周期信号的频谱分析——傅里叶级数

1、3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析主要内容主要内容两种形式的傅氏级数两种形式的傅氏级数 三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数 两种傅氏级数关系两种傅氏级数关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系一背景一背景 J. Fourier(1768-1830)1807: 1822:发表发表“热的分热的分析理论析理论”提出并证提出并证明了将周期函数展明了将周期函数展开为正弦级数的原开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶理，奠定了傅里叶级数的理论基础。级数的理论基础。 11)1(111)12c

2、os(121)1(2)5cos(51)3cos(31)cos(2)(nntnnEtttEtf 4T4T 2EP.104 吉布斯(Gibbs)现象 1112 , TTtf 基波角频率为基波角频率为周期为周期为的的周期信号周期信号设设若它满足若它满足狄氏条件狄氏条件，则可展开为，则可展开为Fourier级数级数 1-3 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 称上式为三角形式的傅里叶级数称上式为三角形式的傅里叶级数二三角函数形式的傅里叶级数二三角函数形式的傅里叶级数1.1.级数形式级数形式 (P.94)(P.94)2.2.如何求系数如何求系数? ?三角函数集 1110sincos)(n

3、nntnbtnaatf 直流分量直流分量)23(d)(110010 TttttfTa余弦分量的幅度余弦分量的幅度 )33(dcos)(210011 TttnttntfTa 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 )43(dsin)(210011 TttnttntfTb 3. 其他形式其他形式,00ac ,22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式 (见教材见教材P.95) 5)-(3 cos)(110 nnntncctf 1110sincos)(nnntnbtnaatf 的的线线性性组组合合。基基波波角角频频率率的的整整数数倍倍）（

4、）和和各各次次谐谐波波，基基波波（周周期期信信号号可可分分解解为为直直流流:11 n关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图； nc关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。 n4. 幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性(频谱图频谱图)试画出其幅度谱和相位谱。试画出其幅度谱和相位谱。，)42cos(cos2sin1)(111 ttttf 已已知知)42cos()15. 0cos(51)(11 tttf 1, 2, 1110 baa24. 2521211 bac,21tan1 nnab 由由 的表达式可知的表达式可知 )(tf将将 化为余弦形式化为余弦形式)(tf解：解：,15. 0

5、)21arctan(1 10 c00 236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图)42cos()15. 0cos(51)(11 tttf 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 周期信号频谱的主要特点：它是周期信号频谱的主要特点：它是离散谱离散谱具有具有谐波性。谐波性。 三.指数函数形式的傅里叶级数1. 复指数正交函数复指数正交函数集集 2, 1, 0 e1j ntn 2. 级数形式级数形式3. 系数系数 10-3 e)()(1j1tnnnFtf de )(1110j1 TtnttfT nF 也也可可写写为为)

6、113(de)(1)(1001j11 TtttnttfTnF 的的线线性性组组合合。信信号号周周期期信信号号可可分分解解为为指指数数tn1je 四两种系数之间的关系及频谱图四两种系数之间的关系及频谱图 110j11de )(1)(TtnttfTnF 11011011dsin)(1jdcos)(1TTttntfTttntfT nnbaj21 110110111dsin)(1jdcos)(1)(TTttntfTttntfTnF nnbaj21 nnFnF j11e)( 是是复复数数)(),(11 nFnF nnncbanF2121)(221 相频特性相频特性 nnnabarctan 幅频特性和相频

7、特性幅频特性幅频特性 的奇函数的奇函数关于关于的偶函数的偶函数关于关于取正值取正值实际实际的奇函数的奇函数关于关于取正值取正值实际实际的偶函数的偶函数关于关于 )()( )( )( )( 1111nnFnFnFnbnann 三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图， 42coscos2sin1)(111ttttf 例小结（1）周期信号）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱）周期信号的频谱是离散谱（2）两种频谱图的关系）两种频谱图的关系（4）引入负频率）引入负频率(1)傅里叶级数的两种形式傅里叶级数的两种形式 1

8、10cosnnntncc 三角形式三角形式指数形式指数形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf tnnnFtf1j1e)()( 110j11de)(1TtnttfTnF 0001021)(acFncnFn (2)(2)两种频谱图的关系两种频谱图的关系)()( 11 nn 相相位位频频谱谱为为奇奇函函数数 nnc，三三角角函函数数形形式式：单边频谱单边频谱 nnF，指指数数函函数数形形式式：双边频谱双边频谱关系关系)()( 11 nFnF 偶偶函函数数指指数数形形式式的的幅幅度度频频谱谱为为处处现现在在频频率率只只出出谐谐波波性性：（离离散散性性），1n(4)(4)引入负频率引入负

9、频率对于双边频谱，负频率对于双边频谱，负频率)(1 n，只有数学意义，而无，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率物理意义。为什么引入负频率? ? 的的实实函函数数的的性性质质不不变变。，才才能能保保证证和和数数，必必须须有有共共轭轭对对是是实实函函数数，分分解解成成虚虚指指)(ee11jjtftfnn （3 3）周期信号的频谱是离散谱）周期信号的频谱是离散谱为实函数。为实函数。项。项。项，只含直流项和余弦项，只含直流项和余弦傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦)(1 nF)()(tftf )(tfOtTET 0 nb nnnnabanFF21j21)(1 0 n 1. 偶函数偶函数

10、五函数的对称性与傅里叶级数的关系五函数的对称性与傅里叶级数的关系2奇函数)()(tftf )(tfOtTT 11 为为虚虚函函数数。量量，傅傅里里叶叶级级数数中中无无余余弦弦分分)(1 nF 0= d)(1 220 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2010dsin)(4TttntfT 0 6 , 4 , 2 nnban时时3奇谐函数f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即)(tfOtTT 2T 2)(Ttftf若波形沿时间轴平移半若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不下反转