复变函数3.1 中值定理

1、第第3章章 12021/6/16中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 (第三节第三节)推广推广第三章微分中值定理 与导数的应用 第第3章章 22021/6/16一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理第一节二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 微分中值定理 第第3章章 32021/6/16费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理

2、定理,)(0有定义在x且且 )(0 xf 存在存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证: 设设, )()(, )(0000 xfxxfxxx则则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 证毕证毕第第3章章 42021/6/16罗尔罗尔（ Rolle ）定理定理)(xfy 满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使使. 0)(fxyoab)(xfy 证证:，上连续在因,)(baxf故在故在

3、 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m .若若 M = m , 则则, ,)(baxMxf因此因此.0)(, ),(fba在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点第第3章章 52021/6/16若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 , )(afM 则至少存在一点则至少存在一点, ),(ba使使,)(Mf. 0)(f注意注意:定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo则由费马引理得则由费马引理得 1 , 1)(xxxf

4、 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yoxyoab)(xfy 第第3章章 62021/6/16使使本定理可推广为本定理可推广为)(xfy 在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且)(limxfax)(limxfbx在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设设证证 F(x) 在在 a , b 上满足罗尔定理上满足罗尔定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(2) 定理条件只是充分的定理条件只是充分的. .第第3章章 72021/6/16例例1. 证明方程证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1

5、)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .则则)(xf在在 0 , 1 连续连续 , 且且由介值定理知存在由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根.0 x2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点至少存在一点,. 0)(f使但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设第第3章章 82

6、021/6/161. 设设,0)(Cxf且在且在),0(内可导内可导, 证明至少存证明至少存在一点在一点, ),0(使使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知由结论可知, 只需证只需证0cos)(sin)(ff即即0sin)(xxxf验证验证)(xF在在,0上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.设设xxfxFsin)()(第第3章章 92021/6/16结结论论亦亦可可写写成成拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得)()()(abfafbf ).()()( fabafbf 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理注注f (x) 在在(a, b) 内可导内可

7、导.f (x) 在在 a, b 上连续上连续;:)(满足满足若函数若函数xf,),(x内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba第第3章章 102021/6/16拉格朗日 (1736 1813)法国数学家法国数学家.他在方程论他在方程论, 解析函数论解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献及数论方面都作出了重要的贡献, 近百近百余年来余年来, 数学中的许多成就都直接或间数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作, 他是对分析数学他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一产生全面影响的数学家之一.第第3章章 112021/6/16几何意义：几何意义： ( )( ),f

8、 af b 将将罗罗尔尔定定理理条条件件中中去去掉掉得得到到拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理,.ABCAB在在曲曲线线弧弧上上至至少少有有一一点点在在该该点点处处的的切切线线平平行行于于弦弦.)()()(abafbff C2h h xO yABaby=f (x)C1 第第3章章 122021/6/16证明证明作辅助函数作辅助函数 ，)()()()()()(axabafbfafxfxF 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得)()()(abfafbf f (x) 在在(a, b) 内可导内可导.f (x) 在在 a, b 上连续上连续;:)(满足满足若函数若函数xf,),(x内至少

9、存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba第第3章章 132021/6/16证明证明，0)()()()( abafbffF 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得)()()(abfafbf f (x) 在在(a, b) 内可导内可导.f (x) 在在 a, b 上连续上连续;:)(满足满足若函数若函数xf,),(x内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba于于是是),(ba , ,使使 第第3章章 142021/6/16,)()()()(xabafbfxfxg 证证 作作辅助函数辅助函数( )( )( )( )0.f bf agfba 由此得由此得).()()()(

10、 fabafbf 1( )( )( )g abf aaf bba 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式( )g b 易知易知微分中值定理微分中值定理,)(上连续上连续在闭区间在闭区间baxg内内开区间开区间),(ba可导，可导，使得使得内至少存在一点内至少存在一点故在开区间故在开区间,),(xba.也成立也成立对对ab第第3章章 152021/6/16(),01.aba 于是，拉格朗日中值公式也可改写成于是，拉格朗日中值公式也可改写成( )( )()(), 01.f bf af ababa 上式也可叫做拉格朗日中值公式。也可以写成下式上式也可叫做拉格朗日中值公式。也可以写成下式)()()(abfa

11、fbf ).()()( fabafbf ( , )a b 由由于于，因因此此可可以以将将 表表示示成成拉格朗日公式表达了函数在一个区间上的增量与拉格朗日公式表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系函数在该区间内某点处的导数之间的关系第第3章章 162021/6/16) 10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.，)()()(abfafbf ab 介介于于 和和 之之间间或或)()()(ababafafbf ,10 , 特别地特别地,或或.y 增增量量的的精精确确表表达达式式

12、拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：abafbff )()()( 第第3章章 172021/6/1612,Ixx在在区区间间 上上任任取取两两点点推论推论( ),f xI如如果果函函数数在在区区间间上上的的导导数数恒恒为为零零证证)()()(1212xxfxfxf ),()(21xfxf 则则.)(Cxf ( ).f xI那那末末在在区区间间上上是是一一个个常常数数,由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理有有由条件由条件,即在区间即在区间I中任意两点的中任意两点的函数值都相等函数值都相等, 所以所以,),(21xx 0)(21xx )()()(abfafbf 第第3章

13、章 182021/6/16例例0,ln(1).1xxxxx 证证明明当当时时证证),1ln()(xxf 上上在在, 0)(xxf),0)()0()( xffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 111 , 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即设设, 0 x)0(x 由由x 0 关键关键 满足拉格朗日中值定理的条件满足拉格朗日中值定理的条件,第第3章章 192021/6/16例例 证证，ababf lnln1)( ,ba ,111ab 1lnln1.babbaa 即即得得第第3章章 202021/6/16例例arcsinarccos(

14、 11).2xxx 证证明明证：证：( )arcsinarccos , 1,1f xxxx 设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf(0)arcsin0arccos0f 又又20 ,2 .2C 即即.2arccosarcsin xx000由推论由推论第第3章章 212021/6/16三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及及(1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续(2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导内可导(3)在开区间在开区间 ( a , b ) 内内至少存在一点

15、至少存在一点, ),(ba使使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFhbah0要证要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx第第3章章 222021/6/16证证: 作辅助函数作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且且, ),(ba使使, 0)(即即由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存在一点至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理

16、的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 第第3章章 232021/6/16柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意注意:xyo弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率第第3章章 242021/6/16)0() 1 (ff)0() 1 (FF例例 设设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2

17、xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点至少存在一点),1,0(使使证证: 结论可变形为结论可变形为设设则则)(, )(xFxf在在 0, 1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使使)(f )(F012即即)0() 1 (2)(fff证明证明第第3章章 252021/6/1611lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点), 1(e使使.lncos1sinlncos1sin

18、 证证: 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(则则 f (x) , F(x) 在在 1 , e 上满足柯西中值定理条件上满足柯西中值定理条件, 令令因此因此 11lncoslncos1sin即即分析分析:第第3章章 262021/6/16例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点), 1(e使使.lncos1sin法法2 令令xxflnsin)(则则 f (x) 在在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在因此存在x1xln1sin 第第3章章

19、272021/6/16内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理费马引理第第3章章 282021/6/164412 3412思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格

20、朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程方程第第3章章 292021/6/162. 若若)(xf可导可导, 试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点的零点. 提示提示: 设设,0)()(2121xxxfxf欲证欲证:, ),(21xx使使0)()(ff只要证只要证0)()(ffee亦即亦即0 )(xxxfe作辅助函数作辅助函数, )()(xfexFx验证验证)(xF在在,21x

21、x上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.第第3章章 302021/6/163. 思考思考: 在在0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当当,00 x时时. 0cos1问问是否可由此得出是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因为因为)(x是依赖于是依赖于 x 的一个特殊的函数的一个特殊的函数.因此由上式得因此由上式得表示表示 x 从右侧从右侧以任意方式趋于以任意方式趋于 0 .0 x应用拉格朗日中值定理得应用拉格朗日中值定理得上对函数上对函数第第3章

22、章 312021/6/16费马费马(1601 1665)法国数学家法国数学家, 他是一位律师他是一位律师, 数学数学只是他的业余爱好只是他的业余爱好. 他兴趣广泛他兴趣广泛, 博博览群书并善于思考览群书并善于思考, 在数学上有许多在数学上有许多重大贡献重大贡献. 他特别爱好数论他特别爱好数论, 他提出他提出的费马大定理的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的提炼出来的.第第3章章 322021/6/16拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国数学家、物理学家、天文学家法国数学家、物理学家、天文学家.被誉为被誉为“欧洲最大的数学家欧洲最大的数学家”. 他在方程他在方程论论, , 解析函数论解析函数论, ,及数论方面都作出了及数论方面都作出了重要的贡献重要的贡献, ,近百近百余年来余年来, 数学中的许多成就都直接数学中的许多成就都直接或间或间接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作, 他是对分析数学他是对分析数学产生全面产生全面影响的数学家之一影响的数学家之一.第第3章章