连续介质力学流体分析

1、引论积分定理物质导数从物理含义上来看可以写成粘性流体 流体的物理性质和固体不同，它主要有以下三个特性。 (1)流体具有易流动性。固体不管怎样运动，只能发生比较小的变形，而流体可以发生任意程度的变形。或者说，流体如果不发生连续的变形，就不能承受剪切应力，象钢、混凝土一类固体在静止时就有承受剪切应力的能力，而流体没有这种能力。流体在静止时，其内部只有正压力。但只要加很小的剪切力并且持续下去，则变形将一直继续下去，从而形成流动。 (2)流动具有粘性。流体在静止时不能承受剪切应力，但流动起来后流动速度不同的流体层之间会产生一种切向力，较快的一层使较慢的一层加速；反之较慢的一层使较快的一层减速。这样，流

2、体本身有一种抗抵各层间相对滑移的能力，这种阻止流体发生变形的内摩擦特性称之为粘性。 对于不同的流体其粘性也是不同的，如水、汽油、空气等是属于小粘性流体；甘油、柏油等属于大粘性流体。 另外，对同一种流体在不同条件下其粘性也是不同的。有些液体由于温度升高，粘性减少；而对于气体则由于温度升高、分子热运动激烈，动量交换激烈，粘性反而加大。 (3)流体具有压缩性。一定质量的流体，其体积随着压力、温度而变化的特性，叫做流体的可缩性。一般说来，液体的压缩性不大，而气体的压缩性较大。但也要根据实际情况，具体问题具体分析，象在绕流问题中，当空气速度低于80m/s时，可把空气看做是不可压缩的，但超过音速时，则必须

3、看成是可压缩的。另外，考虑管中水击现象或水底爆炸则必须把水看成是可压缩的。 在本章中，我们研究一类特殊的流体模型，这种流体随着运动伴随而产生的应力与瞬时的变形速率值线性相关。这种流体模型，是牛顿首先提出来的，所以称之为牛顿粘性流体或线性粘性流体。后来，牛顿和纳维各自独立地给出了粘性流体的运动方程。当然，这种理想模型对于诸如聚合物溶液的某些流体是可适用的。为了恰当地进行描述，需要有一个更为一般的模型(非牛顿流体理论)。本章只介绍有关线性粘性流体的基本内容，并对若干具体问题进行讨论。1 几个基本概念 1.轨迹和流线 按照拉格朗日描述法，连续介质物质点的运动规律可表为 (4.1.01)即 (4.1.

4、02) 所谓轨迹就是介质中物质点运动规律的几何表示，即物质点在空间运动量所描绘出来的曲线。它给出了某一质点在不同时刻的空间位置。从式4.1.01中消去时间t后即得轨迹方程。如果知道了介质中每一物质点在不同时刻的空间位置，那么物质在任一时刻的构形也就知道了。 如果介质运动速度是以欧拉方法描述的，即 (4.1.03)此时，要得到轨迹的方程，必须将欧拉描述法化为拉格朗日描述法，即解下列微分方程 (4.1.04)或 (4.1.05)于是 (4.1.06)写成展开 (4.1.07)其中，为t的函数，积分后消去t即得轨迹方程。 若以欧拉方法描述连续介质的速度场，则有 (4.1.08)所谓流线就是这样的曲线

5、，对于某一固定时刻而言，曲线上任一点的速度方向和曲线在该点的切线方向重合。应该指出，流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，它给出该时刻不同物质点的运动方向。因为速度是时间的函数，所以流线也随时间而变化。在数学上流线可由速度场得到，令是在时通过给定点流线的参数方程，则总可以选择s，使得 (4.1.09) 总之，轨迹是一个质点运动的路线，时间是变数，而流线则只能在某一时刻才有可能作出，并且它是由无限多流体粒子组成的。 2.定常流和非定常流 如果在一个固定的位置处，任何物理量都不随时间而变化，这样的流动称作定常流。否则，就称为非定常流。例如船在静止的水中等速直线运动时，对于和水保持相对静止的观察者来说

6、，由于流场中所受到的船的扰动时刻在改变，致使空间速度分布时刻有变动，这当然不是定常情形；但对于与船一起运动的观察者来说，他所观察到的流场是水平稳地流过船体，速度场并不随时间而变化，这便是定常情形。 显然，定常与否和所取参考系有关。需要特别指出的是，在定常流动中，一个给定的流体粒子速度、加速度、温度等一般是随时间变化的。即令是某一相关的变量，于是定常流动下，但一般并不等于零。 例如，由下列速度场 ，给出的定常流就具有下列速度场 对于定常运动来说，可以证明物质点的运动轨迹与流线重合。但对于非定常运动，此结论不成立。 3.层流与湍流 层流是一种很有次序的游流动，这一类流动的特点是：所有流体粒子的轨道

7、都是平滑曲线，速度场和压强对于空间和时间都是连续的。这种流动一般在低速时实现(当其它情况固定时)。对于流过圆形截面管的水的情况，雷诺在观察管中染料的细流束时发现：当由(这里是管中的平均速度，d是管的直径，和是流体的密度、粘性)定义的无量纲参数(称为雷诺数)小于某一值(约为2100)时染料的细流束在整个管内保持平行于管轴的直线形式不变。任一偶然的扰动都会很快的被消除。当雷诺数增大时，流动对于微小扰动变得格外敏感，直到染料的细流束被破坏并扩散到流动的水中。流体中流动粒子这种无规律的相互混合现象称为湍流。本书限于篇幅将不讨论湍流问题。 4.应力张量的性质 对于静止的流体来说，任意面元上的应力矢量t与

8、其面元的法向共线，因此t可以表示为如下形式： (4.1.10)或写为 (4.1.11)这里代表应力矢量的大小，通常称为静压。负号表示规定压应力为正。因此，任意方向皆为其应力张量的主方向，由式4.1.10得 (4.1.12)即 (4.1.13)上式表明在静态情况下，应力张量的剪切分量为零。 对于运动的流体来说，剪切分量通常不等于零。在这种情况下，通常将应力张量分解为如下形式 (4.1.14)这里称为粘性应力张量，p称为压力。 实际上，真实的流体都是粘性的，可压缩的。但是这些性质对于不同的流体表现程度有很大的不同。因此，在对某些流体的计算中可以忽略这些性质而不会影响其精确性。对于无粘性流体，即所谓

9、理想流体，即使在运动的时候，粘性应力张量也为零；而对于粘性流体，粘性应力张量则是决不可忽略的。在可压缩流体情况下，压力p基本同经典热力学中的压力相一致。由式(4.1.14)得平均法向应力为 (4.1.15)对静止的流体，项消失，而p变为。在这种情况下，等于平均法应力的负值。对于不可压缩流体，热力学压力不与力学条件相分离，在这种流体中，p被认为是独立的力学变量。 本构方程 流体的粘性应力张量是与其耗损能量相关联的。在流体本构关系的讨论中，一般假设粘性应力张量是应变率张量的函数。若函数关系是非线性的，则记本构关系为 (4.2.01)这种流体称为斯托克斯流体。若函数关系为线性的，则记本构关系为 (4

10、.2.02)或写成 (4.2.03)其中K为四阶张量，称为粘性系数张量。这种流体称为牛顿流体，或线性粘性流体。 与各向同性线性弹性固体的本构方程的推导相同，对于各向同性牛顿流体，则式(4.2.02)得 (4.2.04)将上式代入到(4.1.14)式则得 (4.2.05)或可写为 (4.2.06)其中和称为粘性系数。这就是各向同性线性粘性流体本构方程的一般形式。由上式可得牛顿流体的平均法向应力为 =-+=-pKtrDp+ Kv*div (4.2.07)其中称为体积粘性系数。 对于不可压缩流体而言 式(4.2.07)中的项自动消失。 对于可压缩流体 但对于相当一部分流体来说式(4.2.07)中项的

11、影响与P值相比是微不足道的。因此，对于大部分流体来说，可以认为体积粘性系数是0 (4.2.08)这是斯托克斯提出的假设，通常称为斯托克斯条件。由式4.2.07可以看出，斯托克斯条件保证了压力p就是静态条件下的平均法应力。在这种情况下压力p与热力学压力是一致的。 引入偏应力张量 (4.2.09)和偏应变率张量 (4.2.10)则本构方程可改写为 (4.2.11)即 (4.2.12)比较式(4.2.07)和式(4.2.11)，则得出一对方程 (4.2.13) (4.2.14)其中式(4.2.13)描述了剪切效应，而式(4.2.14)则描述了体积膨胀。粘性流体的基本方程组 以欧拉形式表达的线性粘性流

12、体的基本方程组包括： (1)连续性方程 (4.3.01)即 (4.3.02) (2)运动方程 (4.3.03)即 (4.3.04) (3)能量方程 (4.3.05)即 DutTDfqijijiirr=-+1 (4.3.06) (4)本构方程 (4.3.07)即 (4.3.08) (4)运动状态方程 (4.3.09) 在具有热作用的情况下，通常还需要补充两个附加方程： (6)傅立叶热传导定律 (4.3.10)即 (4.3.11) (7)热状态方程 (4.3.12) 上列方程组包括16个未知量，即，T，u，p；并有16个独立的方程，即一个连续性方程，三个运动方程，一个能量方程，六个本构方程，一个运

13、动状态方程，三个傅立叶热传导定律和一个热状态方程。因此该方程组是封闭的。下面列出初始条件和边界条件： 初始条件 (4.3.13) 边界条件 边界处往往是两种连续介质的间断面，记这两种介质为介质1，介质2，在其间断面上满足 (4.3.14) 其中n为间断面法向：和是任意两个包含n的正交平面和界面交线的曲率半径；为表面张力。运动方程 由运动方程4.3.03，并考虑到 (4.4.01)则得 (4.4.02)即 (4.4.03)再考虑 (4.4.04)代入(4.4.03)式，即得 (4.4.05)或写成 (4.4.06)上式称为兰姆葛罗米柯(Lamb-pomeko)形式的运动方程。 若将本构方程4.3.07代