结构动力学-7

1、一、自振频率、振型一、自振频率、振型1 1、双自由度体系、双自由度体系1 1）运动方程及其解）运动方程及其解运动方程运动方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 设方程的解为设方程的解为)sin()sin(2211tXytXy代入方程代入方程, ,得得0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk1)(1ty2)(2ty0222221122111mkkkmk频率频率方程方程振型振型方程方程解频率方程得两个正根解频率方程得两个正根1称作第一频率，也称作基本频率称作第一频率，也称作基本频率; ;运动方程的两个特解为运动方程的两个特解为2称为第二频率或高阶频率

2、称为第二频率或高阶频率. .将将 分别代入振型方程分别代入振型方程21和0)(21121121111XkXmk11211122111kmkXX特解特解1 1)sin()sin(112121111111tXytXy特解特解2 2)sin()sin(222222221212tXytXy2121122211222211122211122 , 1)(41)(21mmkkkkmkmkmkmk0)(22121222111XkXmk11221122212kmkXX1)(1ty2)(2ty特解特解1 1)sin()sin(112121111111tXytXy特解特解2 2)sin()sin(222222221

3、212tXytXy体系按特解振动时有如下特点体系按特解振动时有如下特点 各质点同频同步各质点同频同步; ;常数21111121111121)sin()sin()()(XXtXtXtyty 任意时刻任意时刻, ,各质点位移的比各质点位移的比 值保持不变值保持不变定义定义: :体系上所有质量按相同频率作自由振动时振动形状体系上所有质量按相同频率作自由振动时振动形状称作体系的主振型（主模态称作体系的主振型（主模态) )。记作。记作 2212221111,XXXXXX特解特解1 1)sin()sin(112121111111tXytXy特解特解2 2)sin()sin(222222221212tXyt

4、Xy)sin()sin(22221211211121tXXtXXyy运动方程的通解为运动方程的通解为1)(1ty2)(2ty4 4个待定参数由运动的个待定参数由运动的4 4个初始条件确定。个初始条件确定。2 2）频率与振型）频率与振型 振型与频率的计算振型与频率的计算0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk0222221122111mkkkmk解解: :例例. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1EI1EI1km20121212111XmXkXk0222222121X

5、mXkXkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 121112212211;1.6180.618XXXX 382. 111X 618. 012X1 11.6181.6181 10.6180.618 1X 2X11211122111kmkXX 振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, ,与外界因素无关；与外界因素无关； 按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同；且与位移比值相同；2111111211111121)cos

6、()cos()()(XXtXtXtyty 发生按振型的自由振动是有条件的；发生按振型的自由振动是有条件的；211121211121) 0() 0(,) 0() 0(XXyyXXyy 柔度形式的振型方程和频率方程；柔度形式的振型方程和频率方程；0)/1(0)/1(222221221221212111XmfXmfXmfXmf0/1/122222212122111mfmfmfmf振型方程振型方程频率方程频率方程1 1）刚度形式的振型方程和频率方程）刚度形式的振型方程和频率方程 0)(2Xmk2 2、n自由度体系自由度体系m11Xm22XnXmnnnXm2222Xm121Xm1211212111XmX

7、kXkXknn2222222121XmXkXkXknnnnnnnnnXmXkXkXk22211 02mk2 2）柔度形式的振型方程和频率方程）柔度形式的振型方程和频率方程 Ikf 0)1(2XmfIm11Xm22XnXmnnnXm2222Xm121Xm1212221212111XXmfXmfXmfnnn2222222212121XXmfXmfXmfnnnnnnnnnnXXmfXmfXmf222221211 012mfI 0)1(2XmfIk 0)(2Xmk解频率方程得方程的解频率方程得方程的n n个正根个正根n,21将将 代入振型方程得振型代入振型方程得振型n,21-频率谱频率谱密集型频率谱：

8、密集型频率谱：连续梁、板、空间结构、计扭转的房屋结构等；连续梁、板、空间结构、计扭转的房屋结构等；稀疏型频率谱：稀疏型频率谱：单跨梁、不计扭转的房屋结构等；单跨梁、不计扭转的房屋结构等； nXXX,21二二. .振型的正交性振型的正交性i i振型上的惯性力振型上的惯性力NiiiNiNiiNiiiiXXXmmmXmXmXm212122222121iiXm2i i振型振型niiiiXXXX21j j振型振型njjjjXXXX21i i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j j振型上作的虚功振型上作的虚功jiijiiijXXmXXmW22221121 iTjiXmX2iiXm121iiXm222NiiNXm21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi i振型振型j j振型振型1.1.基本正交关系式基本正交关系式j j振型上的惯性力振型上的惯性力jjNjjNjjjjXmXmXmXm22222121j j振型上的惯性力在振型上的惯