凸函数的性质及其应用[共14页]

1、 编号编号 学学士士学学位位论论文文凸函数的性质及其应用凸函数的性质及其应用学生姓名： 胡 金 学 号： 20080102014 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 08 级 指导教师： 宋爱丽 完成日期： 2012 年 4 月 30 日I / 28摘要凸函数是数学分析中的一个重要的概念,本文首先给出了凸函数的定义,然后给出了凸函数的几种性质及其等价性质,其次叙述凸函数常用的几种判别方法,最后给出凸函数在微分学,积分学,不等式证明及在高考数学中的应用。关键词：关键词：凸函数；定义；性质；判别；The nature of the convex function and its

2、applicationAbstractConvex function is one of the important mathematical analysis of the concept, this paper presents the definition of the convex function, and then gives some properties of convex function and its equivalent properties, second narrative convex function of several normal identifying

3、method, and finally gives convex function in differential calculus, the integral calculus, inequality certificate and the application in mathematics.Key words：convex function；definition； properties；discriminant.II / 28目录摘要 .IABSTRACTABSTRACT .I引言 .11.1.凸函数的等价刻划 .11.1 凸函数的定义.11.2 连续条件下凸函数的等价刻划.41.3 一

4、阶导数存在下凸函数的等价刻划.41.4 二阶导数存在下凸函数的等价刻划.61.5 补充定理.62.2.凸函数的性质 .6性质 2.1.6性质 2.2.8性质 2.3.9性质 2.4.10性质 2.5.103.3. 凸函数的应用 .123.1 在微分学中的应用.123.2 凸函数的积分性质.143.3 利用凸函数的性质证明不等式.173.4 用凸函数的性质分析高考题.21参考文献 .24结束语结束语 .25致谢 .251 / 28引言凸函数是一类重要的函数,它的的概念最早见于 jensen1905著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用,现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分

5、学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破,加强它们在实践中的应用,产生了广义凸函数。对于凸函数的研究,在数学分析的多个分支都有用处,特别是在函数图形的描绘和不等式的证明推导方面,凸函数起着十分重要的作用凸函数有其良好而独特的性质,由于凸函数理论的广泛性及其在数学各个领域都有广泛的应用,因此还应该对凸函数的理论作进一步的探讨,本文在已有的研究基础之上,总结了凸函数常用的定义及其等价关系,而后给出其一些很好的性质,利用这些性质将有助于我们解决许多不等式问题,在本文的第三部分将会详述。1.1.凸函数的等价刻划1.11.1 凸函数的定义凸函数的定义定义定义 1 1 设在区间 I 上有定

6、义,在区间 I 称为是凸函数当且仅当:( )f x( )f x,有上式中“”改成12,(0,1)x xI 1212(1)()(1) ()fxxf xf x“”则是严格凸函数的定义.（1905 年丹麦数学家 jensen 首次给出如下定义）定义定义 2 2 ：设在区( )f x间 I 上有定义, 在区间 I 称为是凸函数当且仅当:有( )f x12,x xI1212()().22xxf xf xf定义定义 3 设在区间 I 上有定义, 在区间 I 称为是凸函数当且仅当：( )f x( )f x2 / 28,有 1,2,.,nx xxI1212.()(). ().nnxxxf xf xf xfnn

7、引理引理 1 1 定义 2 与定义 3 等价。证明证明 定义 3定义 2 只需取即可,定义 2定义 3 用数学归纳法2n （1） 由定义 2,时定义 3 显然成立,而时,有：2n 4n 1234,x x x xI3412341212342222422xxxxxxxxffxxxxff 1234()()()()4f xf xf xf x即对于也成立,对于任意自然数,将定义 2 中式子应用到 n 次,有：4n n,即定义 3 对于成立121222.()().()22nnnnxxxf xf xf xf2nk （2） 设当时,定义 3 中式子成立1kn即,令,则121121.()().()11nnxxx

8、f xf xf xfnn12.nxxxAn,则,由于定义 3 中式子对于12.nxxxnA12.1nxxxAAn成立,故1kn1212.()().()( )( )()11nnxxxAf xf xf xf Af Afnn不等式两端同乘,再减去,再除以,得到：1n( )f An,则定义 3 中式子对于一切自然1212.()().()()nnxxxf xf xf xfnn数成立。引理引理 2 2 若连续,则定义 1,2,3 等价( )f x证明证明 （1）定义 1定义 2,在定义 1 中令,可得：12 12121212()()()(1)()(1) ()22xxf xf xffxxf xf x12,x

9、 xI3 / 28（2）定义 2定义 1 ,为任意实数.12,x xI(0,1)若为有理数,设（为自然数）mn,mn m n121112221212().(1)(1)mxnm xxxxxxxmmfxt xfxxffnnnn11221212().()().()()(1) ()()(1) ()f xf xf xf xmmf xf xf xf xnnn若为无理数,则存在有理数列,使,由的连续性(0,1)(0,1)nlimnn( )f x121212(1)lim(1)lim(1)nnnnnnfxxfxxfxx1212lim()(1) ()()(1) ()nnnnf xf xf xf x即定义 1 中式

10、子对任意成立。(0,1)由引理 1 可知定义 2 与定义 3 等价,故定义 1、2、3 等价。事实上函数如果为凸函数我们可以断定此函数一定连续,下面我们给出( )f x一定理对此进行阐释。定理定理 1 1 若函数在 I 上有定义且是凸的,则函数是 I 上的连续函数。( )f x( )f x证明证明：在区间上任取一点,总存在一个闭区间,且。I0 x , a bI0 , xa b从而在有界,即,满足。取点的邻域( )f x , a b, , M Nxa b ( )Nf xM0 x,且该邻域含于内,不妨设,且令,则0 xx( , )a b00 xx0 xxt。当时,有,且01t 00 xxx00()

11、(1)xt xt x。由凸函数的性质得：001()11txxxtt000( )()(1) ()(1) ()f xtf xt f xMtt f x4 / 28即有： （1）00( )()()f xf xt Mf x及 001()( )()11tf xf xf xtt即有： （2）00( )()()f xf xt f xM由（1） （2）式可知：00001( )()()()f xf xt f xMf xM xx当时,有。故在处右连续。当时,0 xx0( )()f xf x( )f x0 x00 xxx同样可证在处左连续。 ( )f x0 x证毕1.21.2 连续条件下凸函数的连续条件下凸函数的等价

12、刻划等价刻划定理定理 2 2 设函数在区间内有定义,在连续：( )f x( , )a b( )f x( , )a b,12,( , )x xa b2112121221()()1( )22xxxxf xf xxxff t dtxx则称为区间上的凸函数。( )f x( , )a b1.31.3 一阶导数存在下凸函数的等价刻划一阶导数存在下凸函数的等价刻划定理定理 3 3 在区间 I 上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲( )f x( )yf x线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线( )f x为严格凸的。( )f x定理定理 4 4（判定定理）（判定定理） 设在区间

13、 I 上有导数,则在 I 上为凸函数( )f x( )f x的充要条件是递增. ( )()fxIx5 / 28证明证明 （充分性）,不妨设及记12,x xI12xx （0, 1）,则,或12(1)xxx1212( )(1)()(1) ()f xfxxf xf x (1)12( )()(1) ()0f xf xf x由于 (1)式等价于( )( )(1) ( )f xf xf x (2) 12 ( )()(1) ( )()0f xf xf xf x应用定理,使得Largrange12,:,xx ,1212 ( )()(1) ( )()( )()(1)( )()f xf xf xf xfxxfxx

14、但,112121(1)(1)()xxxxxxx.212212(1)()xxxxxxx故（2）式左端=12 ( )()(1) ( )()f xf xf xf x221( )(1)()(1)( ) ()fxxfxx 21(1)()( )( )xxff按已知条件递增,得知,从而上式0,(2)式获证( )()fxIx( )( )ff（必要性）由定理 1 的推论 4,在内为递增的,因存在,故( )fx0I( )fx亦在内为递增的,若 I 有右端点 b,按照已知条件 f 在 b 点有左导( )( )fxfx0I数,易知:0 xI ( )( )( )( )( )( )f xf bfxfxfbf bxb同理,

15、若 I 有左端点 a,则即在 I 上为递增的。( )( ),fafx( )fx6 / 281.41.4 二阶导数存在下凸函数的等价刻划二阶导数存在下凸函数的等价刻划定理定理 5 5（判定定理）（判定定理） 若在区间 I 上有二阶导数,则在 I 上为凸( )f x( )f x函数的充要条件是：。( )0fx证明：证明：（必要性）在内的充要条件是在内为递增,由定理I( )0fx( )fxI4 即证得。 （充分性）若在内,知是内的不减函数,再由定理I( )0fx( )fxI4 即得证。1.51.5 补充定理补充定理引理引理 3 3 区间上的函数是一个凸函数的充分必要条件为：对于区间上IfI的任意三点

16、,当时,有：321,xxx321xxx 0)()()()()()(312231123xfxxxfxxxfxx证明：证明：此式子即为性质 2.1 中式子的变式。2.2.凸函数的性质性质性质 2.12.1 设在区间 I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要( )f x求对任意, 保持成立）：123,x x xI123xxx（i）在 I 上为凸函数 （1） ( )f x（ii） （2）2121()()f xf xxx3131()()f xf xxx7 / 28(iii) （3）31323132()()()()f xf xf xf xxxxx(iv) （4）2121()()f xf xxx3232

17、()()f xf xxx推论推论 1 1 若在区间 I 上为凸函数,则 I 上任意三点,有( )f x123xxx。2121()()f xf xxx3131()()f xf xxx3232()()f xf xxx推论推论 2 2 若在区间 I 上的凸函数,则过的弦的斜率 ( )f x0,xI0 x( )k x 是 x 的增函数（若为严格凸的,则严格增） 。00( )()f xf xxxf( )k x推论推论 3 3 若是区间 I 上的凸函数,则 I 上任意四点 stu0,( , )hha b若取.由凸性,12, ,x x 12,xx32xxh（其中分别表示在32212132()()()()f

18、xf xf xf xMmxxxxhM,m( )f x上的上下界）,从而 (2),hh2121()()Mmf xf xxxh若 可取由的凸性,有, 从21,xx32,xxh( )f x 23122312()()()f xf xf xf xxxxx而 由此可得(2)式成立. 21322132()()()f xf xf xf xMmxxxxh若,则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切皆成立.12xx12, ,x x 因此（2）式当与互换位置也成立,故有,令1x2x2121()()Mmf xf xxxh则（1）式也获证.,MmLh例例 3 3 设为区间内的凸函数,并且有界,试证极限 与( )f

19、x( , )a blim( )xaf x14 / 28存在.lim( )xbf x证明证明 设时为内任意三点,根据的凸x （a, b）10 xf (x)M , xx( , )a b( )f x性,当 x 递增时也递增.又因为00( )()f xf xxx,根据单调有界原理,有极限 0010010( )()()()f xf xMf xxxxxxxx 000( )()limxbf xf xAxx 从而 亦存在000000( )()lim( )lim ()()()()xbxbf xf xf xxxf xA bxf xxx3.23.2 凸函数的积分性质凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续

20、性） 、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例例 4 4 设是区间a,b上的凸函数,则)(xf。)2(bafdxxfabba)(12)()(bfaf证明证明 设是上的凸函数,故有意义,当 x时,)(xfba,dxxfba)(bba,2a+b-x,2,baa故 =)2(baf)2(xxbaf)()(21xfxbaf即 )()(xfxbaf)2(2baf15 / 28又因 = ,dxxfba)(bbabaadxxfdxxf22)()(令 x=a+b-u 得 =-=.2)(baadxxfbbaduubaf2)(bbadxxbaf2)(故 = =（b-dxxfba)(b

21、badxxfxbaf2)()(bbadxbaf2)2(2a）)2(baf从而 )2(bafbadxxfab)(1作变换 t=,则有abxb =（b-a）dxxfba)(dtbabttaf01)()1 (10)1 (dtbtta = =. .10)()1 ()()(dxbftatfab2)()()(bfafab从而 badxxfab)(12)()(bfaf综上知 .)2(bafbadxxfab)(12)()(bfaf例例 5 5 设函数在上递增,试证 函数为凸( )g x , a b( , ),ca b ( )( )xcf xg x函数.证明证明 因 递增,积分有意义.且( )g x123xxx

22、212122121()()1( )()xxf xf xg x dxg xxxxx32323232()()1( )xxf xf xg x dxxxxx故由性质 1 知为凸函数。( )f x16 / 28例例 6 6 设为上的凸函数,证明 有( )f x , a b,( , )c xa b （1）( )( )( )( )xxccf xf cft dtft dt证明证明 因为凸函数, 由性质 1 推论 4 ,存在且递增（当( )f x( )ft( )ft）.故(1)中的积分有意义.对任作一分划 ( , )ta b c, x有 参看性质 2,我012.,ncxxxxx11( )( ) ( )().ni

23、iif xf cf xf x们有111( )()()(),iiiiif xf xfxxx 11( )()( )()iiiiif xf xfxxx于是由.(1)式知 111()()( )( )niiiifxxxf xf c .11( )()niiiifxxx将分划无限分细,令1max()0,iixx取极限可知 ( )( )( ).xcfx dxf xf c同理有 ( )( )( ).xcfx dxf xf c例例 7 7 设 是上的一个凸函数,则对于,f0, 0bbbayx,时byxyx,有 . （a）yxyxdttfxydttfyx)(1)(10证明证明 不妨设,当时,（a）显然成立,当时,设

24、yx 0 x0 x ,xdttfxxF0)(1)(17 / 28那么由已知性质,函数 F 任是上的凸函数,而由引理 3 得b, 0yxyx.0)()()()(yxFxyyyFxxF即 0)()()(000 xxyxdttfyxxydttfdttf再注意到既得所证不等式。xydttfdttfdttfyxyx,)()()(003.33.3 利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由性质 4 证明了不等式,并且利用不等式证明了几个复杂的不等式.HolderJensen例例 8 8 设 证明 352x21231532 19xxx 证明证明

25、 由于函数在区间上是凸函数,由凸函数的性质,即性yx0,)质 4 有 21231531123153xxxxxxx 1123 15342144xxxxx 由于不可能同时相等,从而有1,23,153xxx21231532142 19xxxx 例例 9 9 设函数是区间上的凸函数,对于( )f x0,) 则 12,.(0,),nx xx1212()().()(1) (0)+ (.)nnf xf xf xnff xxx证证 明明 由于,则由性质 1 中（4）式,有120.iinnxxxxxx 1212( )(0)()( )(.)()0.iininniininnf xff xxf xf xxxf xxx

26、xxxxxx18 / 28 即12121( )(0) (.)().iinnnxf xff xxxf xxxx令,对上式两边求和,有1,21in1121 ( )(0)(.)()ninnif xff xxxf x 即1212()().()(1) (0)(.)nnf xf xf xnff xxx例例 1010 设及则有(赫尔111,1,10,0(1,2,., )iiabinHolder德)不等式成立： 当且仅当与成正比例时等号成立.11111() ()nnniiiiiiiababiaib证明证明 取=,因为( )f x(1,0)xx (1,0)xx ,所以在上为凸函数,由性质 4 得:2( )(1)

27、0fxx ( )f xx(0,) 1 1221 1221212.().nnnnnnt xt xt xt xt xt xtttttt即 , 亦即 1111()()()nnniiiiiiiit xt xt11111() ()nnniiiiiiiit xt xt令 则有,于是有 ,11111111111() ()nnniiiiiiiit xt xt令 ,则有111111() (),nnniiiiiiiiiiiiit xt xttbxta11111() ()nnniiiiiiiabab 当与成正比例时,即 (为正常数,)iaibiiakbk1,21,inn111111111111() ()()nnnn

28、niiiiiiiiiiiiiabkbk babab19 / 28当与不成正比例时, 不全相等,又因为在为严格凸函数,iaibit( )f xx(0,)故严格不等式成立。例例 1111 设和 是两组正数, .证明 12,na aa12,nq qq11niq 。 111 1nqqnnnaq aq aa证明证明 要证原不等式即要证明 。 111 1ln.lnln(.)nnnnqaqaq aq a令,则由于,所以为凹函数,由不等式( )lnf xx(0)x 21( )0fxx fJensen 即得所证。1 11122(.)()().()nnnnf q aq aq f aq f aq f a例例 121

29、2 证明12.0(1,2,.),1,ninaaaaipAn设1111mmppnnnnnpAAap证明证明 设,则00A 1111111(1)11mmmmppppnnnnnnnnnnnppAAaAAnAnApp 11111(1)11mmmpppnnnnnnnppAnAnAApp (1)111111(1)(1)11pmmpppnnnnnpnpAnAnApp（用不等式）Holder11(1)11111111(1)(1)11pppppppmmmpppnnnnnnpnpAnAnApp20 / 28 1111111(1)(1)11mmmpppnnnnnnpnppAnAnApppp 1111(11)11mm

30、ppnknkpnAnkApp111(11)11mmppnknkpnAnkApp 1(11)011mpnnpnnAnpp 所以 1111mmppnnnnnpAAap由于不等式中等号成立的条件是均为常数,而,Holder1(1,2,.,)nnAnmA00A 这实际上是不可能的,所以上式中的等号不成立。例例 1313 证明不等式,其中均为正数.3a b cabca b c （abc）, ,a b c证证 明明 设,由可见( )ln ,0f xxx x1( )ln1,( )fxxfxx在时为严格凸函数.由不等式有( )lnf xxx0 x Jensen,1() ( )( )( )33abcff af

31、bf c从而.即1ln( lnlnln )333abcabcaabbcc3a b cabcabca b c （）又因 , 所以 。33abcabc3a b cabca b c （abc）例例 1414 应用不等式证明：设,有 Jensen0(1,2,. )iina 121212111nnnnaaaaaana aan21 / 28证明证明 取函数, . 因为是区间( )lnf xx(0,)x21( )0,fxx f上严格凹函数,则对及(0,)12,.(0,)na aa1(1,2,. ),iin nNn1. ,则上式等号成立 ; 12.naaa2.若不全相等,则由不等式 1,2,.,na aaJe

32、nsen11()( )nniiiiiifaf a即12121211ln(.)lnln.lnln(.)nnnaaaaaaa aannnnn1111nniiiiiiffaa即121212111111111ln(.)(lnln.ln)ln.nnnnanananaaana aa12111111ln(.)lnln.nnna aaaaan 因为在上单调递增,综合结论得f(0,),命题成立。121212111.nnnnaaaaaana aan3.43.4 用凸函数的性质分析高考题用凸函数的性质分析高考题在高中数学学习中,我们会经常见到凸函数,最后我们来看看在高考中利用凸函数的性质证明不等式的例子。例例 1515 求证：对于任意,函数,都有),21(,21xx132)(23xxxf.（2009 扬州高考模拟真题）2)()()2(2121xfxfxxf22 / 28证明证明 由定义一欲证,只要证在是凸2)()()2(2121xfxfxxf)(xf),21(函数. , , ,当时,.xxxf343)(2346)( xxf),21(x0)( xf则由凸函数的性质是凸函数,则有.)(xf2)()()2(2121xfxfxxf例例 1616 （2005 高考数学全国卷 理科第 22 题） （）设函数log+log。求得最小值。xxf)(x2)1