第1章 分析力学基础 1-6拉格朗日第二类方程的积分

1、M1-1 1-6 拉格朗日第二类方程的积分拉格朗日第二类方程的积分 拉格朗日第二类方程的求解需要对拉格朗日第二类方程进行拉格朗日第二类方程的求解需要对拉格朗日第二类方程进行积分。积分。 对于对于，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。化。 保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：保守系统拉格朗日方程的首次积分包括： M1-2 一、能量积分一、能量积分 112ni iiiTmv v1Niiikkkqqrvr11112nNNiiiklkliklmqqqqr

2、r1niikliklimmqqrr,112Nklklk lm q q 其中其中是广义坐标的函数，称为是广义坐标的函数，称为广义质量广义质量12(,.)iiNq qqrr 设系统所受的约束为定常约束，则设系统所受的约束为定常约束，则 中不中不显含显含t ，则，则M1-3 很容易证明很容易证明12NkkkTqTq1d0dNkkkkkLLqqtqq iq 注意势能注意势能 V 不含不含 项，可得项，可得1NkkkLqq将方程将方程 两边乘两边乘 对对k求和求和d0dkkLLt qqkq 1()NkkkTVqq2TM1-41ddNkkkkkkkLLLqqqtqqq11ddNNkkkkkkkkLLLqq

3、qtqqqdd2ddTLttd(2)0dTLt积分上式，可得。积分上式，可得。2TLC1d0dNkkkkkLLqqtqq TVCM1-5 积分上式，可得。积分上式，可得。上式是上式是保守系统的机械能守恒定律，保守系统的机械能守恒定律，也称为保守系统也称为保守系统的广义能的广义能量守恒量守恒。也称为保守系统的拉格朗日方程的也称为保守系统的拉格朗日方程的能量积分。能量积分。TVCM1-6二、循环积分二、循环积分 当当 为系统的循环坐标时，必有为系统的循环坐标时，必有 ()kqkN0kLq于是拉氏方程成为于是拉氏方程成为d ()0dkkLLtqq ()kLCkNq 积分得：积分得：称为拉格朗日方程的

4、称为拉格朗日方程的循环积分循环积分 如果拉格朗日函数如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标 qk , 则该坐标则该坐标称为保守系统的称为保守系统的循环坐标或可遗坐标循环坐标或可遗坐标。M1-7() kkkkLTTVpCqqq 因因L = T - V，而，而V中不显含中不显含 ，故上式可写成，故上式可写成kq pk称为广义动量称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。积分。 一个系统的一个系统的能量积分能量积分只可能只可能有一个有一个；而循环积分可能不止；而循环积分可能不止一个，有一个，有几个循环坐标几个循环坐标，便，便有几个相

5、应的循环积分有几个相应的循环积分。 能量积分能量积分和和循环积分循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。 M1-8 例例 楔形体重楔形体重P，斜面倾角，斜面倾角 ，置于光滑水平面上。均质圆柱体重，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。柱体位于斜面最高点。试求：试求

6、：(1)系统的运动微分方程；系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；楔形体的加速度；(3)系统的能系统的能量积分与循环积分。量积分与循环积分。解：研究楔形体与圆柱体组成解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度。定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为取广义坐标为x, s ；各坐标原点；各坐标原点均在初始位置。均在初始位置。 M1-9 当t =0时， ，x = s = 0 , 代入上式中，得 0sx)cos(311rhQPhC2213cossin0 24PQQQx sxs Q s ggg 2213 cos24PQQQTxsxsggg我

7、们已知道系统动能和势能为我们已知道系统动能和势能为1(sincos)3VPhQ hsr 221131 cos(sincos)243PQQQxsxsPhQ hsrCggg M1-10 由于拉格朗日函数由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标中不显含广义坐标x，故，故 x 为系统循环为系统循环坐标，故有循环积分：坐标，故有循环积分：2cosCsgQxgQPxTxLPx t = 0时时 ，故上式中，故上式中C2 = 0 ，可得，可得0 sx()cos0 PQ xQs 上两式即为系统的能量积分和循环积分。上两式即为系统的能量积分和循环积分。 第二第二式实际上是式实际上是系统的机械能守恒方程。系统的机械能守恒

8、方程。 第一第一式实质上是系统的动量在式实质上是系统的动量在x方向方向守恒。守恒。 2213cossin0 24PQQQx sxs Q s ggg M1-11 例例 一均质一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由圆柱体可绕其垂直中心轴自由转动，转动，圆柱表面刻有倾角为圆柱表面刻有倾角为 的的螺旋槽螺旋槽。小球小球M自静止沿槽下滑，已知小球质量为自静止沿槽下滑，已知小球质量为m1圆柱体质量为圆柱体质量为m2，半径为，半径为R，试求：小球下降高度为试求：小球下降高度为h时，小球相对圆时，小球相对圆柱体的速度，圆柱体的角速度柱体的速度，圆柱体的角速度 。解：系统受理想、完整、定常约束，解：系统受理想、完整、

9、定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为具有两个自由度。取广义坐标为 , s ；各坐标原点均在初始位置。各坐标原点均在初始位置。 M1-12222221124TJm R圆柱体的动能圆柱体的动能小球的动能小球的动能211 112Tm v221rer e12cos(180)2m vvv v22211(2cos )2m sRsR系统的动能系统的动能12TTTM1-13系统的势能（系统的势能（取小球的起点为势能零点）：取小球的起点为势能零点）：1sinVm gs 系统的拉格朗日函数为系统的拉格朗日函数为2222212111(2cos )sin24Lm sRsRm Rm gs2221121112(2)4c

10、os sin4Lm smmRm sRm gs 由于拉格朗日函数由于拉格朗日函数L中不显含时间中不显含时间t，广义坐标，广义坐标 ，故，故 为为系统循环坐标，故有循环积分和能量积分。系统循环坐标，故有循环积分和能量积分。2TVC1 LC M1-14120CC2TVC1 LC 22211211212(2)4cos sin4m smmRm sRm gsC212111(2)2cos 2mm Rm sRC当当t =0时，时， 代入上式中，得代入上式中，得 0s 2121(2)2cos0mm Rm sR2221121112(2)4cos sin04m smmRm sRm gs1122cos(2)msmmR

11、22212122sin2sin0(2)mmsgsmm化简，得化简，得 M1-15当当ssin =h ，得，得 1122cos(2)msmmR22212122sin2sin0(2)mmsgsmm12212(2)22sinmmghsmm1212122cos2(2)(2sin)mghRmmmm22212122sin20(2)mmsghmmM1-16M1-17 ,112Nklklk lTm q q 1NkllklTm qq111NNNkkllkkkklTqm q qq 1,1NNkklklkkk lTqm q qq 2TM1-18 211 1 112 1 221 2 12222,111()22klklk lTm q qm q qm q qm q qm q q 1NkllklTm qq211 112211 11221111(22)2lllTm qm qm qm qm qq221 122221 12222211(22