2.1求导法则ppt课件

1、第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则四、求导公式和法则四、求导公式和法则五、小结、作业五、小结、作业函数的求导法则 第二节学习重点学习重点导数的四则运算法则导数的四则运算法则复合函数，反函数的求导复合函数，反函数的求导2.2.1 2.2.1 函数的和差积商的求导法则函数的和差积商的求导法则( )( ) uu xvxv xx 如果函数及，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）在都点处也在点处可导可导， 且()uvuv()uvu vuv2( )0u

2、u vuvvvv （）()uvwu vwuv wuvw()CuCu你记住了你记住了吗？吗？21( )0vvvv （）特别特别推广推广2( )34sinfxxx32(2537)yxxx32(2 )(5 )(3 )(7)xxx22 35 23 0 xx 26103xx23( )424fsin2是 常 数322537yxxxy求例例1 设设解解3( )4cossin2f xxx( )()2fxf，求及例例2解解 3( )(sin )fxxx233sincosxxxx()uvuv uv2( )0uu vuvvvv （）2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx222cossincosx

3、xx21cos x2sec x2(tan )secxx 2(cot )cscxx 33() sin(sin )xxxx3( )sinf xxx( )fx求例例3 设设解解tanyxy求例例4sin(tan )cosxyxx解解导数公式导数公式(1)seccscyxyx和求下列函数的导数求下列函数的导数2(2)lnc os yxxxln (3) xyx(sec )sec tanxxx2 2lncosc oslnsin yxxxxxxxx 21l nxyx (csc )csc cotxxx21( )0vvvv （）2( )0uu vuvvvv （） ( ) yfxx可导，则复合函数在点 ( ) ,

4、 ( )uxxyf u如果在点 可导 而在点( )uxxuuyxydddddd xuxuyy 且且可可导导 ,( )( )f ux2.2.2 2.2.2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则或或对复合函数的分解比较熟练以后，就不必写对复合函数的分解比较熟练以后，就不必写复合函数的求导法则可以推广到多个中间复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形变量的情形. 例如例如, 设设),( ),( ),(xvvuufy 则复合函数则复合函数的的导导数数为为 )(xfy 注注出中间变量出中间变量.dydydudvdxdudvdx链式法则链式法则Chain Rule3,.uyeux 1cosxu1co

5、ssinxxcot x323xx e3()xdyedx33()xex323xx e也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量lnsin ,dyyxdx求例例5 设设3,xdyyedx求例例6 设设解解ln sinyx可分解为ln,yusinux解解 因为因为d yd yd ud xd ud x所以所以3xye可分解为可分解为d yd yd ud xd ud x所以所以代入代入dydydudvdxdudvdx1( sin )xveu 1( sin)cos()xxxeee tan()xxee 也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量lncos()xdyedx1cos()cos()xxeetan()x

6、xee 环环环环相扣相扣1( sin) ()cos()xxxeee 1( sin)cos()xxxeee lncos(),xdyyedx求例例7 设设ln,cos ,xyu uv veln cos()xye可 分 解 为解解求下列函数的导数求下列函数的导数123(12) yx2231(1 2) ( 4 )3xx1sin()xye1sin211cos()xexx 32(1)12yx1sin(2)xye2(3)1lnyx2112ln2 1lnyxxx 22111yxxxx 211x2221111xxxxx2ln(1),yxxy求例例9解解2212112 1xxxx2221(1)112 1xxxx2

7、.2.3 2.2.3 反函数的求导法则反函数的求导法则0000000()()0()()1()()yfxxfxfxxxyyfxyfx如 果 函 数在 点处 的 导 数 存 在 ，且，在 点的 某 一 邻 域 内 连 续 ，且 严 格 单 调 ， 则 其 反 函 数在 对 应 的点 可 导 ， 且 （ 。推广：推广：()()0()()xxyyfxIfxfxIxyI如 果 函 数在 区 间内 可 导 ， 且，在 区 间内 严 格 单 调 ， 则 其反 函 数在 对 应 的 去 间内 可 导 ， 且1)( )yfx（例例10 设设 ，求，求 arccosyxdydx解解 由于由于 的反函数为的反函数为

8、 arccosyxcos ,0, xy y所以所以11arccossincosxyy211x （因为（因为 ）(0, )y同理，可求得同理，可求得21cot1arcxx21arccos1xx 21arctan1xx即即21(arcsin)1xx 1logln.lnxxaxxaaaa 由反函数求导法则和公式推导指数函数的导数公式 解解 因为因为 的反函数是的反函数是xyalogaxy所以所以11lnln1loglnxxaayaaayya特别特别xxee2.2.4 2.2.4 基本导数公式基本导数公式( )0c1()xx (sin )cosxx (cos )sinxx 2(tan )secxx 2

9、(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx ()lnxxaaa ()xxee 1(log)lnaxxa 1(ln)xx 21(arcsin )1xx 21(arccos )1xx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 求下列函数的导数求下列函数的导数21(1)(arcsin1)2yxxx22(2)sinsinyxx222112(1)212 1xyxxxx 21x22221cos2(2sincos) sinsin22 sinxxyxxxxxx 22221cossin2sinsin2sinxxxxxxx 设圆的面积为设圆的面积为A A，半径为，半径为 ，如果半径，如果半径 以以3mm/s3mm/s的速度的速度增加，求面积增加，求面积A A的增加速度。的增加速度。rr解解因为因为2Ar2dAdrrdtdt所以所以而而3drdt6dArdt所以所以 小结小结2、反函数的求导法则注意成立条件）、反函数的求导法则注意成立条件）.3、复合函数的求导法则链式法则）（注意函数的、复合函数的求导法则链式法则）（注意函数的 复合过程）复合过程）.4 4、基本函数的导数公式。、基本函