高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程课件 新人教B版选修2-1

1、1第三章 2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程21.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.学习目标3题型探究问题导学内容索引当堂训练4问题导学5思考知识点一双曲线的定义如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线.6梳理梳理(1)平面内与两个定点F1，

2、F2的距离的差的 等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点的距离叫做双曲线的 ；(2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 .(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 .绝对值焦点焦距两条射线一支线段F1F2的中垂线7思考1知识点二双曲线的标准方程双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案8(1)建

3、系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0).(3)列式：由|MF1|MF2|2a，可得 2a. (4)化简：移项，平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).令c2a2b2，得双曲线的标准方程为 (a0，b0) 9(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)10思考2

4、双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定.双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案11梳理梳理(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程_图形焦点坐标_a，b，c的关系式_a2b2c2F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)(a0，b0)(a0，b0)12(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正

5、项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上；若y2项的系数为正，那么焦点在 上.(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2By21(AB0).(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2 与椭圆中的b2 相区别.x轴y轴c2a2a2c213题型探究14类型一双曲线的定义及应用命题角度命题角度1双曲线中焦点三角形面积问题双曲线中焦点三角形面积问题例例1已知双曲线 的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积.解答15由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|P

6、F1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，16引申探究引申探究本例中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.解答由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， 在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100， 将代入得|PF1|PF2|32，17求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的

7、关系式；通过配方，利用整体思想求出|PF1|PF2|的值；(2)方法二：特别提醒：特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系.反思与感悟18跟踪训练跟踪训练1如图所示，已知F1，F2分别为双曲线 的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且F1MF2，求MF1F2的面积.解答19在MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos . |F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|

8、MF2|，式化为4c24a22|MF1|MF2|(1cos )，20命题角度命题角度2利用双曲线定义求其标准方程利用双曲线定义求其标准方程例例2(1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是A.|PF1|PF2|3 B.|PF1|PF2|4C.|PF1|PF2|5 D.|PF1|2|PF2|24当|PF1|PF2|3时，|PF1|PF2|30).判断：若2a2c|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c|F1F2|，b2c2a2，进而求出相应a，b，c.根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.反思与感悟23跟踪训练跟踪训练

9、2下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2| 的点P的轨迹为双曲线；已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为两条射线；到定点F1(3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；若点P到定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(3，1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.答案解析24 6，故点P的轨迹不存在；点M(1，2)到点N(3，1)的距离为 58，故点P的轨迹是以F1(4,0)，F2(4,0)为焦点的双曲线.25类型二待定系数

10、法求双曲线的标准方程例例3(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4 )和 ，求双曲线的标准方程；解答2627解答2829待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.反思与感悟30跟踪训练跟踪训练3根据条件求双曲线的标准方程.(1)c ，经过点A(5,2)，焦点在x轴上；解答31设双曲线方程为mx2ny21(mn2c)|PF1|PF2|2a

11、 (|F1F2|2c,2ab0)(a0，b0)图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续根据标准方程确定a，b的方法以大小分a，b(如 中，94，则a29，b24)以正负分a，b(如 中，40，9b0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C： 写出具有类似特殊的性质，并加以证明.解答40类似的性质如下：若M，N为双曲线 上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置

12、无关的定值.其证明过程如下：设P(x，y)，M(m，n)，则N(m，n)，故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.41当堂训练42由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，即|3|PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选B.1.若双曲线E： 的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于A.11 B.9 C.5 D.3答案解析12345432.设F1，F2分别是双曲线x2 1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于答案解析12345又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，44123453.已知圆C：

13、x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为_.答案解析4512345令x0，得y24y80，方程无解，即该圆与y轴无交点.令y0，得x26x80，解得x2或x4，则符合条件的双曲线中a2，c4，b2c2a216412，且焦点在x轴上，46123454.已知双曲线2x2y2k(k0)的焦距为6，则k的值为_.答案解析6或647由题意知，k0.解得k6.综上，k6或k6.1234548123455.已知双曲线 上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是_.答案解析4912345即为点M到右焦点的距离，由双曲线的定义知点M到左焦点的距离为50规律与方法1.双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上.(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|