立体几何题型归纳

1、立体几何题型归纳题型一线面平行的证明例1如图，高为 1的等腰梯形 ABCD中，AM = CD =AB = 1.现将 MMD沿MD折起，使平面 AMD丄3平面 MBCD，连接 AB, AC.试判断：在【答案】当理由如下:连接BD交RDAB边上是否存在点 P,使AP=AB时，有 AD /平面3MC于点N,连接NP. 在梯形 MBCD 中，DC / MB ,= DC在ADB中,/ AD?平面 AD / 平面AD /平面MPC .1NB MB 2墜=1,a AD / PN.PB 2MPC , PN?平面 MPC ,MPC.MPC?并说明理由A7【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。此类题的难

2、点就是如何构造辅助线。构造完辅助线, 明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。【易错点】 不能正确地分析 DN与BN的比例关系，导致结果错误。【思维点拨】此类题有两大类方法: 1.构造线线平行，然后推出线面平行。此,为前提可此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。在我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此以得到线面平行。再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推

3、线面平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过AD 做了一个平面 ADB 与平面 MPC相交于线PN。最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。即先证AD平行于PN，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。A方法一方法二方法三2.构造面面平行，然后推出线面平行。此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案。辅助线的构造理论同上。我们只须过已知直线上任意一点做一条与已知平面平行的直线即可。可总结为下图方浓例2如图，在几何体 ABCDE中，四边形ABCD是矩形,AB丄平面BEC,BE丄 EC, AB = BE = E

4、C= 2,G, F分别是线段BE , DC的中点.求证：GF /平面ADE ;【答案】解法一：证明：如图，取 AE的中点H,连接HG, HD ,又G是BE的中点，所以 GH / AB，且 GH =AB. 2又F是CD的中点，所以 DF = 1CD.2由四边形 ABCD是矩形得,AB / CD , AB = CD , 所以 GH / DF，且 GH = DF ,从而四边形 HGFD是平行四边形，所以 GF / DH.又DH?平面ADE , GF?平面ADE , 所以GF /平面ADE.AD.解法2: (1)证明：如下图，取 AB中点M,连接 MG, 又G是BE的中点，可知GM / AE.又AE?

5、平面ADE，GM ?平面ADE ,所以GM /平面ADE.在矩形 ABCD中，由M, F分别是 AB , CD的中点得又AD?平面ADE , MF?平面ADE ,所以MF /平面ADE.又因为 GM? MF = M , GM?平面 GMF , MF?平面 GMF ,所以平面GMF /平面ADE.因为 GF?平面 GMF，所以 GF /平面 ADE.MF.MFI)F【解析】解法一为构造线线平行，解法二为构造面面平行。【易错点】线段比例关系【思维点拨】同例一题型二线线垂直、面面垂直的证明例1如图，在三棱锥 P-ABC中，PA丄AB, PA丄BC, AB丄BC, PA = AB=BC=2, D为线段

6、 AC的中点,E为线段PC上一点.(1) 求证：PA丄BD;求证：平面 BDE丄平面 PAC【答案】(1)证明：因为PA丄AB, PA丄BC, ABABC= B, 所以PA丄平面ABC.又因为BD?平面ABC,所以PA丄BD.(2) 证明：因为 AB= BC, D为AC的中点，所以BD丄AC.由知，PA丄BD,又ACAPA = A,所以BD丄平面PAC.因为BD?平面BDE,所以平面 BDE丄平面PAC.【解析】(一)找突破口第(1)问：欲证线线垂直，应转化到证线面垂直，再得线线垂直；第(2)问：欲证面面垂直，应转化到证线面垂直，进而转化到先证线线垂直，借助(1)的结论和已知条件可证；(二)寻

7、关键点有什么想到什么注意什么信息：PA丄AB, PA丄BC线面垂直的判疋疋理，可证PA丄平面ABC(1) 证明线面平行的条件：一 直线在平面外，一直线在平面 内(2) 证明线面垂直时的条件： 直线垂直于平面内两条相交 直线求点到面的距离时要想到 借助锥体的等体积性”信息：AB = BC , D为 AC的中点等腰二角形中线与咼线合一，可得BD丄AC信息：PA丄BD证明线线垂直，可转化到证明一直线垂直于另一直线所在 平面，冉由线面垂直的疋义可 得信息：平面BDE丄平面PAC面面垂直的判疋疋理，线线垂 直？线面垂直？面面垂直信息：PA/平面 BDE线面平行的性质定理，线面平行，则线线平行，可得PA/

8、DE【易错点】规范的符号语言描述，正确的逻辑推理过程。【思维点拨】(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在 证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条 件直接应用.(2) 证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面 平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.(3) 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解 决.

9、证明的核心是转化，空间向平面的转化，面面？线面？线线.题型三空间向量例1如图，四面体 ABCD中，ABC是正三角形，AACD是直角三角形， ABD CBD , AB=BD.(1) 证明：平面 ACD丄平面ABC;(2) 过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.【答案】(1)证明：由题设可得,B又AACD是直角三角形，所以/ ADC = 90取AC的中点O,连接DO ,B0,贝U DO 丄 AC, DO = AO.又因为AABC是正三角形，所以 BO丄AC.所以/ DOB为二面角 D-AC-B的平面角. 在 Rt AAOB 中，B

10、O2 + AO2 = AB2.又 AB = BD,所以 BO2+ DO2= BO2 + AO2= AB2= BD2,故/ DOB = 90所以平面 ACD丄平面ABC.(2)由题设及 知，OA, OB, OD两两垂直.以 O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，| OAT为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(1,0,0), B(0, 3, 0), C(- 1,0,0), D(0,0,1).由题设知，四面体ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC 2的距离的1 ,即E为DB的中点，得E2-i , 3,22丿.设 n = (xi, yi,

11、Zi)是平面DAE的法向量,则.n -AD = 0,n -AE = 0,即.xi + zi = 0,Xi+ -3yi + -Zi = 0.2 2可取n =)设 m=(X2 , y2 ,Z2)是平面 AEC的法向量,则，m -AC = 0,m -AE = 0,即*2X2 = 0,3 iX2+y 2+- Z2 = 0,2 2故 AD = ( i, 0,i), AC = ( 2,0,0), AE =可取 m= (0, 1,3).则 cosn, m = _ 卞 + 3二|n| |m| 2i &73由图知二面角 D-AE-C为锐角， 所以二面角 D-AE-C的余弦值为7.7【解析】(一)找突破口第(1)

12、问：欲证面面垂直，应转化去证线面垂直或证其二面角为直角，即找出二面角的平面角，并求其 大小为90;第(2)问：欲求二面角的余弦值，应转化去求两平面所对应法向量的夹角的余弦值，即通过建系，求所对应法向量来解决问题.(二)寻关键点有什么想到什么注意什么信息：ABC为正三角形，ACD是直角三角形特殊三角形中的特殊的边角：ABC中三边相等，AACD 中的直角(1) 建系时要证明哪三条线两 两垂直，进而可作为坐标轴(2) 两平面法向量的夹角不一 定是所求的二面角，也有可能 是两法向量夹角的补角，因此 必须说明角的范围信息：/ ABD =/ CBD ,AB = BD边角相等关系可证两三角形 全等，进而可证 AD = DC,/ADC = 90 信息：证明：平面 ACD丄平面 ABC面面垂直的证明方法：几何法或定义法信息：体积相等由体积的大小关系转化到点到面的距离的大小关系，进而知点E为DB的中点【易错点】 正确建立空间直角坐标系，确定点的坐标，平面法向量的计算。【思维点拨】1利用空间向量求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；求出相