2020--2021学年人教版数学八年级下册第17章：勾股定理专项练习(附答案)

1、勾股定理练习题一、单项选择题1. 在正方形网格中画格点三角形，以下四个三角形，是直角三角形的是2. 以下各组数是勾股数的一组是A. 7, 24, 25E. JJ, JJ, J73. 在 ABC 中，ZA. ZB, ZC 所对的边分别为 a, b, c9 且 ZA： ZB： ZC=1： 1：2,那么以下说法中，错误的选项是A. ZC=90E a=bC c2=2a2D a2=b2 - c24. 一等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,那么腰上的高为6012013A. 12 cme. 一cmC. cmD. 一cm131355在等腰中，AC=AB = 5, 一腰上的高为3,那么底边3C的长是B.

2、 8或应C. 8或屈D.应或屈6.在直角三角形ABC中，斜边AB=5,求 AB2+BC2+AC2=(A. 50E. 25C. 10D. 5227以下命题：有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形；三边长为折循的三角形为直角三角形;等腰三角形的两条边长为2,4 ,那么等腰三角形的周长为10或8；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.正确的个数有A. 1个E. 2个C. 3个D. 4个& 如图，在aABC 中，AC=BC, ZC=90, AD 平分ZBAC,交 BC 于点 D,假设 CD=2,那么AC的长度等于A. 2y/2E. 72 +2C. 4D. 2迈+29. 如图，在等腰Re A

3、BC中，ZACB=90o,AC=3,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,那么CE的长为EDA 5E、/T7C 35D. 3510. 如图，四边形ABCD中，ZA = 909 AB = 2*, AD = 2,点M, N分别为线段BC, 43上的动点含端点，但点M不与点B重合，点、F分别为DM、AW的中点，那么M长度的最大值为.A. 3E 2、/JC 4D 211如下列图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，己知人正方形面积为49,小正方形面积为4,假设用x, y表示直角三角形的两直角边xy以下四个说法：x2+y2=49,巧=2,2+4=49,%+v=9.其中说法

4、正确的有A1个E. 2个C. 3个D. 4个12.如图，长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B,然后把中点C向上垂直拉升3cm至点那么橡皮筋被拉长了DC 20cmD无法确定A lcmB 2cmC 4cmD 5cm13.如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA = 59 DB=4, DC=3,将线段AD以点4为旋转中心逆时针旋转60。得到线段血兀 卞列结论：点D与点ZT的距离为5；dlCD可以由BD绕点A逆时针旋转60。得到；点D到CD的距离为3；S昨砂adczt=6+兰返，其中正确的有4A. 1个E. 2个C. 3个D. 4个4414如图赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方

5、形构成的人正方形，假设直角三角形的两边长分别为3和5,那么小正方形的面积是E. 4C. 1D. 2 或 415.如图,在厶ABC中，ZC = 90,D是边BC上一点，ZADC = 2ZB AD = 5fAC = 49那么4B的长为C. 6D. 816. 如下列图，一个圆柱体高8cm,底面半径2cm, 一只蚂蚁从点A爬到点E处吃食,要爬行的最短路程龙取3是WA17. 如图，一棵人树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下局部与地面成30。夹角，这棵大树在折断前的高度为A. 6米E. 8米C. 10 米D. 12 米18. 在矩形纸片ABCD中，AB = 6,AD = 10.如下列图，折叠纸片，

6、使点A落在边上的A处，折痕为PQ当点A在边上移动时，折痕的端点P、0也随之移动，假设限定点P、0分别在线段A3、4D边上移动，那么点A在BC边上可移动的最人距离为19 如图，在43C中，有一点P在直线AC上移动，假设AB = AC = BC = 6,那么的最小值为Ay/2AE5C48D420.如图，在长方形ABCD中，AB = 3, AD = 4,动点P满足Sw=#S长加如那么点P到A, B两点的距离之和PA+PB的最小值为AA. 4E 5C 7D 71321.四边形 ADBC 中，43 = AD. ABAD = 90, ZBCD = 30。, BC = 12, AC = 142 ,那么CD的

7、值为66A. 1522如图，长方体的长为8,宽为10,高为6,点B离点C的距离为2, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是B. 2/65D. 82B. 14/2C 12 + 7/ID 2023. 如图,A ABC中,ZACB=90, AC=2, BC=3.设AB长是以下关于加的四种说法：7是无理数；7可以用数轴上的一个点来表示；加是13的平方根：2/h3其中所有正确说法的序号是A, B.C.D.24. 如图，在 RtA ABC 中，ZBAC=9Q AB=5, AC=12, P 为边 BC 上一动点P 不与B、C重合，PE丄AB于E, PF丄AC于F, M为EF中点

8、，那么AM的取值范围是30AAM61312B. AM125 _30C. AMy,那么x + y的值为A. 60E. 79C. 84D. 90二、填空题26. 直线y=2v - 2与x轴交于A,与y轴交于B,假设点C是坐标轴上的一点，且AC=AB,那么点C的坐标为.27. 如图，点A的坐标是2, 2,假设点P在x轴上，且APO是等腰三角形，那么点P的坐标可以是4, 0；1, 0；2, 0中的.填序号28. 如图，等边ABC的边长为6,依次在边AB、BC、CA上取点D、E、F,使AD=BE=CF=2,那么“DEF的面积为.CE=20, ZEFB=2ZAFE30.正方形ABCD的顶点C在直线/上，过

9、点B和D分别作BE丄直线/于作M丄直线/于F,再分别以BE, DF为边构造正方形，这三个正方的面积如下列图分别为 S, S2, S3,如果 = 1, S3 = 9,那么八二.三、解答题31.在四边形 ABCD中， AB = 4D = 5,CD = 2 BC = 3/6，ZA=90 .1求3D的长.2/4DC的度数.32.如图，E为长方形ABCD的边A3上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在上的点尸处.(1) 求证：AE = DF；(2) 假设BE = 1，BC = 3,求CD的长.33.如图，AD/BC. Z4 = 90% E 是 43 上的一点，且 AD = BE, Z1=Z2 DEB(

10、1) “ADE与ABEC全等吗?请说明理由；(2) 假设AD = 3, AB=7，请求出的面积.34. ，如图，把矩形纸片ABCD沿济折叠后，点D与点B重合，点C落在点C的位置上，连接FsS(1) 求证：四边形3应近是菱形；(2) 当Zl = 60。，AE = 2时，求矩形ABCD的纸片的面积S.35. 勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一.中国占代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图，在该图中，以弦c为边长所得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH组成的，其中BF = a,

11、 AF=b(1) 请利用面积相等证明勾股定理；(2) 在图1中，假设大正方形ABCD的面积是13, BF = 2、求小正方形EFGH的面枳；(3) 图2是由“勾股圆方图变化得到的，正方形A/NKT由八个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNAT,正方形ABCD,正方形EFGH的面积分别为s- S,假设S1 + S2 + S3 = 48,求边43的长度9参考答案1. c解：a.77?=点，=(V13)2 + (V5)2 = 1842,三角形不是直角三角形；b. Q+32 =伍妇+ =你，毎+F = 7T7 ()+(Ao)三角形不是直角三角形；C. T Jf+32 =価,芒 +

12、 毕=2躬(Vw)+(Vio)=(2),三角形是直角三角形；D. T Q + F =石,32 + 12 =/10 毎 + 12 =Q,(歼+(価)工),三角形不是直角三角形.2. A解：A、72+242=25-,三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意;B、JI，J7不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；C、1.5, 2.5,不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；D、9-+16252,不是勾股数，不合题意.3. D解：A、由ZA： ZB： ZC=1： 1： 2 及ZA+ZB+ZC=180可以得到：ZA=ZB=45, ZC=90。，故本选项正确，不符合题意；B、由上可得Z

13、A=ZB,所以a=b,故本选项正确，不符合题意；C、由上知 ABC是直角三角形，所以a2+b-=c2,又因为a=b,所以c2=2a2,故本选项正确,不符合题意：D、由上知a，+b：=c2,故本选项不正确，符合题意：4. C解：如以下列图，在等腰三角形ABC中，底边长为BC=10cm,腰长为AB=13cm,7A过点A作AD丄BC于D,过点B作BE丄AC于&TAD丄BC 于 D,:.BD=DC,VBC=10cm,：BD=DC=5cm,在 Rt ABD 中,AD = 7132-52 = 12 cm *由于丄BC AD = -AC BE 92 2.“10x12120 BE = cm,13135. D解

14、：分两种情况：(1)顶角是钝角时，如图1所示：在 Rta4CO 中，由勾股定理，W AO2 = AC2-OC2 = 52 -32 = 16 ,0 = 4,OB = AB + AO = 5 + 4 = 99在 RtABCO中，由勾股定理，得 BC2 = OB2 + OC2 = 92 + 32 = 90 ,.BC = V90 = 3/10 ;在RUACO 中，由勾股定理，得 AD2=AC2-DC2 =52 -32 =16,.AP = 4,DB = AB-AD = 5-4 = 1 在Rta5CD 中，由勾股定理，得 BC2 = DB2 + DC2 = I2 + 32 = 10,BC =伍;综上可知，

15、这个等腰三角形的底的长度为3JT6或6. A解：根据题意由勾股定理可得：B+ACr=AB-=2StAB+BQ+A 0=25+25=50,7. B解：有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形，故正确； 余妇+扬工近，那么三边长为JJ,石的三角形不是直角三角形，故错误； 等腰三角形的两条边长为2, 4,那么三边分别为2, 4, 4,那么等腰三角形的周长为10,故错误； 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故正确.8. D解：如下列图，过D作DE丄AB于E,:AC=BC, ZC=90, AD 平分ZBAC,DE=CD=2, ZB=45,:.ZBDE=ZB=45。,:BE=DE=2,R怡

16、BDE 中,BD= Jee，+ DE = VF+27 = 2忑,：BC=2 近+2,AC=2+2,9. C解：过E作EF丄AC,交CA的延长线于F,四边形ABDE为正方形，A ZBAE=90. AE=AB,/EAF+ZAEF=90。, ZEAF+ZBAC= 90f:.ZAEF=ZBAC,在 AEF和 BAC中，ZF = ZACBf, AC= AB=4cm, CD=3cm-2根据勾股定理，得：yAC2 +CD2同理，BD=5cm；J.ADBD - AB= 10 - 8=2 (cm)；故橡皮筋被拉长了 2cm.13. D解：连接反儿如图，线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60。得到线段ADSAAD

17、=AD ZDADx=60c,ADD为等边三角形，.DD=5,所以正确：V A ABC为等边三角形，AAB=AC, ZBAC=60,把 ABD逆时针旋转60。后，AB与AC重合，AD与AD重合，AACDnf以由 ABD绕点A逆时针旋转60。得到，所以正确：QC=DB=4,VDC=3,在ZiDDC 中，DChDCDD 巳DDC为直角三角形， ZDCDr=90,ADC 丄 CD,点D到CD，的距离为3,所以正确；*.*四边形ADCD，的面积=Sa add+SaDic =丄x 5x 羽+ 1x3x4 = 6+兰返，所以正确.222414. B解：3和5为两条直角边长时，小正方形的边长=5-3=2,小正

18、方形的面积2-=4；15. A解：VZC=90, AC=4, AD=5,CD=3,V ZADC=2ZB, ZADC=ZB+ZBAD, ZB=ZBADf:.DB=AD=S.:BC=BD+CD=8,在 RtA ABC 中，ZC=90, AC=4, BC=8,AB = Jac? + BC? = /42 + 82 =屈=4 应16. B解：如下列图：沿AC将圆柱的侧面展开，CB3rr9J*fr/zC底面半径为2C111,c = = 26(cw),在RbABC中,AC = Scm , BC = 6cm,ab = Jac2 + BC，= /62+82 = 10 伽)17. D如下列图，C1 B由题可知：4

19、C = 4, ZB = 30,AB = 3, AB+AC = 12 米；18. B解：当P与B重合时，民T=BA=6,Cf=BCBA，= 10-6=4,当0与D重合时，由勾股定理，得CA - y/AfD2-CD2 = JAD2-CD2 = 8，Cf最人是8, CG最小是4,点厦在BC边上可移动的最人距离为8-4=4,19. C解：根据垂线段最短，得到BP丄AC时，最短，过4作AD丄BC,交BC于点D,C*：AB=AC, ADVBC,为BC的中点，又BC=6,:BD=CD=3,在 RtA ADC 中，AC=59 CD=39根据勾股定理得：AD=JABBD? =j5-32 =4,乂abc= BCA

20、D= BPtAC $2 2ABP =EC AD 6x4AC=4.8,20. B解：如图，设PCD中CD边上的高是乩T SD =才 S长方形Q = 4 *:.-CDh = -CDAD.24/. h = AD = 2 .2.动点P在与CD平行且与CD的距离是2的直线/上.连接AC交直线/于点P./CD, 4D=4,四边形ABCD是长方形，/丄AD, /丄BC.直线/是BC边的垂直平分线，:BP，=CPSAC的长就是所求的最短距离.在 Rd ABC 中，AB=3, BC=4, AC = J3, +4, = 5，即PA+PB的最小值为5.21. D解：如图，把ZBC绕点A逆时针旋转90。得到连接CE,

21、作EM丄CD于M,9在 R 仏 ACE 中，CE=yACr+AE2=2SV ZBAD=90% kBCD=30。,:.ZABC+ ZADC=360o-30.90o=240 t ZADE+ZADC=240。， ZCDE= 120,即 ZEDM=60,在 Rt EDM 中，ZDEM=30:.DM =DE = 6 , ME = y/DE2 -DM2 = 6/3在 RfA CEM 中，设 CD=x,那么 CM=6+x6 + x +6jT=28，解得：坷=一32 舍去,x2 = 20 CD=20E22. A解：只要把长方体的右侧外表剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图BiC D长方体的宽

22、为10,高为6点B离点C的距离是2,ABD=CD+BC= 10+2= 12, AD=6.在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：-AB= y122+62 =6y5 :只要把长方体的右侧外表剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图:长方体的宽为10,高为6,点B离点C的距离是2,BD=CD+BC=6+2=85, AD=10,在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：朋=屈而=2顷；只要把长方体的上外表剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图:长方体的宽为10,高为6,点B离点C的距离是2,/. A C=CD+A D=6+10=16,在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：.M

23、B=a/22+162=2/65 : 2/41 /5 /41，23C解:ZACB=90f AC=2, BC=3,AB=ylAC2 + BC2 = V13 故正确，1丁 /9/13V16 ,3V13 4,故错误,24. A解：在 RtA ABC 中，V ZBAC = 90, AB = 5, AC=12,EC=后+122 =13，VPE丄AE 于 E, PF丄AC 于 F,/. ZPEA= ZPEA= ZEAF=90,四边形AEPF是矩形，IM是EF的中点,延长AM经过点PiEF=AP, AM=2eF=PA,2 2当 PA丄CE 时，PA=P =13601?30AM的最小值为石VPAAC,/.PA1

24、2,AAM6, 30.AM/3解：如图，过点A作AH丄BC于点H,过E作EG丄BD于点G,Q E H ZAHC=ZEGB=90。,ABC是等边三角形且边长为6, AB=BC=AC=6, ZB=ZC=ZD4F=60。,：AH丄 BC 于 H,:.BH=HC=BC=3,在 R仏 AHC 中，Jac HC? = 3忑，Szc =丄FC AH =丄x 6 x 3馆=9妇，2V ZEGB=90Q. Z3=60。，/. ZBEG=30 BG=b BE=1,GE= yjBE2 - BG2 = /3 BD=AB-AD=6-2=4 9AB=AC=BC, AD= BE= CF, AB-AD=AC-CF=BC-BE

25、,即 BD= AF= CE,AD = BE在aADF 和 BED 中，ZDAF = ZB ,AF = BDADF 丝 MED,同理可证厶CEF竺厶BDE,29. V19解：设BF与CE的交点为G,取CE的中点H,连接如下列图:设ZEFB=2ZAFE=2ZBCE= la,贝ijZAFB=3a,在矩形 ABCD 中有 AD/BC, ZA = ZABC=90。，BCE为直角三角形，点H为斜边CE的中点，CE=2Q,.BH=CH=EH=W, ZHBC=ZHCB=a,:AD/BC,ZAFB= ZFBC=3a,ZGHB=3a - a=2a= ZEFB,:.EF/BH、 ZFEG=ZGHB= ZHBC+ZH

26、CB=2a=ZEFB=ZGBH,EFG和 BG/7均为等腰三角形，:BF=EH=O,在矩形 ABCD 中，AB=CD=9,由勾股定理得：AF=JbFAB，=/102-92，= V19.30. 10根据题意可知 ZBCE+ZFCD = 90。, ZBCE+ZEBC = 90Q , ZCDF + CD = 90。 ZEBC=ZFCD, ABCE = ACDF.pEBC = ZFCD在 aEBC 和(7尸中 BC = CD ,ZBCE =乙 CDFaEBC =DCF(ASA),:EC=DF.T S? = 1, S3 = 9 ,BE=,DF=3.EC=3.在 R仏 EBC 中 BC = BE2 + E

27、C2 = /l2+32 = /Io，S = BC2 =(713)2 = 10.31. (1) BD = 5y/2;(2) 135。解：ZA = 90。，AB = AD = 5. ZADB = 45在Rtzvb?r中，由勾股定理得：BD2 = AB2 + AD2 =52 +52 = 50 BD = 52(2)VCD2 = 4, BC=(3苗 = 54, BD = 50 CD2+BD2 = BC2BCD是直角三角形， ZBDC = 90 ZAZX? = 90+ 45 =13532. (1)见解析；(2) 5解：(1) 四边形ABCD是长方形，:.AD=BC, ZA=90, AB/CD, ZAED=

28、ZCDF,V ZA=ZCFD=90 由折叠可知：AD=BC=CF,ADE竺FCD (AAS),:.AE=DF；(2 )设 CD=x,那么 AE=x-h由折叠得：AD=CF=BC=3,ADE 竺 LCD,ED=CD=x,R达 AED 中，AE2+AD2=ED2,(A-l) 2+32=x2,*5,：CD=5.2533. (1)全等，理由见解析；(2)2解：(1) ADE=/BEC.Z1 = Z2，DE = EC.: ADI iBC,.-.Z5+Z4 = 180.又.Z4 = 90。，.-.Z4=Z5 = 90.:.ADE与BEC是直角三角形.在 RtAADE 与 RtAEC 中,DE = EC A = BE:.DE = BEC(HL).(2) ADE = ZEC,.AE = BC, ZADE = ZBEC.AD = 3 , AB = 7 ,/. AE = BC = 4.DE = EC = 5 又.Z4DE+Z4E)=