统计学一元线性回归模型

1、统计学一元线性回归模型 第二章第二章 经典单方程计量经济学模型：经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型一元线性回归模型 The Classical Single Equation Econometric Model: Simple Linear Regression Model 统计学一元线性回归模型 本章内容本章内容 回归分析概述回归分析概述 一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的检验一元线性回归模型的检验 一元线性回归模型的预测一元线性回归模型的预测 实例及时间序列问题实例及时间序列问题 统计学一

2、元线性回归模型 2.1 2.1 回归分析概述回归分析概述 ( (Regression Analysis) ) 一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数二、总体回归函数 三、随机扰动项三、随机扰动项 四、样本回归函数四、样本回归函数 统计学一元线性回归模型 一、变量间的关系及回归分析一、变量间的关系及回归分析 的基本概念的基本概念 统计学一元线性回归模型 1 1、变量间的关系、变量间的关系 确定性关系或函数关系：研究的是确定性现象确定性关系或函数关系：研究的是确定性现象 非随机变量间的关系。非随机变量间的关系。 2 ,半径半径圆面积f 统计依赖或

3、相关关系：研究的是非确定性现象统计依赖或相关关系：研究的是非确定性现象 随机变量间的关系。随机变量间的关系。 施肥量阳光降雨量气温农作物产量,f 统计学一元线性回归模型 对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关 分析分析(correlation analysis)或回归分析或回归分析 (regression analysis)来完成的。来完成的。 相关分析适用于所有统计关系。相关分析适用于所有统计关系。 相关系数相关系数(correlation coefficient) 正相关正相关(positive correlation) 负相关负相关(negati

4、ve correlation) 不相关不相关(non-correlation) 回归分析仅对存在因果关系而言。回归分析仅对存在因果关系而言。 统计学一元线性回归模型 正 相 关 线 性 相 关 不 相 关 相 关 系 数 ： 统 计 依 赖 关 系 负 相 关 11 XY 有 因 果 关 系 回回 归归 分分 析析 正 相 关 无 因 果 关 系 相相 关关 分分 析析 非 线 性 相 关 不 相 关 负 相 关 统计学一元线性回归模型 注意：注意： 不存在线性相关并不意味着不相关。不存在线性相关并不意味着不相关。 存在相关关系并不一定存在因果关系。存在相关关系并不一定存在因果关系。 相关分析

5、对称地对待任何（两个）变量，两个变量相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量 都被看作是随机的。都被看作是随机的。 回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分 因变量（被解释变量）和自变量（解释变量），前因变量（被解释变量）和自变量（解释变量），前 者是随机变量，后者不一定是。者是随机变量，后者不一定是。 统计学一元线性回归模型 2 2、回归分析的基本概念、回归分析的基本概念 回归分析回归分析( (regression analysis) )是研究一个变量是研究一个变量 关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算关于另一个（些）变量的具体依赖关系

6、的计算 方法和理论。方法和理论。 其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计 和（或）预测前者的（总体）均值。和（或）预测前者的（总体）均值。 两类变量；两类变量； 被解释变量（被解释变量（Explained Variable）或因变量）或因变量 （Dependent Variable）。）。 解释变量（解释变量（Explanatory Variable）或自变量）或自变量 （Independent Variable）。）。 统计学一元线性回归模型 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主 要内容包括：要内容包括：

7、根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得 回归方程；回归方程； 对回归方程、参数估计值进行显著性检验；对回归方程、参数估计值进行显著性检验； 利用回归方程进行分析、评价及预测。利用回归方程进行分析、评价及预测。 统计学一元线性回归模型 二、总体回归函数二、总体回归函数 Population Regression Function, PRF 统计学一元线性回归模型 1 1、条件均值、条件均值（conditional mean） 例：一个假想的社区有例：一个假想的社区有99户家庭组成，欲研究户家庭组成，欲研究 该社区每月家庭消费支出该社区每月家庭

8、消费支出Y与每月家庭可支配与每月家庭可支配 收入收入X的关系。的关系。 即如果知道了家庭的月收入，即如果知道了家庭的月收入， 能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该为达到此目的，将该99户家庭划分为组内收入户家庭划分为组内收入 差不多的差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费组，以分析每一收入组的家庭消费 支出。支出。 统计学一元线性回归模型 表表 2.1.1 某某社社区区家家庭庭每每月月收收入入与与消消费费支支出出统统计计表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 290

9、0 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 14

10、96 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 2002 共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 统计学一元线性回归模型 由于不确定因素的影响，对

11、同一收入水平由于不确定因素的影响，对同一收入水平X， 不同家庭的消费支出不完全相同；不同家庭的消费支出不完全相同； 但由于调查的完备性，给定收入水平但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费的消费 支出支出Y的分布是确定的，即以的分布是确定的，即以X的给定值为条的给定值为条 件的件的Y的条件分布（的条件分布（Conditional distribution） 是已知的，例如：是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。 因此，给定收入因此，给定收入X的值的值Xi，可得消费支出，可得消费支出Y的的 条件均值（条件均值（conditional mean）或条件期望）或条件期望 （condi

12、tional expectation）：）：E(Y|X=Xi)。 该例中：该例中：E(Y | X=800)=605 统计学一元线性回归模型 描出散点图发现：随着收入的增加，消费描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平平 均地说均地说”也在增加，且也在增加，且Y的条件均值均落在一的条件均值均落在一 根正斜率的直线上。根正斜率的直线上。 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 5001000150020002500300035004000 每月可支配收入X（元） 每 月 消 费 支 出 Y （元） 统计学一元线性回归模型 2 2、总体回归函数、总体回归函数 在给定解

13、释变量在给定解释变量Xi条件下被解释变量条件下被解释变量Yi的期望的期望 轨迹称为总体回归线（轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线），或更一般地称为总体回归曲线 （population regression curve）。）。 相应的函数称为（双变量）总体回归函数相应的函数称为（双变量）总体回归函数 （population regression function, PRF）。）。 )()|( ii XfXYE 统计学一元线性回归模型 含义：回归函数（含义：回归函数（PRF）说明被解释变量）说明被解释变量Y的的 平均状态（总体条件

14、期望）随解释变量平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化变化 的规律。的规律。 函数形式：可以是线性或非线性的。函数形式：可以是线性或非线性的。 例中，例中，将居民消费支出看成是其可支配收入的将居民消费支出看成是其可支配收入的 线性函数时线性函数时: : ii XXYE 10 )|( 为线性函数。为线性函数。其中，其中， 0 0， 1 1是未知参数，称为是未知参数，称为 回归系数（回归系数（regression coefficients）。）。 统计学一元线性回归模型 三、随机扰动项三、随机扰动项 Stochastic Disturbance 统计学一元线性回归模型 总体回归函数说明在给定的收

15、入水平总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该下，该 社区家庭平均的消费支出水平。社区家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平 均水平有偏差。均水平有偏差。 称为观察值围绕它的期望值的离差称为观察值围绕它的期望值的离差 （deviation），是一个不可观测的随机变量，），是一个不可观测的随机变量， 又称为随机干扰项（又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或）或 随机误差项（随机误差项（stochastic error）。）。 )|( iii XYEY 统计学一元线性回归模型 例中，给定收入水平例中，

16、给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表个别家庭的支出可表 示为两部分之和：示为两部分之和： 该收入水平下所有家庭的平均消费支出该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称，称 为系统性（为系统性（systematic）或确定性（）或确定性（deterministic)部部 分；分； 其他随机或非确定性（其他随机或非确定性（nonsystematic)部分部分 i。 称为总体回归函数（称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表）的随机设定形式。表 明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外， 还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了还受其他因素

17、的随机性影响。由于方程中引入了 随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体 回归模型回归模型(PRM)。 统计学一元线性回归模型 随机误差项主要包括下列因素：随机误差项主要包括下列因素： 在解释变量中被忽略的因素的影响；在解释变量中被忽略的因素的影响； 影响不显著的因素影响不显著的因素 未知的影响因素未知的影响因素 无法获得数据的因素无法获得数据的因素 变量观测值的观测误差的影响；变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响；模型关系的设定误差的影响； 其它随机因素的影响。其它随机因素的影响。 统计学一元线性回归模型 关于随机项的说明：关于随

18、机项的说明： 将随机项区分为将随机项区分为“源生的随机扰动源生的随机扰动”和和“衍生的随衍生的随 机误差机误差”。 “源生的随机扰动源生的随机扰动”仅包含无数对被解释变量影响仅包含无数对被解释变量影响 不显著的因素的影响，服从极限法则（大数定律和不显著的因素的影响，服从极限法则（大数定律和 中心极限定理），满足基本假设。中心极限定理），满足基本假设。 “衍生的随机误差衍生的随机误差”包含上述所有内容，并不一定包含上述所有内容，并不一定 服从极限法则，不一定满足基本假设。服从极限法则，不一定满足基本假设。 在在9.39.3中将进一步讨论。中将进一步讨论。 统计学一元线性回归模型 四、样本回归函数

19、四、样本回归函数 Sample Regression Function, SRF 统计学一元线性回归模型 1 1、样本回归函数、样本回归函数 问题：能否从一次抽样中获得总体的近似信息？问题：能否从一次抽样中获得总体的近似信息？ 如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 在例的总体中有如下一个样本，能否从该样本在例的总体中有如下一个样本，能否从该样本 估计总体回归函数？估计总体回归函数？ 回答：能回答：能 表表 2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本 X 800 1100 1400 1700 2000

20、2300 2600 2900 3200 3500 Y 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 统计学一元线性回归模型 该样本的散点图（该样本的散点图（scatter diagram)： 画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体， 可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归 线（线（sample regression lines）。）。 样本回归线的函数形式为：样本回归线的函数形式为： iii XXfY 10 )( 称为称为样

21、本回归函数样本回归函数（sample regression function，SRF）。）。 统计学一元线性回归模型 注意：注意：这里将样本回归线样本回归线看成总体回归线总体回归线的近似 替代 则则 统计学一元线性回归模型 2 2、样本回归模型、样本回归模型 样本回归函数的随机形式：样本回归函数的随机形式： iiiii eXYY 10 式中， i e 称为（样样本本）残残差差（或剩剩余余）项项（residual） ，代表 了其他影响 i Y的随机因素的集合，可看成是 i 的估计量 i 。 由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型， 因此也称为因此也称为

22、样本回归模型（样本回归模型（sample regression model）。 统计学一元线性回归模型 回归分析的主要目的：根据样本回归函数回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF， 估计总体回归函数估计总体回归函数PRF。 iiiii eXeYY 10 iiiii XXYEY 10 )|( 统计学一元线性回归模型 2.2 2.2 一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设 (Assumptions of Simple Linear Regression Model) 一、关于模型设定的假设一、关于模型设定的假设 二、关于解释变量的假设二、关于解释变量的假设 三、关于随机项的假设三

23、、关于随机项的假设 统计学一元线性回归模型 说明说明 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型 提出若干基本假设。提出若干基本假设。 实际上这些假设与所采用的估计方法紧密相关。实际上这些假设与所采用的估计方法紧密相关。 下面的假设主要是针对采用普通最小二乘法下面的假设主要是针对采用普通最小二乘法 （Ordinary Least Squares, OLS）估计而提出的。）估计而提出的。 所以，在有些教科书中称为所以，在有些教科书中称为“The Assumption Underlying the Method of Least Squares”。 在不同

24、的教科书上关于基本假设的陈述略有不同，在不同的教科书上关于基本假设的陈述略有不同， 下面进行了重新归纳。下面进行了重新归纳。 统计学一元线性回归模型 1 1、关于模型关系的假设、关于模型关系的假设 模型设定正确假设。模型设定正确假设。The regression model is correctly specified. 线性回归假设。线性回归假设。The regression model is linear in the parameters。 iii XY 10 注意：注意：“linear in the parameters”的含义是什的含义是什 么？么？ 统计学一元线性回归模型 2 2、

25、关于解释变量的假设、关于解释变量的假设 确定性假设。确定性假设。X values are fixed in repeated sampling. More technically, X is assumed to be nonstochastic. 注意：注意：“in repeated sampling”的含义是什么？的含义是什么？ 与随机项不相关假设。与随机项不相关假设。The covariances between Xi and i are zero. 由确定性假设可以推断。由确定性假设可以推断。 cov(,)0,1,2, ()0,1,2, ii ii Xin E Xin 统计学一元线性回

26、归模型 观测值变化假设。观测值变化假设。X values in a given sample must not all be the same. 无完全共线性假设。无完全共线性假设。There is no perfect multicollinearity among the explanatory variables. 适用于多元线性回归模型。适用于多元线性回归模型。 样本方差假设。随着样本容量的无限增加，解样本方差假设。随着样本容量的无限增加，解 释变量释变量X的样本方差趋于一有限常数。的样本方差趋于一有限常数。 nQnXX i ,/)( 2 时间序列数据作时间序列数据作 样本时间适用样本

27、时间适用 统计学一元线性回归模型 3 3、关于随机项的假设、关于随机项的假设 0均值假设。均值假设。The conditional mean value of i is zero. 同方差假设。同方差假设。The conditional variances of i are identical.(Homoscedasticity) 由模型设定正确假设推断。由模型设定正确假设推断。 ()0,1,2, ii EXin 2 (),1,2, ii VarXin 是否满足需要检验。是否满足需要检验。 统计学一元线性回归模型 序列不相关假设。序列不相关假设。The correlation between

28、any two i and j is zero. 是否满足需要检验。是否满足需要检验。 ( ,)0, ,1,2, , ijij CovX Xi jn ij 统计学一元线性回归模型 4 4、随机项的正态性假设、随机项的正态性假设 在采用在采用OLS进行参数估计时，不需要正态性假进行参数估计时，不需要正态性假 设。在利用参数估计量进行统计推断时，需要设。在利用参数估计量进行统计推断时，需要 假设随机项的概率分布。假设随机项的概率分布。 一般假设随机项服从正态分布。可以利用中心一般假设随机项服从正态分布。可以利用中心 极限定理（极限定理（central limit theorem, CLT）进行）进

29、行 证明。证明。 正态性假设。正态性假设。The s follow the normal distribution. 22 (0,)(0,) ii NNID 统计学一元线性回归模型 5 5、CLRM CLRM 和和 CNLRMCNLRM 以上假设（正态性假设除外）也称为线性回归以上假设（正态性假设除外）也称为线性回归 模型的经典假设或高斯（模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足）假设，满足 该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归 模型（模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。）。 同时满足正态性假设

30、的线性回归模型，称为经同时满足正态性假设的线性回归模型，称为经 典正态线性回归模型（典正态线性回归模型（Classical Normal Linear Regression Model, CNLRM）。）。 统计学一元线性回归模型 2.3 2.3 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 (Estimation of Simple Linear Regression Model) 一、参数的普通最小二乘估计（一、参数的普通最小二乘估计（OLSOLS） 二、参数估计的最大或然法二、参数估计的最大或然法(ML) (ML) 三、最小二乘估计量的性质三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量

31、的概率分布及随机干四、参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计扰项方差的估计 统计学一元线性回归模型 一、参数的普通最小二乘估计（一、参数的普通最小二乘估计（OLSOLS） 统计学一元线性回归模型 1 1、最小二乘原理、最小二乘原理 根据被解释变量的所有观测值与估计值之差的根据被解释变量的所有观测值与估计值之差的 平方和最小的原则求得参数估计量。平方和最小的原则求得参数估计量。 22 01 11 ()() nn iiii MinQYYYX 为什么取平方和？为什么取平方和？ 统计学一元线性回归模型 2 2、正规方程组、正规方程组 该关于参数估计量的线性方程组称为该关于参数估计量的线性方程组称

32、为正规方程正规方程 组（组（normal equations）。）。 Q Q 0 1 0 0 0) ( 0) ( 10 10 iii ii XXY XY 统计学一元线性回归模型 3 3、参数估计量、参数估计量 求解正规方程组得到结构参数的普通最小二乘求解正规方程组得到结构参数的普通最小二乘 估计量（估计量（ordinary least squares estimators）及）及 其离差形式：其离差形式： 22 1 22 2 0 )( )( ii iiii ii iiiii XXn XYXYn XXn XYXYX 分布参数的普通最小二乘估计量分布参数的普通最小二乘估计量 XY x yx i i

33、i 10 2 1 2 2 2 n ei 统计学一元线性回归模型 4 4、“估计量估计量”（estimator）和）和“估计值估计值” ( (estimate) )的区别的区别 如果给出的参数估计结果是由一个具体样本资如果给出的参数估计结果是由一个具体样本资 料计算出来的，它是一个料计算出来的，它是一个“估计值估计值”，或者，或者 “点估计点估计”，是参数估计量的一个具体数值；，是参数估计量的一个具体数值； 如果把上式看成参数估计的一个表达式，那么，如果把上式看成参数估计的一个表达式，那么， 则是则是Y Yi i的函数，而的函数，而Y Yi i是随机变量，所以参数估是随机变量，所以参数估 计也是

34、随机变量，在这个角度上，称之为计也是随机变量，在这个角度上，称之为“估估 计量计量”。 统计学一元线性回归模型 二、参数估计的最大似然法二、参数估计的最大似然法(ML)(ML) 统计学一元线性回归模型 1 1、最大似然法、最大似然法 最大似然法最大似然法( (Maximum Likelihood,ML)，也称，也称 最大或然法，是不同于最小二乘法的另一种参最大或然法，是不同于最小二乘法的另一种参 数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来 的其它估计方法的基础。的其它估计方法的基础。 基本原理：当从模型总体随机抽取基本原理：当从模型总体随机抽取n组样本观组

35、样本观 测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型 中抽取该中抽取该n组样本观测值的概率最大。组样本观测值的概率最大。 ML必须已知随机项的分布。必须已知随机项的分布。 统计学一元线性回归模型 2 2、估计步骤、估计步骤 ), ( 2 10 ii XNY 2 10 2 ) ( 2 1 2 1 )( ii XY i eYP ),(), , ( 21 2 10n YYYPL 2 10 2 2 ) ( 2 1 )2( 1 ii n XY n e Yi的分布 Yi的概率函数 Y的所有样 本观测值的 联合概率 似然函数 统计学一元线性回归模型 2 10 2 * )

36、( 2 1 )2ln( )ln( ii XYn LL 0) ( 0) ( 2 10 1 2 10 0 ii ii XY XY 22 1 22 2 0 )( )( ii iiii ii iiiii XXn XYXYn XXn XYXYX 对数似然 函数 对数似然函 数极大化的 一阶条件 结构参数的 ML估计量 统计学一元线性回归模型 3 3、讨论、讨论 在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参 数的最大似然估计量与普通最小二乘估计量是数的最大似然估计量与普通最小二乘估计量是 相同的。相同的。 但是，分布参数的估计结果不同。但是，分布参数的估计结果不同。 n

37、 e ML i 2 2 : 2 : 2 2 n e OLS i 统计学一元线性回归模型 三、最小二乘估计量的性质三、最小二乘估计量的性质 统计学一元线性回归模型 1 1、概述、概述 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精 度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需 考察参数估计量的统计性质。考察参数估计量的统计性质。 准则：准则： 线性性线性性( (linear) )，即它是否是另一随机变量的线性，即它是否是另一随机变量的线性 函数；函数； 无偏性无偏性( (unbiased) )，即它的均值或期望值是否等于，即它

38、的均值或期望值是否等于 总体的真实值；总体的真实值； 有效性有效性( (efficient) )，即它是否在所有线性无偏估计，即它是否在所有线性无偏估计 量中具有最小方差。量中具有最小方差。 这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有 这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量 （best liner unbiased estimator, BLUE）。）。 统计学一元线性回归模型 当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量 的大样本或渐近性质的大样本或渐近性质( (asymptoti

39、c properties) )： 渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的 均值序列趋于总体真值；均值序列趋于总体真值； 一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率 收敛于总体的真值；收敛于总体的真值； 渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在 所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。 统计学一元线性回归模型 2、高斯、高斯马尔可夫定理马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下

40、，最小二乘估计在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。量是具有最小方差的线性无偏估计量。 下面分别对最小二乘估计量的线性性、无偏性下面分别对最小二乘估计量的线性性、无偏性 和有效性进行证明，作为不熟悉的同学的自学和有效性进行证明，作为不熟悉的同学的自学 内容。内容。 统计学一元线性回归模型 统计学一元线性回归模型 2 2、无无偏偏性性，即估计量 0 、 1 的均值（期望）等于总体回归 参数真值0与1 证：证： iiiiiiiiii kXkkXkYk 10101 )( 易知0 2 i i i x x k 1 ii Xk 故 ii k 11 1111 )()()

41、 ( iiii EkkEE 同样地，容易得出 0000 )()()() ( iiii EwEwEE 统计学一元线性回归模型 3 3、有有效效性性（最最小小方方差差性性） ，即在所有线性无偏估计量 中，最小二乘估计量0 、 1 具有最小方差。 (1)先求 0 与 1 的方差 )var()var()var() var( 2 10 2 1iiiiiii kXkYk 2 2 2 2 2 ii i xx x 22 10 2 0 )/1 ()var()var() var( iiiiii kXnXwYw 2 2 2 2222 2 211 2 1 i i iii x x XkX nn kXkX nn 2 2

42、2 2 2 22 2 2 2 1 i i i i i xn X xn Xnx x X n 统计学一元线性回归模型 （2）证明最小方差性 假设 * 1 是其他估计方法得到的关于1的线性无偏估计量： iiY c * 1 其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数 则容易证明 ) var() var( 1 * 1 同理，可证明0的最小二乘估计量 0 具有最的小方差 统计学一元线性回归模型 由于最小二乘估计量拥有一个由于最小二乘估计量拥有一个“好好”的估计量所应的估计量所应 具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性。 )/lim( )/lim( )lim()l

43、im()lim() lim( 2 1 2 111 nxP nxP x x PPkPP i ii i ii ii 111 0),( QQ XCov 统计学一元线性回归模型 四、参数估计量的概率分布及随机干四、参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计扰项方差的估计 统计学一元线性回归模型 1 1、参数估计量的概率分布、参数估计量的概率分布 ),( 2 2 11 i x N ),( 2 2 2 00 i i xn X N 统计学一元线性回归模型 2 2、随机误差项、随机误差项 的方差的方差 2 2的估计的估计 2又称为总体方差。又称为总体方差。 由于随机项由于随机项 i i不可观测，只能从不可观

44、测，只能从 i i的估计的估计残残 差差ei i出发，对总体方差进行估计。出发，对总体方差进行估计。 可以证明可以证明，2的最小二乘估计量最小二乘估计量为： 2 2 2 n ei 它是关于它是关于 2的无偏估计量。的无偏估计量。 统计学一元线性回归模型 在最大或然估计法中，求解似然方程：在最大或然估计法中，求解似然方程： 2 2的最大或然估计量不具无偏性，但却具有的最大或然估计量不具无偏性，但却具有 一致性一致性。 n e XY n i ii 2 2 10 2 ) ( 1 0) ( 2 10 2 1 2 * 2 22 ii n XYL 统计学一元线性回归模型 2.4 2.4 一元线性回归模型的

45、统计检验一元线性回归模型的统计检验 Statistical Test of Simple Linear Regression Model 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间三、参数的置信区间 统计学一元线性回归模型 说说 明明 回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总 体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总 体回归线。体回归线。 尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复 抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其抽样

46、，参数的估计值的期望（均值）就等于其 总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不 一定就等于该真值。一定就等于该真值。 那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的 差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行 统计检验。统计检验。 主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及 参数的区间估计。参数的区间估计。 统计学一元线性回归模型 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 Goodness of Fit, Coefficient of Determina

47、tion 统计学一元线性回归模型 1 1、回答一个问题、回答一个问题 对样本回归直线与样本观测值对样本回归直线与样本观测值 之间拟合程度的检验。之间拟合程度的检验。 问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证 了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要 检验拟合程度？检验拟合程度？ 统计学一元线性回归模型 2 2、总离差平方和的分解、总离差平方和的分解 ii XY 10 ) (YYy ii iiiiiii yeYYYYYYy) () ( Y Y的的i i个观测值与样本均个观测值与样本均 值的离差值的离差 由回归由回归

48、直线解直线解 释的部释的部 分分 回归直线不能回归直线不能 解释的部分解释的部分 离差分解为两离差分解为两 部分之和部分之和 统计学一元线性回归模型 统计学一元线性回归模型 对于所有样本点，则需考虑离差的平方和对于所有样本点，则需考虑离差的平方和： 记 22 )(YYyTSS ii 总体平方和总体平方和（Total Sum of Squares） 22 ) (YYyESS ii 回归平方和（回归平方和（Explained Sum of Squares） 22 ) ( iii YYeRSS残差平方和（残差平方和（Residual Sum of Squares ） 统计学一元线性回归模型 TSS=

49、ESS+RSS Y的观测值围绕其均值的总离差的观测值围绕其均值的总离差(total variation) 可分解为两部分：一部分来自回归线可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一，另一 部分则来自随机势力部分则来自随机势力(RSS)。 在给定样本中，在给定样本中，TSS不变，不变， 如果实际观测点离样本回归线越近，则如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在在 TSS中占的比重越大，因此中占的比重越大，因此 拟合优度：回归平方和拟合优度：回归平方和ESS/YESS/Y的总离差的总离差TSSTSS 统计学一元线性回归模型 3 3、可决系数、可决系数R R2 2统计量统计量 是一个非负的统

50、计量。取值范围：是一个非负的统计量。取值范围：00，11 越接近越接近1 1，说明实际观测点离回归线越近，拟，说明实际观测点离回归线越近，拟 合优度越高。合优度越高。 随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的 统计可靠性也应进行检验，这将在第统计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进章中进 行。行。 TSS RSS TSS ESS R1 2 统计学一元线性回归模型 二、变量的显著性检验二、变量的显著性检验 Testing Significance of Variable 统计学一元线性回归模型 说明说明 在一元线性模型中，变量的显著性检验就是判在一元线性模

51、型中，变量的显著性检验就是判 断断X X是否对是否对Y Y具有显著的线性性影响。具有显著的线性性影响。 变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学 中的假设检验中的假设检验。 通过检验变量的参数真值是否为零来实现显著通过检验变量的参数真值是否为零来实现显著 性检验。性检验。 统计学一元线性回归模型 1 1、假设检验（、假设检验（Hypothesis Testing） 所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分 布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判 断原假设是否合理，即判断样本

52、信息与原假设断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设 是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原 假设。假设。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。先假假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。先假 定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此 假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接 受原假设。受原假设。 判断结果合理与否，是基于判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易小概率事件不易 发生发生”这一原理的。这一原理的。 统计学一元线性回归模型 2、变量的显著性检验、变量的显著性检验t检

53、验检验 ),( 2 2 11 i x N )2( 1 11 22 11 nt S x t i 用2的估 计量代替， 构造t统 计量 1 1 S t 对总体参数 提出假设： H0：1=0， H1：10 统计学一元线性回归模型 由样本计算由样本计算t统计量值；统计量值； 给定显著性水平给定显著性水平(level of significance) ，查，查t分分 布表得临界值布表得临界值(critical value)t /2(n-2)； 比较，判断：比较，判断： 若若 |t| t /2(n-2)，则以（，则以（1）的置信度）的置信度 （confidence coefficient）拒绝）拒绝H0

54、，接受，接受H1 ； 若若 |t| t /2(n-2)，则以（，则以（1）的置信度不拒绝）的置信度不拒绝H0 。 自学教材自学教材p48p48例题，学会检验的全过程。例题，学会检验的全过程。 统计学一元线性回归模型 3、关于常数项的显著性检验、关于常数项的显著性检验 T T检验同样可以进行。检验同样可以进行。 一般不以一般不以t t检验决定常数项是否保留在模型中，检验决定常数项是否保留在模型中， 而是从经济意义方面分析回归线是否应该通过而是从经济意义方面分析回归线是否应该通过 原点。原点。 统计学一元线性回归模型 三、参数的置信区间三、参数的置信区间 Confidence Interval o

55、f Parameter 统计学一元线性回归模型 1 1、概念、概念 回归分析希望通过样本得到的参数估计量能够回归分析希望通过样本得到的参数估计量能够 代替总体参数。代替总体参数。 假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参 数可能的假设值的范围（例如是否为零），但数可能的假设值的范围（例如是否为零），但 它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离 总体参数的真值有多总体参数的真值有多“近近”。 要判断样本参数的估计值在多大程度上要判断样本参数的估计值在多大程度上“近似近似” 地替代总体参数的真值，需要通过构造一个以地替

56、代总体参数的真值，需要通过构造一个以 样本参数的估计值为中心的样本参数的估计值为中心的“区间区间”，来考察，来考察 它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数 值。这种方法就是参数检验的置信区间估计。值。这种方法就是参数检验的置信区间估计。 统计学一元线性回归模型 1) (P 如果存在这样一个区间，称之为置信区间；如果存在这样一个区间，称之为置信区间； 1-1- 称为置信系数（置信度）（称为置信系数（置信度）（confidence coefficient），）， 称为显著性水平；置信区间的端点称为显著性水平；置信区间的端点 称为置信限（称为置信限（conf

57、idence limit）。）。 统计学一元线性回归模型 2、一元线性模型中、一元线性模型中 i 的置信区间的置信区间 )2( nt s t i ii Pttt() 22 1 Pt s t ii i ( ) 22 1 Ptsts iii ii ( ) 22 1 T分布为双尾分布 (1-(1- ) )的置信的置信 度下度下, , i的置的置 信区间是信区间是 统计学一元线性回归模型 在上述收入收入- -消费支出消费支出例题中，如果给定 ，查 表得： 355. 3)8()2( 005. 0 2 tnt 由于019. 0 1 S45.44 0 S 于是， 1 1、 0 0的置信区间分别为：的置信区间

58、分别为： （0.6056,0.7344)0.6056,0.7344) （）（） 统计学一元线性回归模型 显然，在该例题中，我们对结果的正确陈述应显然，在该例题中，我们对结果的正确陈述应 该是：边际消费倾向该是：边际消费倾向1 1是以是以99%99%的置信度处于的置信度处于 以为中心的区间（以为中心的区间（0.6056,0.7344)0.6056,0.7344) 中。中。 回答：回答： 边际消费倾向等于的置信度是多少？边际消费倾向等于的置信度是多少？ 边际消费倾向以边际消费倾向以100%100%的置信度处于什么区间？的置信度处于什么区间？ 统计学一元线性回归模型 由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计 值与总体参数真值的值与总体参数真值的“接近接近”程度，因此置信程度，因此置信 区间越小越好。区间越小越好。 要缩小置信区间，需要要缩小置信区间，需要 增大样本容量增大样本容量n n。因为在同样的置信水平下，。因为在同样的置信水平下，n n越大，越大， t t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量， 还可使样本参数估计量的标准差减