【教案】2.2.3 直线的一般式方程 教学设计高中数学人教版（2019）选择性必修一

1、2.2.3 直线的一般式方程一、内容和内容解析1.内容直线的一般式方程.2.内容解析直线是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点.直线的方程是在平面直角坐标系中对直线的代数刻画.直线的方程包括直线的点斜式、两点式和一般式方程，斜截式、截距式方程分别是点斜式、两点式方程的特例.（1）一般式方程揭示的是任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.从而直线的一般式方程是二元一次方程的形式.教科书按照这一思路，利用第64页的思考，得到了直线的一般式方程.（2）与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是，直线的一般式

2、方程能表示平面上的所有直线，点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线.教科书第65页的探究旨在让学生领悟这一事实.（3）点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程.教科书第65-66页的例5、例6进行的就是一般式方程与其它直线方程之间的互化，从而让学生掌握这几种直线方程的内在联系.（4）在本小节的最后，教科书说明应该从几何与代数两个角度看待二元一次方程：在代数中我们研究方程，着重研究方程的解；建立直角坐标系后，二元一次方程的每一个解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的解集，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线，直角坐标系把直线与方程联系起

3、来.结合以上分析，确定本节课的教学重点：直线的一般式方程的求解及与其他方程的转化.二、目标和目标解析1.目标（1）探索直线的一般式方程，掌握直线的一般式方程；（2）会进行直线的一般式方程与其它直线方程的转化，提升学生的数学运算核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）了解直线的一般式方程的一般形式，对于具体问题，会求直线的一般式方程；（2）对于具体问题，会进行直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程之间的转化三、教学问题诊断分析本节属于普通高中数学课程标准（2017年版）中“几何与代数”主线的内容，在学习本节内容之前，学生已学习了直线的倾斜角与斜率，两条直线平行和垂直的判定，直

4、线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，对直线方程的形式有一定了解在推导平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示时，学生对于按直线的斜率存在和不存在的讨论可能还不太习惯.分类问题始终是教学的难点，很多学生不了解确定“类”的依据是什么；而是涉及字母系数的二元一次方程比数字系数的二元一次方程抽象，同解变形更加形式化.这些都是教学中需要特别关注的.在学习完直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程之后，部分学生可能对这五种形式的适用范围和一般形式的掌握程度略低，导致相互转化时的准确性和速度略低.本节课的教学难点是分类讨论思想在研究二元一次方程与直线的关系时的运用，以及直

5、线方程的应用四、教学过程设计（一）直线的一般式方程的推导同学们，前面我们学习了直线的倾斜角与斜率，两条直线平行和垂直的判定，直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题.问题1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？师生活动：教师讲解，学生观看并认真思考教师分直线的斜率存在和不存在两种情况进行分析，并提示在研究关于直线的问题时，经常按和进行分类讨论.设计意图：通过推导过程，让学生明确在研究关于直线的问题时，注意按和进行分类讨论，

6、并得到“平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示”这一事实.问题2：任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？师生活动：教师讲解，学生认真观看教师分和两种情况进行推导，得出结论.设计意图：通过分类讨论，得出结论：任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线.（二）直线的一般式方程的概念我们把关于的二元一次方程（其中不同时为）叫做直线的一般式方程，简称一般式.问题3：在方程中，为何值时，方程表示的直线：平行于轴？平行于轴？与轴重合？与轴重合？过原点？师生活动：教师依次讲解四个问题的思考过程，并得出结论，学生观看并思考设计意图：对一般式方程的系数进行思考，得出方程表示的直线在

7、特殊位置时的系数特点，有利于对直线的一般式方程的深入理解，体会一般式方程相对于点斜式、两点式的适用范围的增加，及其带来的便利练习 若方程表示平行于轴的直线，则师生活动：教师讲解解题过程，学生同时思考设计意图：考察学生对直线的一般式方程的系数对直线位置的影响的掌握程度，以及对解方程的熟练程度（三）直线的一般式方程的应用例1 （教科书第65页例5）已知直线经过点斜率为求直线的点斜式和一般式方程师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：通过具体实例展示直线的一般式方程的求解过程，使学生熟悉直线的点斜式方程向一般式方程的转化练习1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式：（1）经过点

8、斜率是（2）经过点平行于轴；（3）经过点（4）在轴、轴上的截距分别是师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：让学生回忆求直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的过程，并训练学生由四种形式向一般式方程转化的过程，熟悉解题思路例2 （教科书第66页例6）把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：当学生经历了点斜式、斜截式、两点式、截距式方程向一般式方程的转化过程之后，也要学会由一般式方程向另外四种形式的转化此题就是一般式向斜截式的转化，并利用一般式方程，求横、纵截距，进而在平面直角坐标系中画出直线

9、，掌握在平面直角坐标系中画直线的一般方法：找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点结合例2，我们可以从集合角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线在代数中，我们研究了二元一次方程的解因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示练习2 求下列直线的斜率以及

10、在轴与轴上的截距，并画出图形：（1）（2）（3）（4）师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：熟悉利用直线的一般式方程求直线斜率、截距，以及在坐标系中画直线的过程，夯实基础练习3 已知直线的方程分别是（其中不同时为0），（其中不同时为0），并且求证：师生活动：教师提示证明两直线垂直的方法是证斜率相乘等于-1，并结合斜率是否存在进行分类讨论,之后展示证明过程.追问：已知直线的方程分别是（其中不同时为0），（其中不同时为0），并且是否有呢？类似的，若已知直线的方程分别是（其中不同时为0），（其中不同时为0），你能证明吗？师生活动：学生课下完成设计意图：通过对练习3的求解，帮助学生熟悉证

11、明两直线垂直的方法以及分类讨论的思想，熟悉直线的一般式方程的系数与两直线的位置关系之间的联系（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识：1、 对直线的斜率是否存在进行分类讨论，得到了：在平面直角坐标系中，（1） 任意一个二元一次方程都表示直角坐标平面上一条确定的直线；（2） 直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示2、 直线的一般式方程：（不同时为）.3、 直线的一般式方程与其它四种直线方程的互化；4、 通常可以利用直线与两条坐标轴的交点在平面直角坐标系中画直线.设计意图：对本节课进行小结，复习提升布置作业：教科书第67页习题2.2第8、10、11题五、目标检测设计1根据下列条件分别写出直