第四章 特殊变换及其矩阵

1、第三章第三章 特殊变换及其矩阵特殊变换及其矩阵1、正规变换与正规矩阵、正规变换与正规矩阵正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换（对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等（对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等的推广和抽象，即只关心永恒的主题的推广和抽象，即只关心永恒的主题-“对角化对角化”的问题。这又一次体现出现代的问题。这又一次体现出现代数学高度的数学高度的抽象抽象和和统一统一。链接链接：现代数学的特点与意义现代数学的特点与意义，孙小礼、杜珣，孙小礼、杜珣，大学数学大学数学，1992，2（或（或 杜珣杜珣现代数学引论现代数学引论序言序言）或其他。）或其他。.ABIBA

2、 两方阵两方阵 互逆的条件是成立关系式互逆的条件是成立关系式,A B从纯代数角度看，如果从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制去掉乘积为单位矩阵的限制， 两矩阵是可交换矩阵。两矩阵是可交换矩阵。联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两再限定两矩阵互为转置矩阵互为转置，即要求成立，即要求成立 ，情况又如，情况又如何？何？TTAAA A 显然对称矩阵显然对称矩阵 和反对称矩阵和反对称矩阵 都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具有性质有性质 的矩阵就的矩阵就“一统江湖一统江湖”，具有，具有了统一性

3、，我们称之为了统一性，我们称之为正规矩阵正规矩阵。()TAA ()TAA TTAAA A 对称矩阵最主要的性质是对称矩阵最主要的性质是可以对角化可以对角化，尤其是可以，尤其是可以正正交对角化交对角化，推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留，推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留呢？呢？酉空间酉空间 上的线性变换上的线性变换 称为称为 上的一个上的一个，如果，如果存在存在 的的标准正交基标准正交基及对角矩阵及对角矩阵 满足满足并称并称 在标准正交基下的矩阵表示为在标准正交基下的矩阵表示为。V12,n L L, ,VVT1212( (),()(,)nnT T D= =L LL L) ), , T T

4、( (, ,12(,)nDdiag d dd L L, ,T一、正规变换一、正规变换(Normal Transformation)对于复方阵（或实方阵）对于复方阵（或实方阵） ，如果存在酉，如果存在酉矩阵矩阵 或正交矩阵或正交矩阵 ，使得，使得或或则称则称 。UQAB、A1HUAUUAUB- -= = =1TQ AQQAQB- -= = =B显然过渡矩阵显然过渡矩阵 是酉矩阵（是酉矩阵（请试试自己证明一下请试试自己证明一下）U 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似酉相似的。的。证明证明：设正规变换设正规变换 在在 的两组标准正交基的两组标准正交基

5、和和 下的矩阵表示下的矩阵表示分别为分别为 ，并设，并设AB、12,nL L, ,VT12,n% % % %L L, ,1212(,)(,)nnU= =% % % %L LL L, , ,因为因为 12(,)HnUA U= =% % % %L L, ,) ), ,T T ( (12(),()nTT= =% % % %L L12(),()nTTU= =L L) ), ,T T ( (12(,)nA U= =L L, ,12(,)nB% % % %L L所以所以 ，结论成立。，结论成立。HBUA U= =根据定理根据定理3 3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵，正规变换在任一标准正交基下的矩阵表示

6、必定酉相似于对角阵。表示必定酉相似于对角阵。二、正规矩阵的等价定义二、正规矩阵的等价定义.HU AUT= =100多年前多年前(1909年年)给出的给出的Schur 引理是矩阵理论中引理是矩阵理论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。计算中也具有相当重要的地位。并称并称 为方阵为方阵 的的。AHAUTU= =( ( Schur 引理引理 ) ) 任何复方阵任何复方阵 必必酉相似酉相似于于一个一个上三角阵上三角阵 。即存在酉矩阵。即存在酉矩阵 ，使，使AUT根据根据Schur引理，引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙

7、可以推出正规矩阵的一个相当美妙的性质，此性质经常被当作的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义正规矩阵的等价定义。方阵方阵 是正规的，当且仅当是正规的，当且仅当A.HHAAA A= =为证明这个结论，再给出一个为证明这个结论，再给出一个引理引理。满足满足 的三角阵的三角阵 必是必是对角阵。对角阵。THHTTT T= =证证明明22221|i ii nii itttt HHTTT T= =对上三角阵对上三角阵 ，比较等式，比较等式()i jTt 两边乘积矩阵在第两边乘积矩阵在第 行第行第 列位置上的元素列位置上的元素 ，并注，并注意到意到 ，因此对，因此对 ，有，有ii0 ()i jtij 1

8、,2,in 22221112111|ntttt 当当 时，有时，有 1i 可知可知10 (2,3, )jtjn i对对 施行归纳法，可得施行归纳法，可得 ，证毕。，证毕。0 ()i jtij定定理理 5 的的证证明明。如果。如果 是正规矩阵，那么存在酉是正规矩阵，那么存在酉矩阵矩阵 及对角阵及对角阵 ，使得，使得HAUDU AUD因此因此()()HHHHHAAUDUUDUUDDU ()()HHHHUDDUUDUUDUA A 。根据。根据Schur引理引理，存在酉矩阵，存在酉矩阵 及及上三角阵上三角阵 ，使得，使得HAUTU UT显然显然 当且仅当当且仅当 。根据根据引理引理6， 是对角矩阵。故

9、是对角矩阵。故 是正规阵。是正规阵。HHA AAA HHT TTT AT例例 7 7 判断下列矩阵是不是正规矩阵：判断下列矩阵是不是正规矩阵：（1）实对称矩阵（）实对称矩阵（ ）；）；TAA （2）实反对称矩阵（）实反对称矩阵（ ）；）；TAA （3）正交矩阵）正交矩阵 （ ）；）；1TAA （4）酉矩阵（）酉矩阵（ ）；）；1HAA （5）Hermite 矩阵矩阵（ ）；）；HAA （6）反反Hermite 矩阵矩阵（ ）；）；HAA （7）形如）形如 的矩阵。的矩阵。11,11aaR or C 方阵方阵 是正规的，当且仅当是正规的，当且仅当 与对角矩与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就

10、是正规矩阵的特阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。征值。AA。如果。如果 是正规矩阵，那么存在酉是正规矩阵，那么存在酉矩阵矩阵 及对角阵及对角阵 使得使得 ，即，即HU AU A1(,)nUuu 1(,)ndiag AUU 因此因此1111(,)(,)(,)nnnnA uuAuAuuu 。若有。若有 ，显然可验证，显然可验证HU AU HHA AAA 与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。11()()HHBBUAU UAU- - -= =11HHHHHUAA UAAUUUU- - - - -= = =1HHUUA A- - -= =1111

11、()() ()HHHHUAAUUUUAUUAU- - - - -= = =.HB B= =如果存在酉矩阵如果存在酉矩阵 ，使得，使得 ，则，则1BUAU- -= =UHHUUA A= =方阵方阵 是正规的，当且仅当是正规的，当且仅当 有有 个个两两正交的单位特征向量两两正交的单位特征向量, ,即对应于不同特征值的特即对应于不同特征值的特征子空间相互正交。征子空间相互正交。AAn。如果。如果 是正规矩阵，那么存在酉是正规矩阵，那么存在酉矩阵矩阵 及对角阵及对角阵 使得使得 ，即，即HU AU A1(,)nUuu 1(,)ndiag AUU 因此因此1111(,)(,)(,)nnnnA uuAuA

12、uuu 。若。若 有有 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量 ，取，取 即可。即可。1(,)nU 1,nAn例例11 11 设设 为正规矩阵，且为正规矩阵，且 ，则，则32AA A2.AA 因为因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵是正规矩阵，所以存在酉矩阵 ，使得，使得UAHAU U 32AA 再由再由 ，得，得3()()()()HHHHU UU UUUUU 322()HHHUUUUU U 32 32ii 01.i 或或因此因此 ，即，即 ，故，故 从而从而 ，故，故2 22.HHAUUU UA 1、实正规矩阵是否正交相似于实、实正规矩阵是否正交相似于实对角矩阵？对角矩阵？2、实正规矩

13、阵是否正交相似于复、实正规矩阵是否正交相似于复对角矩阵？对角矩阵？3、实正规矩阵正交相似于什么、实正规矩阵正交相似于什么样的样的“简单简单”矩阵？矩阵？2、Hermite变换及变换及Hermite矩阵矩阵单从变换的角度我们很难把单从变换的角度我们很难把Hermite变换变换（对称变换）与正规变换联系起来，但从（对称变换）与正规变换联系起来，但从Hermite矩阵（对称矩阵）的定义，或者矩阵（对称矩阵）的定义，或者从从Hermite矩阵（对称矩阵）矩阵（对称矩阵） 都可对角化都可对角化上却能找到两者的关联，这似乎可以作为上却能找到两者的关联，这似乎可以作为数学的数学的“奇异美奇异美”的一个例证。

14、的一个例证。TAA 推广到酉空间，相应的矩阵称为推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足矩阵，满足关系式关系式HAA 既然矩阵与变换一一对应，那么既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢？对称矩阵与什么样的变换对应呢？推广到酉空间，相应的矩阵称为推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足矩阵，满足关系式关系式HAA 既然矩阵与变换一一对应，那么既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢？对称矩阵与什么样的变换对应呢？推广到酉空间，相应的矩阵称为推广到酉空间，相应的矩阵称为He

15、rmite矩阵矩阵，满足，满足关系式关系式HAA 既然矩阵与变换一一对应，那么既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢对称矩阵与什么样的变换对应呢？我们知道，实对称矩阵我们知道，实对称矩阵 满足关系式满足关系式A任取任取 ，设，设V、 1212= (,) ,= (,)nnxy， ， ， 则则)(),HHHy AxTAyx 设设 在酉空间在酉空间 的一组标准正交基的一组标准正交基 下的矩阵表示为下的矩阵表示为 且且 。VTA12,n， ，HAA ( ,( ( )()HA yxT 12( )(,),nTAx ， ，12( )(,),nTAy ， ，

16、设设 是酉空间（或是酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的线上的线性变换，称性变换，称 为为 上的上的 ，如果对任意，如果对任意 ， 都有都有并称并称 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示的任意一组标准正交基下的矩阵表示为为VT( ( ),)( ,() .TT VTV、 TV一、一、 Hermite变换（对称变换）变换（对称变换）酉空间（或酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的线性变换上的线性变换 是是 的的充要条件充要条件是是 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵的任意一组标准正交基下的矩阵 满足满足VTATV()HTAAAA 1122( (),)(,)ijiin injTaaa ( (),)jii

17、 jTa 所以所以( (),)(,()ijij ijTTa ( (),)jii jaT 从而从而HAA ,j ia 设设 在在 的一组标准正交基的一组标准正交基 下的矩阵表示为下的矩阵表示为 。12,n， ，()i jAa VT例例 3 (3 (方阵的方阵的Cartesian分解分解) )任意复方阵任意复方阵 可分解为可分解为其中其中 都是都是Hermite矩阵。矩阵。A12,AHi H12,HH例例 4 (4 (正交投影变换正交投影变换) )酉空间或欧氏空间酉空间或欧氏空间 中的任意向量中的任意向量 在在 的的子空间子空间 上的正交投影为上的正交投影为 ，即有，即有则则既是既是Hermite

18、，也，也是是1V121121,VV V1 1()R R V 1V 1V2R RR R V对任意对任意 ，同样有，同样有V 121121,VV 因此因此11211( ( ),)()()R R, , , 121(,)( ,( ( )R R另外显然有另外显然有211( )( ( )()( )R RR R R RR RR R 这说明正交投影变换的矩阵表示这说明正交投影变换的矩阵表示 （称为（称为正交投影正交投影矩阵矩阵）既是）既是Hermite 矩阵也是幂等矩阵矩阵也是幂等矩阵( )( )P2PP 思考：思考：HouseholderHouseholder是正交投影矩阵吗？是正交投影矩阵吗？正交投影变换

19、的矩阵表示是什么样的矩阵呢？正交投影变换的矩阵表示是什么样的矩阵呢？考虑正交投影考虑正交投影121:()0)TTx xxR,R,注意到注意到1112200010 xxxPxx 再联想到此投影的再联想到此投影的像空间像空间 ，不难发现其基不难发现其基 满足满足111(0) ,TVxxR, ,(1)T,0,0 110,00001P 这说明正交投影变换的矩阵表示应该是由像空间的基这说明正交投影变换的矩阵表示应该是由像空间的基与其转置相乘而得的矩阵？与其转置相乘而得的矩阵？考虑正交投影考虑正交投影123120:()(, ) .TTx xxx xR R, , , ,注意到注意到1112223300000

20、10010 xxxxxP xxx 00010101000101.0100000P 并且确实成立并且确实成立定理定理 5 (5 (正交投影变换的矩阵表示正交投影变换的矩阵表示I I) )酉空间或欧氏空间酉空间或欧氏空间 中的子空间中的子空间 由由单位正交列单位正交列矩阵矩阵 （各列都是单位列向量，且两两正交各列都是单位列向量，且两两正交）张成，即张成，即则则 可表示为可表示为1V1n rUC nC1V 11().VSpan U nC1V111.HVPU U= =按施密特正交化过程可知，存在另一个单位按施密特正交化过程可知，存在另一个单位正交列矩阵正交列矩阵 ，使得，使得 满满足足 ，则，则()2

21、nn rUC 12(,)UU U UU UI HIUU 11211222(,).HHHHUU UU UU UU1122.HHxU U xU U x 这里这里111222(),().HHU U xR UU U xR U按施密特正交化过程可知，存在另一个单位按施密特正交化过程可知，存在另一个单位正交列矩阵正交列矩阵 ，使得，使得 满满足足 ，则，则()2nn rUC 12(,)UU U HU UI 因此对任意因此对任意 ，有，有nxC 1.WU R 显然显然r rRC 1VW如果仅仅知道列满秩矩阵如果仅仅知道列满秩矩阵 ，显然，显然 的各的各列构成列构成 维子空间维子空间 的一组基，那么根据的一组

22、基，那么根据QR分分解解可知，存在单位正交列矩阵可知，存在单位正交列矩阵 和上三角矩和上三角矩阵阵 ，使得，使得n rWC 1n rUC r11()().VSpan WSpan U 因此因此11111()VHHU UWPRWR1()HHW R RW 111()HHHW R U U RW 1()HHW W WW 定理定理 6 (6 (正交投影变换的矩阵表示正交投影变换的矩阵表示IIII) )酉空间或欧氏空间酉空间或欧氏空间 中的子空间中的子空间 由由列满秩矩阵列满秩矩阵 的列向量张成，即的列向量张成，即则则 可表示为可表示为1Vn rWC nC1V 1().VSpan W nC1V11().HH

23、VPW WWW- -= =例例 7 (7 (斜投影变换斜投影变换) )酉空间或欧氏空间酉空间或欧氏空间 中的任意向量中的任意向量 有有直和分直和分解解则则是是12112212,VV VVV 1()R R V 2V1V2R RR R V设设 是酉空间（或是酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的线上的线性变换，称性变换，称 为为 上的上的 ，如果对任意，如果对任意 ， 都有都有并称并称 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示的任意一组标准正交基下的矩阵表示为为( ( ),)( ,() .TT VTV、 TVVT()HTAAAA 酉空间（或酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的线性变上的线性变换换 是是 的

24、充要的充要条件是条件是 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵的任意一组标准正交基下的矩阵 满足满足VTATV例例 10 (10 (Cayley变换变换) )方阵方阵 是实反对称矩阵，那么是实反对称矩阵，那么 是非奇异是非奇异的，并且的，并且Cayley变换矩阵变换矩阵是正交矩阵。是正交矩阵。A1()()SIA IA IA 因为因为 ，所以对任意的，所以对任意的 ， 有有nxR TAA ()()TTTTTTx Axx AxxAxx Ax 因此因此 。对于。对于0Tx Ax ()0IA x 由于由于 ，从而方程组，从而方程组只有零解，所以只有零解，所以 是非奇异的。是非奇异的。()0TTx xxIA

25、 x ()IA 由于由于11()()() ()SIAIAIAIA 11()()()()TTTSIAIAIA IA 所以所以从而可推出从而可推出TSSI 例例 11 (11 (广义特征值问题的广义特征值问题的Cayley变换变换) )对于对于 ，如果，如果 是是所谓所谓 是我们已经计算出的特征值是我们已经计算出的特征值的近似值的近似值, ,即所谓即所谓那么经过那么经过Cayley变变换换可得到可得到 并且并且AxBx 1()()CTABAB CT xt x 1()()t ()(),AB xBxBxBx ,AxBx 11()(),ABBxx11() ()() ()ABBxABBxBx 1() ()

26、ABAxBx 1() (.)ABAB x 11()() ().)ABBxx 二、二、 Hermite矩阵及对称矩阵的性质矩阵及对称矩阵的性质正规矩阵正规矩阵 是是 矩阵矩阵( (反反HermiteHermite矩阵矩阵) )的充要条件是的充要条件是 的特征值全是实数的特征值全是实数( (纯虚纯虚数数) )，即，即 酉相似酉相似于实对角矩阵于实对角矩阵( (对角元是纯虚数对角元是纯虚数的对角矩阵的对角矩阵) )。AAA因为因为 是正规矩阵，所以存在是正规矩阵，所以存在酉矩阵酉矩阵 及对角阵及对角阵 ，使得，使得UDAHAUDU ()HH HHHAUDUUD UUDUA 由于由于 的特征值全是实数

27、，所以的特征值全是实数，所以A因为因为 是正规矩阵，所以存在是正规矩阵，所以存在酉矩阵酉矩阵 及对角阵及对角阵 ，得到，得到UDAHAUDU 因为因为 ，从而，从而HAA HHUDUUDU 因此因此 ，即，即 的对角元全是实数。的对角元全是实数。DD D所以所以 的主对角元是的主对角元是 的特征值。的特征值。DA正规矩阵正规矩阵 是实对称矩阵是实对称矩阵(反对称矩阵反对称矩阵)的充的充要条件是要条件是 的特征值全是实数的特征值全是实数(纯虚数纯虚数) ，即，即 于实对角矩阵于实对角矩阵(对角元是纯虚数的对角矩阵对角元是纯虚数的对角矩阵)。AAA矩阵（矩阵（实对称矩阵实对称矩阵）的相异特征）的相

28、异特征值所对应的特征向量是互相正交的。值所对应的特征向量是互相正交的。三、三、 Hermite二次型二次型或或指的是指的是复系数二复系数二次齐次复多项式次齐次复多项式其对应的矩阵其对应的矩阵 显然是显然是()i jAa 1,1(,),nHni jiji jj ii jf xxa x xx Axaa 对于对于Hermite二次型二次型存在存在酉变换酉变换 ，将二次型化为，将二次型化为其中其中 是是 的特征值。的特征值。xU y 1(,),Hnf xxx Ax Aj 1111222(,)nnnnf xxy yy yy y 对于对于Hermite二次型二次型存在可逆的线性变换存在可逆的线性变换 ，将

29、二次型化成，将二次型化成其中其中 是是 的秩。的秩。xP y 1(,),Hnf xxx Ax Ar1111( )pppprrf xy yy yyyy y 3、正定、正定Hermite变换、正定变换、正定Hermite矩阵和正定矩阵和正定Hermite二次型二次型实数域内经常处理的矩阵是实数域内经常处理的矩阵是对称正定矩阵对称正定矩阵，关于它有许多优美的结论。将数域推广到关于它有许多优美的结论。将数域推广到复数域，考察相应的结论，这就是本节的复数域，考察相应的结论，这就是本节的主题。主题。一、一、 正定正定Hermite变换变换设设 是酉空间（或是酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的上的Hermi

30、te 变换（或变换（或对称变换对称变换），称），称 为为 上的上的 ，如果对任意，如果对任意 ， 都有都有并称并称 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为的任意一组标准正交基下的矩阵表示为VT( ,( )0,( )0().TT VTVTVHermite二次型二次型 称为称为，如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 当且当且仅当仅当 时时 。 其对应的矩阵显然是其对应的矩阵显然是( )Hf xx Ax nxC 0Hx Ax x 0Hx Ax Hermite二次型二次型 称为称为，如果对任意，如果对任意 ，恒有，恒有 。其。其对应的矩阵显然是对应的矩阵显然是( )Hf xx Ax nxC 0Hx A

31、x 二、正定二、正定Hermite二次型和正定二次型和正定Hermite矩矩阵的性质阵的性质n对对Hermite二次型二次型 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 是正定的；是正定的；（2 2） 的特征值全是正数；的特征值全是正数； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（4 4） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（5 5） 存在存在 阶可逆阶可逆Hermite矩阵矩阵 ，使得，使得P( ),Hnf xx Ax xCAnHP API H( )f xQHAQ Q 2AH n证明：证明：可证可证(1)(2)(3)(4)(1)以及以及(2)(5)(1)对对 阶阶Hermite矩阵矩阵 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 是非负定的；是非负定的；（2 2） 的特征值全是非负的；的特征值全是非负的； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 这里这里 为为 的秩；的秩；（4 4） 存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得 ；（5 5） 存在存在 阶阶Hermite矩阵矩阵 ，使得，使得PnArn,HrIOPAPOO HAQHAQ Q 2AH nAArn) ) 阶