函数的单调性及与函数有关的不等问题

1、 函数的单调性及与函数有关的不等问题一. 函数单调性的意义： 函数的单调性是函数又一重要性质，设函数.若对于任意的 .,当时都有则是区间D上的增（减）函数，区间D为的增（减）区间。特别的当D=I时，称是单调函数。（1） 必须了解单调性与“区间”紧密相关，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性 。 即：函数的单调性只能在定义域内讨论，且谈函数的单调性时，必须指明对应的区间。（2）定义中的，具有任意性，证明时不可用特殊值代替。（3）函数的单调性在比较大小、求函数最值方面都有广泛的应用。因此有是增（减） 函数，且),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函 数值之间的不等关系可以“正逆互推”。（4）

2、熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设，a,b,那么 在a,b上是增函数； 在a,b上是减函数。 0在a,b上是增函数； 0在a,b上是减函数 需要指出的是，的几何意义是：增(减)函数图像上任意两点连线 的斜率都大于（小于）零。【考点专练】1.下列说法正确的是（ ） A.定义在上的函数，若存在，有，那么在上为增函数。 B.定义在上的函数，若有无穷多对，使得当时，有，那么在上为增函数。 C.若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数. D.若在区间上为增函数，且，那么。2.（天津）设是函数的反函数，则使 成立的取值范围为（）3（辽宁）已知是定义在上的单调函数

3、，实数， ，若则（）4 已知函数=在区间内是减函数，则a的取值范围 是（ ） A.a0 B.0a0.5 C.a0.5 D.0.5a2 B.a0，则f(x)的单 调递增区间为() (A) (B) (C) (0,+) (D) 15.（天津）如果函数在区间上是增 函数，那么实数的取值范围是（）（，16.（2011江苏）函数的单增区间是： 。17.已知函数。（1）若，求的定义域。（2）若在区 间（0，1上是减函数，求的取值范围。18.（2011，上海）已知函数=，其中常数a,b满足ab。(1) 若，判断函数的单调性；(2) 若，求 的的取值范围。(2)证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可用单调函数

4、的定义，具体方法常用作差法 或作商比较法。【考点专练】1.函数对任意都有=，并且当x0时1, 求证：在R是增函数。若，解不等式。2. 已知函数的定义域（0，且对任意的正实数都有， 且当时（1）求证： （2）求（3）解不等式3.（，东北三校）设函数是定义在上的函数，对任意实数，都有且当时，。（）证明：当时，；是上的减函数。（）如果对任意实数，有恒成立，求实数的取值范围。4. （，苏州）已知y=是奇函数，它在上是增函数，且，试 问在上是增函数还是减函数？5.已知是定义在上的奇函数,若且有 判断在上的单调性,并证明之.解不等式（3）求函数的单调区间，除定义法外，还可以根据函数图像用数形结合法。（4）

5、利用导数也可以判断函数的单调性，其步骤： 求定义域 求导数； 令0得不等式的解集即为单调增区间. 0的解集即为单调减区间。 注意：1.单调区间是定义域的子集。 2.反之,若已知函数在某个区间上具有单调性;则 在该区间上恒成立. 3.若单调区间在两个或两个以上,用”,” “及”,“和”，“与”表示。（5）含参数的函数的单调性或单调区间求解方法是：“三问”【考点专练】1.(07,四川)设函数=为奇函数，其图像在点 处的切线与直线垂直，导函数的最小值为12. 求a,b,c的值。 求函数的单调递增区间，并求函数有-1,3上的最大值和最小值。2设函数，其中为实数。若的定义域为，求的取值范围； 当的定义域

6、为时，求的单调区间。（，陕西）3.（安徽）设函数，其中 ，将的最小值记为。求的表达式。 讨论在（，）内的单调性并求极值。4.（04，全国）已知函数=在R上是减函数，求a的取值范围。5.（04，天津）已知函数=是R上的奇函数，当x=1时取得极值-2. （1）求的单调区间和极大值。 （2）证明对任意，不等式恒成立。6.已知=为奇函数。 求a,b的值。 求单调区间，并加以证明。 求的值域。7. (陕西09)已知函数. (1)若在处取得极值,求a的值.(2)求的单调区间.（3）若的最小值为1，求a的取值范围。8.已知函数。（1）设，讨论的单调性。（2）若对任意恒有，求的取值范围。9. 已知函数，其中。

7、（1）当时，求曲线 在（2，处的切线方程。（2)当时，求函数的单调区间与极值。10。已知函数和。在处的切线平行。（1）试求函 数和的单调增区间。（2）设，求证； 11.（2011四川）已知函数。 （1）设函数求的单调区间与极值。 （2）设,解关于的方程。12.（2011天津）已知，函数（1）求单调区间；（2）当时，证明：存在使；（3）若存在均属于区间的，且使证明： 13.（2011天津）已知函数其中。 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）证明：对任意，在区间内均存在零点。14.（2011浙江）设函数，。（1）求的单调区间；(2)求所有的实数，使对恒成立。15

8、.（2011陕西）设函数定义在上，导函数， 。（1）求的单调区间和最小值。（2）讨论与的大小关系。（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。16.（2012陕西）设函数 。(1)设证明：区间内存在唯一零点；（2）设，若对任意，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在区间内的零点，判断数列的增减性。17.设函数。（1）设，若对恒成立，求的取值范围。（2）函数在区间内是否有零点，有几个零点？为什么？18.（06湖南卷）已知函数.讨论函数的单调性；19.解不等式20、（2010年全国卷一21)已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x.()当a=

9、时，求f(x)的极值; ()若f(x)在(-1,1)上是增函数，求a的取值范围.21.若不等式x2+ax+10对一切x成立，则a的最小值为（ ） A.0 B .-2 C. D .-322已知函数（1） 当时，求函数f(x)的单调区间和极值。（2） 若g(x)=f(x)+在上是单调增函数，求实数a的取值范围。23.（2009年重庆）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A、 B、C、1，2 D、24、若不等式，对于均成立，那么实数的取值范围是（ ）A、 B、0，5） C、 D、0，125.若存在实数满足，则实数的取值范围为： 。26.不等式对一切的恒成立，则实数的取值范围为： 。27.已知函数f(x)alnxx21.(1)若曲线yf(x)在x1处的切线方程为4xyb0，求实数a和b的值；(2)若a0，且对任意x1、x2(0，)，都|f(x1)f(x2)|x1x2|，求a的取值范围28.已知函数=是R上的奇函数，当x=1时取得极值-