高等代数概念引入之三行列式

1、 高等高等代数概念引入代数概念引入 之三之三: : 行列式行列式 一一. 二元一次方程组的几何意义二元一次方程组的几何意义行列式的定义行列式的定义方程组方程组可写成向量形式可写成向量形式即即1. 有唯一解的条件有唯一解的条件不共线不共线即即2. 消元消元: 方程方程(1.1)两边与两边与(1.1)作内积消去作内积消去y, 得得其中其中就是就是同理得同理得图图2因此因此,于是于是3. 二阶行列式二阶行列式 平行四边形面积平行四边形面积称为称为二阶行列式二阶行列式, 记作记作是平行四边形是平行四边形 OAPB 的有向面积的有向面积,是两个向量是两个向量或或的函数的函数,计算公式计算公式:或或图图2

2、3. 代数算法代数算法利用几何图形表达出来利用几何图形表达出来, 就是就是: 以上算法用到二阶行列式的如下基本性质以上算法用到二阶行列式的如下基本性质(1) det(a,b)可以看成向量可以看成向量 a,b 的乘积来展开的乘积来展开: det(ka+k1a1, b) = k det(a,b) + k1det(a1,b) det(a, kb+k1b1)= k det(a,b) + k1det(a, b1) 如图如图,就是就是(3) 面积单位面积单位:det(e1,e2)=1 由由 (2) det(a,a) = 0 邻边重合邻边重合,平行四边形退化为线段平行四边形退化为线段, 面积为面积为 0.

3、det(e2,e1) = -det(e1,e2) = -1det(a,b) = - det(b,a)知知 det(u,v)=det(u,v+au)0.20.40.60.80.20.40.60.81可写成可写成其中其中二二. . 三阶行列式与体积三阶行列式与体积1. 三元一次方程组的几何意义三元一次方程组的几何意义两边同时与两边同时与方程方程作内积消去作内积消去 y, z , 得到得到类似地可以得到类似地可以得到 y, z 的表达式。的表达式。当当时得时得从原点从原点O出发作有向线段出发作有向线段OA，OB，OC使使则则就是以就是以OA,OB,OC为棱的平行六面为棱的平行六面体的有向体积。称为体

4、的有向体积。称为三阶行列式三阶行列式，记作，记作2. 三阶行列式三阶行列式 平行六面体体积平行六面体体积之三之三人挤成照片之维数变化人挤成照片之维数变化 三十多年前到上海，公共汽车很挤。三十多年前到上海，公共汽车很挤。 有人形容为：人挤成照片了。有人形容为：人挤成照片了。 三维的人挤成二维的照片，三维的人挤成二维的照片， 体积变成体积变成 0 。 行列式两列行列式两列( (行行) )相等，也挤成照片。相等，也挤成照片。 3. 三阶行列式的基本性质三阶行列式的基本性质 (3) det(e1, e2 , e3)=1 , e1,e2 ,e3 分别是三条坐标分别是三条坐标轴上的单位向量轴上的单位向量.

5、)可以看作可以看作的乘积来展开的乘积来展开. (1) det( (2) 如果三个向量如果三个向量 中有两个相等中有两个相等, 则则 det( ) = 0 . 挤成挤成 “照片照片” 将三个向量将三个向量 中的任意两个互换位置中的任意两个互换位置, 则则det( ) 变为原来值的相反数。变为原来值的相反数。4. 利用基本性质计算三阶行列式利用基本性质计算三阶行列式(2.1)这样的项可以从这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i,j,k 两两两不相等的项。两不相等的项。(2.1) 变成变成当当 i,j,k 中有两个相等时，中有两个相等时，代入代入(2.2), 得得又又类似地有类

6、似地有(2.2)我们有我们有类似地有类似地有三三. n 阶行列式的引入阶行列式的引入其中其中n 阶行列式阶行列式它应具有以下它应具有以下基本性质：基本性质： (1) 是是 的某种乘积，可的某种乘积，可以按乘法法则展开。以按乘法法则展开。 (2) 如果如果 n 个向量个向量 中有两个中有两个相等相等, 则则 = 0 。将将n个向量个向量 中中的任意两个互换顺序，的任意两个互换顺序， 则则 变为变为 。 (3) det(e1,e2,en)=1，其中，其中 n 维列向量维列向量 ei 的的第第 i 分量为分量为1、其余分量为、其余分量为0。是由是由决定的决定的 “n 维体积维体积”利用基本性质计算利

7、用基本性质计算 n 阶行列式阶行列式(3.1)当当 i1,i2,in 中有两个相等时，中有两个相等时，这样的项可以从这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项两两不相等的项, (3.1)中的中的 变成对变成对1,2,1,2, ,n 的全体排列的全体排列 (i1,i2, in ) 求和求和, 成为成为: 将排列将排列 中任意两个数中任意两个数 相互交相互交换位置换位置, 称为这个排列的一个称为这个排列的一个对换。相应地，对换。相应地，行行列式列式 中的中的 互换了位置，互换了位置，其值变为原来值的相反数其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换进

8、行若干次对换(设为设为 s 次次)可以将排列可以将排列 变成标准排列变成标准排列 (12n), 相应地将相应地将 变成变成 (3.2) 以下只须对每个排列以下只须对每个排列 求求 可以证明可以证明, 的值由排列的值由排列 唯一唯一决定决定, 我们将我们将 记为记为 sgn 。则。则 sgn代入代入(3.3) 得到得到(3.3)于是得于是得这可以作为这可以作为 n 阶行列式的定义。阶行列式的定义。(3.4)四四. n 阶行列式的定义阶行列式的定义 1. 排列的奇偶性排列的奇偶性 由由 1,2,n 按任意顺序重新排列而成的按任意顺序重新排列而成的有序数组有序数组 称为一个称为一个 n元排列元排列。

9、 将将 1,2,n 按从小到大的顺序得到的排按从小到大的顺序得到的排列列 (12n) 称为称为自然排列自然排列。 在任意一个排列在任意一个排列 中中, 可能出现可能出现顺序顺序“颠倒颠倒”的情况：的情况：p jq , 也也就就是较大的数是较大的数 jp 反而排在较小的数反而排在较小的数 jq 的前面。的前面。 每出现一对这样的每出现一对这样的( jp, jq ) 称为这个排列的一称为这个排列的一个个逆序逆序。 排列排列 中的逆序的个数称为这中的逆序的个数称为这个排列的个排列的逆序数逆序数，记作，记作 。 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，逆序，逆序数为奇数的排列称为数为

10、奇数的排列称为奇排列奇排列。 例例. 排列排列 (3142) 中的逆序共有中的逆序共有 (3,1), (3,2), (4,2) 等等 3 个个, 因此因此 t(3142) = 3 , (3142) t(3142) = 3 , (3142) 是奇是奇排列。排列。 自然排列自然排列 (12n) 的逆序数为的逆序数为0, 因此自因此自然排列是偶排列。然排列是偶排列。 将排列将排列 中的某两个数码中的某两个数码 jp, jq 互相交换位置互相交换位置, 称为这个排列的一个称为这个排列的一个对换对换。 每一次对换必然改变排列的奇偶性。每一次对换必然改变排列的奇偶性。 每一个排列每一个排列 都可以经过有限

11、都可以经过有限次对换变成自然排列次对换变成自然排列 (12n) 。 设排列设排列 经过了经过了 s 次对换变成次对换变成自然排列。则当自然排列。则当 s 为偶数时，为偶数时， 的的奇偶性与自然排列相同奇偶性与自然排列相同, 是偶排列是偶排列; 当当 s 是奇是奇数时，数时， 的奇偶性与自然排列相反的奇偶性与自然排列相反, 是奇排列。是奇排列。 将将 n 个数个数 aij (i,j = 1,2,n) 排成排成 n 行行n列的列的形式形式, 按如下方式计算：按如下方式计算：2. n 阶行列式的定义阶行列式的定义得到一个数，称为得到一个数，称为 n 阶行列式阶行列式。 上面的式子中的求和号上面的式子中的求和号 表示对所有表示对所有的排列的排列 求和。求和。五五. n 元线性方程组元线性方程组可以写成可以写成将将 (5.1) 两边与两边与(5.1)点乘点乘,可以消去除可以消去除外的所有未知数外的所有未知数, 在在0 时得时得(Crammer 法则法则)六六. 行列式与秩行列式与秩几何观点几何观点: 线性无关线性无关 秩为秩为 n 生成的空间的维数生成的空间的维数 = n n 维体积维体积 不为不为