由原点到最近邻及次近邻的连接直线，再检查它们的垂直平分面在原点附近所围成的凸多面体的体积是否与原胞体积相等而决定是否需要作更多的连接直线。n最近邻、次近邻是否围成闭合多面体n检查围成的多面体体积？=原胞体积n点阵的格点处于原胞的中心nWS原胞只含一个格点，其体积=原胞体积 第一布里渊区第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格点倒格子空间离原点最近的四个倒格点1122,bbbb垂直平分线方程垂直平分线方程xyqaqa 第一布里渊区第一布里渊区大小大小2)2(a 第二布里渊区：第二布里渊区：第一布里渊区界面与次远

22、垂直平分面所围第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域成的区域由由4个倒格点个倒格点12121212()()()()bbbbbbbb2)2(a 第二布里渊区大第二布里渊区大小小的垂直平分线和第一的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成布里渊区边界所围成由由4个倒格点个倒格点12122 ,22 ,2bbbb 第三布里渊区：第一、第三布里渊区：第一、第二布里渊区边界与再次远垂直平第二布里渊区边界与再次远垂直平分面所围成的区域分面所围成的区域2)2(a第三布里渊区大小第三布里渊区大小的垂直平分线和第二布的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成里渊区边界边界所围成第一、第二和第三布里渊区第一、第二和第

23、三布里渊区 正方格子其它布里渊区的形成正方格子其它布里渊区的形成 15/19 正方格子其它布里渊区的形状正方格子其它布里渊区的形状 每个布每个布里渊区经过适里渊区经过适当的平移之后当的平移之后和第一布里渊和第一布里渊区重合区重合 二维六角格子其它布里渊区的形成二维六角格子其它布里渊区的形成 二维六角格子其它布里渊区的形状二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里每个布里渊区经过适当渊区经过适当的平移之后和的平移之后和第一布里渊区第一布里渊区重合重合 二维斜格子的第一布里渊区二维斜格子的第一布里渊区 三维三维简单立方简单立方结构晶格点阵的简约布里渊区结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为简单立方 原

24、点和六个近邻格点连线的垂直平分面，简单立方 三维三维体心立方体心立方结构晶格点阵的简约布里渊区结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为面心立方 原点和十二个近邻格点连线的垂直平分面，正十二面体 三维三维面心立方面心立方结构晶格点阵的简约布里渊区结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为体心立方 截角八面体 例例2：金刚石的色散关系。沿100与111的两支横波发生简并 Si的声子色散关系。圆与三角点为测量值，实线为计算值。人们常用约化波矢q(2/a)。沿100及111方向，两支横波发生简并；在点处，纵向光学支与横向光学支发生简并b) 两相邻的布里渊区。 3 .8 3 .8 晶格热容的量子理论n晶格热容-定

25、义，经典理论，实验相关n晶格热容的量子理论 n总能量和总热容n能谱分布函数n爱因斯坦模型n徳拜模型热容热容 heat capacity 热容：一个系统在某一过程中温度升高1k所吸收的热量。以Q表示系统在某一过程中温度升高T所吸收的热量，则系统在该过程的热容量C为：0lim( / )TQCJ kT 在等容过程中，系统的体积不变，外界对系统不作功，W=0.的函数。、也是的函数，因而、是对于一般的简单系统，率。下，内能随温度的变化表示在体积不变的条件VTCVTUTUTUTUTQCQWUUVVVVTVTVAB)()()(lim)(lim00的函数。、也是的函数，因而、是对于一般的简单系统，率。下，内能

26、随温度的变化表示在体积不变的条件VTCVTUTUTUTUTQCQWUUVVVVTVTVAB)()()(lim)(lim00的函数。、也是的函数，因而、是对于一般的简单系统，率。下，内能随温度的变化表示在体积不变的条件VTCVTUTUTUTUTQCQWUUVVVVTVTVAB)()()(lim)(lim00晶格振动对热容的贡献晶格振动对热容的贡献 经典理论经典理论n玻耳兹曼分布导出能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中的每个平方项的平均值n固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动，假设各原子的振动是相互独立的简谐振动。原子在一个自由度上的能量为： 有两个平方项。由于每个原子

27、有3个自由度，根据能量均分定理，在温度为T时，一个原子的平均能量为nN N个原子总的内能为个原子总的内能为 E=3NkE=3NkB BT T，热容，热容Cv=3NkCv=3NkB B=3R=3R是一个是一个与温度和材料性质无关的常数与温度和材料性质无关的常数TkB212222121qmpmTkB3 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律实验相关实验相关：固体的定容热容固体的定容热容VVTEC)(E 固体的平均内能固体的平均内能 固体内能包括固体内能包括晶格振动的能量晶格振动的能量和和电子热运动的能量电子热运动的能量实验结果：低温下，金属的热容实验结果：低温下，金属的热容3ATTCV 温度不是太低的情况，忽

28、略电子对比热的贡献温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献T 电子对比热的贡献电子对比热的贡献3AT 晶格振动对比热的贡献晶格振动对比热的贡献01/20 在高温下，这条定律与实验符合的很好。在高温下，这条定律与实验符合的很好。 实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零 !实验结论：实验结论：固体的定容热容固体的定容热容VVTEC)(E 固体的平均内能固体的平均内能 固体内能包括固体内能包括晶格振动的能量晶格振动的能量和和电子热运动的能量电子热运动的能量01/20 在高温下，热容在高温下，热容=3R，与理论结果一致。，与理论结果一致。 在低温下，热容量随温

29、度迅速趋于零在低温下，热容量随温度迅速趋于零 !为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克的量子假说，第一次提出了量子的热容量理论，这项成就在量子理论发展中占有重要地位n低温下：n绝缘体热容与温度的关系为：CV=bT3n金属热容与温度的关系为： CV=bT3+T bT3是晶格热容，在低温下遵从徳拜T3定律。T 是自由电子热容。低温情况下，晶格热容不占绝对优势，因而不能忽略电子对热容的贡献。n高温下，金属和绝缘体热容=3R，可用经典热容理论描述。晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论根据量子理论，各个简谐振动的能量是量子化的，为1()2jjjEn把晶体视作一个热力学系统，在简谐近似下各简正坐标1,2,

30、3jQiN所代表的振动是相互独立的，因而可以认为这些振子构成近独立的子系，可直接写出它们的统计平均能量晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论 一个频率为一个频率为 j的的振动模对热容的贡献振动模对热容的贡献/jjBjjjBjnk Tnnk TnePe1()2jjjEn频率为频率为 j的的振动模由一系列量子能级为振动模由一系列量子能级为 组成组成 子体系子体系/jBjEk TnPCe子体系处于量子态子体系处于量子态 的概率的概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1)1 (xxnn频率频率 j格波的平均声子数格波的平均声子数一个振动模的平均能量一个振动模的平均能量 与晶格振

31、动频率和温度有关系与晶格振动频率和温度有关系 VjVdTEdC)(/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献/1( )21jBjjjk TE TejjjnjnEP E振动模的平均能量振动模的平均能量222(1)()1()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk T1/,TkTkBjjB即BVkC 1. 高温极限高温极限/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符/211()2jBk TjjBBek Tk T 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献 忽略不计忽略不计Rema

32、rks:当振子能量远远大于能量的量子时，量子化的效应可能忽略jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VC2. 低温极限低温极限1/TkBje 与实验结果相符与实验结果相符/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献Remarks:此时，振动被“冻结”在基态，很难被热激发，因而对热容的贡献趋于零B. 晶体中有晶体中有3N个振动模，总的能量个振动模，总的能量NjjTETE31)()(NjjVVCC31NjjVdTTEdC31)(晶体总的热容晶体总的热容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCkk Te爱因斯坦

33、模型爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，个原子构成的晶体，假设所有的原子以相同的频率假设所有的原子以相同的频率 0振动振动 VVTEC)(000/3321Bk TNNe3/11()21jBNjjk TjEe2/20) 1()(300TkTkBBBBeeTkNk/1( )21jBjjjk TE Te一个振动模式的平均能量一个振动模式的平均能量晶体热容晶体热容总能量总能量)(30TkfNkCBBBV爱因斯坦温度爱因斯坦温度EBk0BEk02/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC 选取合适的选取合适的 E值，在较大温度变化的范围内，理论计值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果相当好

34、地符合算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体大多数固体KKE3001002/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 爱因斯坦热容函数爱因斯坦热容函数金刚石金刚石KE1320理论计算和实验结果比较理论计算和实验结果比较 22/2/2/)(1) 1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC31. 温度较高时温度较高时 10TkB2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkCTE 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶体热容晶体热容2. 温度非常低时温度非常低时10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEe 按温度的指数形式降

35、低按温度的指数形式降低实验测得结果实验测得结果3ATCV 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别0BEk 2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC晶体热容晶体热容德拜模型德拜模型 Debye model1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布拉年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布拉伐晶格看作是各向同性的连续介质伐晶格看作是各向同性的连续介质 有有1个纵波和个纵波和2个独立的横波个独立的横波ltC qFor LognitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模的纵波和横波

36、，构成了晶格的全部振动模 不同的振动模，能量不同不同的振动模，能量不同色散关系色散关系考虑了频率分布考虑了频率分布三维晶格，态密度三维晶格，态密度 V: 晶体体积晶体体积3)2(V 受边界条件限制波矢受边界条件限制波矢q分立取值，允许的取值在分立取值，允许的取值在q空间空间形成了均匀分布的点子形成了均匀分布的点子体积元体积元zyxdqdqdqqdqdV3)2(态的数目态的数目 q是近连续变化的是近连续变化的dqqV234)2(dqqq振动数目振动数目频率在频率在 之间振动模式的数目之间振动模式的数目 ddgdn)(pqv各向同性的介质各向同性的介质 频率也近似于连续取值频率也近似于连续取值 振

37、动频率分布函数，或者振动模的态密度函数振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数 )(g一个振动模的热容一个振动模的热容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk Te晶体总的热容晶体总的热容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te 振动频率分布函数振动频率分布函数 和和 m的计算的计算)(g频率在频率在 之间，纵波数目之间，纵波数目ddqqV234)2(lCqdCVl2322频率在频率在 之间，格波数目之间，格波数目d22322tVdC频率在频率在 之间，横波数目之间，横波数目d233212()2ltVdCC波矢的数值在波矢的数值在 之间的振动方式的

38、数目之间的振动方式的数目dqqqlCddq频率分布函数频率分布函数2233( )2VgC333213tlCCC格波总的数目格波总的数目dVCCtl22332)21(频率在频率在 间，格波数目间，格波数目dmdgN0)(321/36()mNCVdeeTkkCVTkTkBBBBm22/2032) 1()(23晶体总的热容晶体总的热容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk TedeeTkkCVCTkTkBBVBBm22/2032) 1()(23德拜温度德拜温度BmDkTDDVDdeeTRTC/0243) 1()(9)/(晶体总的热容晶体总的热容 TkB令令)(3)/(TRf

39、TCDDDVTDDDDdeeTTf/0243) 1()( 3)(德拜热容函数德拜热容函数DT1TkB1eTDDDDdTTf/023) 1()( 3)(1RCV3在高温极限下在高温极限下)(3)/(TRfTCDDDV晶体总的热容晶体总的热容 与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致TDDDDdeeTTf/0243) 1()( 3)(德拜热容函数德拜热容函数BDmk 低温极限低温极限DT TDDVDdeeTRTC/0243) 1()(9)/(4312(/)()15VDDTCTR T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时，主

40、要的只有长波格波的激发温度很低时，主要的只有长波格波的激发0243) 1()(9deeTRD1Bk TBDmk 晶体热容晶体热容 晶体热容晶体热容 01/10晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量不同频率的振动模对应不同的能量给定晶体，总的振动模数目是一定的给定晶体，总的振动模数目是一定的按振动频率分布按振动频率分布 g() 用晶格振动模式密度来描述用晶格振动模式密度来描述3 .3 .振动模式密度函数振动模式密度函数2233( )2VgC 钾的模式密度与德拜近似模式密度的比较01/10 从振动模式密度，研究晶格热容、晶体电学、光

41、学性质从振动模式密度，研究晶格热容、晶体电学、光学性质晶格振动模式密度晶格振动模式密度 单位频率间隔，振动模式的数目单位频率间隔，振动模式的数目 0( )limng 在在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度两个等频率面两个等频率面 和和之间的振动模式数目之间的振动模式数目根据根据做出一个等频率面做出一个等频率面常数)(q)(*)2(3的等频率面间的体积和频率为Vn 2,)2(,)2(23LSV3(2 )Vndsdq 频率是频率是q的连续函数的连续函数( )qq dq )(*)2(3的等频率面间的体积和频率为Vn( )qdqq3(2 )( )qVndsq

42、 3(2 )( )qVndsq 3(2 )( )qVdsnq 振动模式密度函数振动模式密度函数3( )(2 )( )qVdsgq0( )limng 简单几种情况下振动模式密度的表示简单几种情况下振动模式密度的表示 例例1 一维单原子链一维单原子链 LNa色散关系色散关系 最大频率最大频率sin()2maq4mm3( )(2 )( )qVdsgq4sin()2aqm振动模式密度振动模式密度1( )2( )qLgq一维情况下一维情况下考虑到一个频率可以有考虑到一个频率可以有 两个值两个值q1( )22( )qLgq( )cos()22mqaaqq2( )1sin ()22mqaaqq222ma2221( )mNg振动模式密度振动模式密度sin()2maq05/10也可以直接由也可以直接由q空间的状态密度来计算空间的状态密度来计算2L22Ldndq22L dqdndd( )L dqgd2221( )mNg状态密度状态密度sin()2maq振动模式密度振动模式密度例例2 德拜近似下的振动模式密度德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢成正比振动频率与波矢成正比cq( )qqc3( )(2 )( )qVdsgq231( )4 ()(2 )Vgcc223( )2Vgc24dsq例例3 色