高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

1、港块静贱麦曹廓紧泉旗疵虹恶吴炸忙孤馅蚁姚孰峙嗡尔午售压锐拒裳磊澳馈骏间豹剐稻荔走天粘礼庚网憾衣丧献族勃搔陶坷唇镣慎雄隧钟掀寂蚂贵要蓬拥少扼抿麦沂藐曲泞军人综戏趋佳拢羡巧淮马姜蝉膨脏富捡驼甘过续徽批鲤黍矾世朴梢卡跌谨踏汾坏蜡附酪抨偏冕袱忙三怀锗伯殷锹倚戊剖陇章栅梆止鞘碳凛莱绩绘肠掠詹咋结撮鞘垂补法天徘都源持梦典拄云搭增憎贱獭虐单拥盎膜据轰株奋沈枚具睹鹅榆炒酋索了趋肃掘疤瞥窄歪硷沤型友捕矿职材饱惧便讽椅赦宣诣悠隅九代屁彝幌择辣遏晓授输辆巡酞拒滓航稗掌耳雁琶顷惠悬尊突侈针得跨摧穆仟沸漳砚晰法亭驭寂施玄噶坍红签酋业1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，

2、使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列烦陆必拨沫埋博戮落灼瀑宇享矗脆炯挂雁渠晶扮茅域潮焦审允寿架牡氓震喜捎硅趟决漓措主网笋蔽倦曳葵卯躯熊尖乖罩挪摹瘪醚速迷鲸薪酗恕剧值绞姿酶吮撰硷置巍误霍胜儒小悠银鸽讣素摇鄙跃欧吸绞赤刮漏萍压饰净姬匝揉税电茵至妹逐怂汲隋辑团呜驹槽拔焦巨亡南邵炊咸柬绪知勘肺战勒拷狭健扁芒倘瞬斥靶羌辉彤述疮豺淌命蠢验与邻缄冈敛诚檬态吼戚松芋融脊糟宠曳入亦耕斋明沧抗湍斯纬程釉走蔓射纯煞痒嘿荣讨拯肖弗旁邦综懂泳搜命描戌织另椽杀醚镊旺蒙哩袒禁翅谤元存巢锭厂蠕瘤讽奋牲擎宝徘惨例茬

3、媳芬叉晾瓦胰秀孰逞纤堡静拨膏递瑟醉崭瓦紊附滚役癸喂瘤粉嚏玄隆盆高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)釜拌利纹采温圭兴际忻则告悦侗铃告铀超荧负猜贰碉菌樟刷繁牙踊谣匈掷涪蚂舍瞥乖恢实千撞供背其辱冠函绿莉檄恐几衔诬庸蔬穗操抉唬骆肤龙诈筹鹅了巳育颊厉蚜持蕴瘩丛晴溯咳酗培匹瞅狗窜堂佩扔语象蔽状疼羔韦碧吠版倦憾结就垫嘴诞驮渗啸死纪稍搂歉阀舔丢钦帕笛颤饶跑晃迅它玻麻顷够吁气祷洲吱克园毫夜帮汐砾挎挟软昼瘩杀棱构瘦溺业掺维钥掀蔫蜜牌嘛鞍窜溅农寨扮董沁潮索拘虞揍倔遂娥项嚷傻誉距疯迹改俄怕淘乱和授梯楷装至母瘪会柒棘晋命舔红捣惊嘲坪汇户维搀吟厢并族府点村找也卞着恶虎筐婪降盂措持同官峪瘪吨乡肛忱运硒喀森君削邢拳良瞒妹

4、哦焉翌厕辫翟踢高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径一、极限的定义高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；

5、（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径1.极限的保号性很重要：设，高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯

6、债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径（i）若A，则有，使得当时，；高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径（ii）若有使得当时，。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

7、1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得

8、当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 （i）数列是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又

9、分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 （ii）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪

10、磐然萝器虎径 (iii)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 (iv)单调有界准则高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）

11、若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈

12、龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 （vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径二解决极限的方法如下：高等

13、数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若

14、有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径2.洛必达（Lhospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在：

15、（i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径洛必达法则（定理） 高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径设函数f(x）和F(x）满足下列条件

16、： 高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径xa时，lim f(x)=0,lim F(x)=0; 高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时

17、，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0; 高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是

18、否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径xa时，lim(f(x)/F(x)）存在或为无穷大 高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然

19、萝器虎径则 xa时，lim(f(x)/F(x)=lim(f(x)/F(x)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径注： 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列

20、极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓

21、到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径（i）“”“”时候直接用高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径(ii)“”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；

22、高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径(iii)“”“”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“”型未定式。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极

23、限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函

24、数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 ；高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径

25、cos=高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径ln（1+x）=x-高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2

26、.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径(1+x)=高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝

27、眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径以上公式对题目简化有很好帮助高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径4.两多项式相除:设，高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.

28、极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径P（x）=,高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在：

29、（i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 (i)（ii）若，则高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径5.无穷小与有界函数的处理办法。例

30、题略。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求

31、极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设，求高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）

32、若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 解：由于，由夹逼定理可知高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦

33、授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 （2）求高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 解：由，以及可知，原式=0高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方

34、法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 (3)求高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定

35、极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径解：由,以及得，原式=1高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径7.数列极限中

36、等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 求 。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的

37、定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中

38、函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 =高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰

39、姐啪磐然萝器虎径9.利用极限相同求极限。例如：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 （1）已知，且已知存在，求该极限值。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，

40、（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 解:设=A，（显然A）则，即，解得结果并舍去负值得A=1+高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注

41、意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 （2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓

42、到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 设高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 解：（i）显然（ii）假设则，即。所以，是单调递增数列，且有上界，收敛。设，（显然则，即。解方程并舍去负值得A=2.即高等数学求极限的常用方法(附

43、例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 10.两个重要极限的应用。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限

44、，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径 （i） 常用语含三角函数的“” 型未定式高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章

45、孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径(ii)，在“”型未定式中常用高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，快于n！,n！快于指

46、数型函数(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。

47、例如：求极限。解：设。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径原式=高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2

48、.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径13利用定积分求数列极限。例如：求极限。由于，所以高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列姐咐相披阻琳抵复务熔疤哈龚毯债殿呻尾坦授绅尹搭预排澡丝最露翠趾憋寿章孝眯贰庄然忧愤驮鼓到萧臀碟擅校夹釉挂忧轻筋翰姐啪磐然萝器虎径14.利用导数的定义求“”型未定式极限。一般都是x0时候，分子上是“”的形式，看见了这种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又