信号与系统第1章

1、通信基础教学部通信基础教学部1通信基础教学部通信基础教学部2通信基础教学部通信基础教学部3通信基础教学部通信基础教学部4通信基础教学部通信基础教学部5通信基础教学部通信基础教学部6通信基础教学部通信基础教学部7通信基础教学部通信基础教学部8通信基础教学部通信基础教学部9信号信号经过处理文字、语言、图像等形式的消息文字、语言、图像等形式的消息人从中得到有用的信息人从中得到有用的信息发送端将信息发送端将信息具体的消息具体的消息信号信号传输传输表示加载通信系统通信基础教学部通信基础教学部10信号可以表示为时间信号可以表示为时间t t的函数，信号在某一时刻的大小、持的函数，信号在某一时刻的大小、持续的

2、长短、以及变化的快慢都可以从波形上反应出来。续的长短、以及变化的快慢都可以从波形上反应出来。 信号还可以表示为信号还可以表示为不同频率的信号相叠加不同频率的信号相叠加的形式，不同的形式，不同频率上分量的大小及其变化都可以从信号的频率上分量的大小及其变化都可以从信号的频谱频谱上表现上表现出来，出来，信号的这一特性称为频率特性。信号的这一特性称为频率特性。 振振 幅幅 时时 间间 振振 幅幅 时时 间间 模模 拟拟 信信 号号 脉脉 冲冲 振振 幅幅 调调 制制 信信 号号 通信基础教学部通信基础教学部11通信基础教学部通信基础教学部12()kf tkt0 1321 2 212 f (t)t011

3、2通信基础教学部通信基础教学部13通信基础教学部通信基础教学部1412(1) ( )coscos23(2) ( )cos3sinf tttf ttt12124 , 62 3()12有理数周期信号TTT TT121223 , 23()无理数非周期信号TTT T通信基础教学部通信基础教学部152lim( )TTTEf tdt21lim( )2TTTPf tdtT 通信基础教学部通信基础教学部16t0( )f tt0( )f tt0( )f tt0( )f t通信基础教学部通信基础教学部171 0(1) ( )0 0tetf tt 21 0(2) ( )0 0tftt 221022201lim( )

4、lim2(1) 11lim( )lim022TttTTtTttTTtEf tdtedtPftdtedtTt ：能量信号能量信号210220lim( )lim1(2) 111lim( )lim1222TTTTTTTTTTEf tdtdtPftdtdtTT ： 功率信号功率信号通信基础教学部通信基础教学部18通信基础教学部通信基础教学部192通信基础教学部通信基础教学部20通信基础教学部通信基础教学部2100()10ttt t01( ) t0000()1tttttt 延迟单位阶跃函数延迟单位阶跃函数t010()tt 0t物理解释物理解释：在在t0时刻接入电路的一个单位的直流电源。时刻接入电路的一个

5、单位的直流电源。通信基础教学部通信基础教学部22 (t)t0(1) 000)(ttt 1)( dtt A (t)t0(A)图中标出的（图中标出的（1 1）表示冲击信号的强度是）表示冲击信号的强度是1 1，即对这个信号在，即对这个信号在全时域上的积全时域上的积分是分是1 1，如果标出的是（，如果标出的是（A A），则表示这个冲击函数的强度是），则表示这个冲击函数的强度是A A，即在全时，即在全时域上的积分为域上的积分为A A冲击函数是偶函数冲击函数是偶函数：( )()tt通信基础教学部通信基础教学部2311( )( )( )ttRCRi tetetRR001 ( )( )11 lim ( ) l

6、im( )( )tRtRRRi t dtet dtRi tettR通信基础教学部通信基础教学部24)(tgt0/12/ot 12021)(tg2/)()(lim0tgt通信基础教学部通信基础教学部2510( )00ttdt ( )( )tdt (t-t0)t0(1)t000000 () ()1tttttttt dt 通信基础教学部通信基础教学部2600000() ( )() ( )(t )ttt t f t dtt t f t dtf( ) ( )(0)f tt dtf 00( ) ()( )f ttt dtf t 如果如果f(t)在在t=0处连续，则有：处连续，则有：如果如果f(t)在在t=

7、t0处连续，则有：处连续，则有：000( ) ( )( ) ( )(t )t f t dtt f t dtf通信基础教学部通信基础教学部27( ) ( )(0) ( )f ttft 000( ) ()( ) ()f tttf ttt如果如果f(t)在在t0处连续，则有处连续，则有：0000000000( )( )( ) ()( )()( ) ( )( ) ()( )()( )( )( )f tttdtf ttt dtf ttf tttdtf ttt dttf ttttt 通信基础教学部通信基础教学部282( )tet2(1) ( )tet2(1) (2)tt(2) (1)tt2sin() (1

8、)3ttdt0(1)tetdt05(2) (2)ttdt)(t 0)2(3 t )1( t 23 4 0通信基础教学部通信基础教学部2900( ) ()()f tttdtf t 000( ) ()( ) ()f tttf ttt000( ) ()( ) ()tf ttt dtf ttt 2211210000002010( ) ()( ) ()( )()( ) ()()ttttttf ttt dtf ttt dtf ttt dtf ttttt 上述两式总结为：积分范围如果不包含上述两式总结为：积分范围如果不包含t0，则积分结则积分结果为零，如果包含果为零，如果包含t0，则积分结果为，则积分结果为

9、f（t0)通信基础教学部通信基础教学部30( )( )dttdt ( )( )ttt dt 00()()dttttdt 00()()ttttt dt (1) f (t)t0-1121(1)(3)(t ( )t f(t)t0-11221-1通信基础教学部通信基础教学部31)(t (- )( )ttt)( 证明：中，令 ，则原式可以等价为（t） (-t)dt（- ） ( )d(-=（- ） ( )d( )=（0）( )d( )而t) (t)dt=（0）( )d( )所以： (-t) (t)通信基础教学部通信基础教学部321()( )|atta001()()|tatttaa)( t （a和和t0为常

10、数，且为常数，且a0。）。）Ot tp 12 2 Ot atp 1a2 a a2 P(t)面积为面积为1， 强度为强度为1 t P(at)面积为面积为 ， 强度为强度为 a1a1 at 通信基础教学部通信基础教学部33分析分析：用两边与用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明，的乘积的积分值相等证明， 分分a0 、a0两种情况两种情况 两边相等两边相等(1)at(1)at ()at () ()()t(0000fadfdttfat0t, 0ata令)at(1)()att (100fadttfa而通信基础教学部通信基础教学部34(2) 尺度变换尺度变换at1at1) ()()t(000adafdtt

11、fta)at(1 at1) (100fadafa)at(1)()at(100fadttfta而001(at)()tttaa1(at)( ) ta t-t0aa令令, 0 : : t通信基础教学部通信基础教学部35001( ) ()()|tf tattdtfaa 0001( ) ()() ()|ttf tattftaaa 0001( )()() ()|tttftattdtftaaa 210000211( )()()()()|tttttftattdtfttaaaa 通信基础教学部通信基础教学部36)(2tet )1()1(2tet )22()12(2 tt )12()2( tt dttt)12()

12、32sin( 0)12(dttet 05)22()2(dttt )(t )1()1(2 te )1(5 . 0 t )5 . 0(75. 0 t 43 5 . 05 . 0 e0通信基础教学部通信基础教学部37 证明：证明：利用分部积分利用分部积分.)0( )()( fdttft dttft)()( dtttfttf)()( )()( 01)()(kkkfdttft )( )()( 00tfdttftt ,0)( dtt )0( f 阶导数：的对kt tdttt )( 时移时移，则，则：t0dttdt)()( 通信基础教学部通信基础教学部38 , )()(tt )()(00tttt 是奇函数是

13、奇函数)(t （与（与 tfttf0)()( 不同不同） 相同得证。相同得证。 证明思路：证明思路： 对等式两边同乘函数对等式两边同乘函数 tf后，两边积分结果后，两边积分结果 tftfttf)0()(0)( ， )(|10attaa )(0tat =通信基础教学部通信基础教学部39)(2)(tt )2(4)2(3 tt 3 )(|10attaa )(2tet)2() 1(2ttdttt) 1()32sin(tdt)()(0)(0tat 0000() ()() ()tttttt通信基础教学部通信基础教学部40)()4t (cosdtdt) t ( 22)t (dtd22)()4(cosdtdt

14、sintdt)(costdtdtsintdt)(dtdtsintdt)( t-1(0)-sin通信基础教学部通信基础教学部411( )()( ) kkkkkf tttTTttf kTf kkk离散时间信号仅在一系列离散的时刻才有定义，因此它是离散时间变量 的函数。用表示离散时间信号，其中 表示离散的时刻，通常离散时刻之间的间隔 是均匀的，即为常量，故可以用。也就是说，离散时间信号抽样为离散变量 的函数来表示离散时间信号，简写为的取值，这里为整数。)(kfk0 1321 2 11222 通信基础教学部通信基础教学部42)(kTf)(kf4 , 0 , 3 , 2, 1)( kf)()1()1()

15、(kUkkfk )(kfk0 1321 2 11222 , 8 , 4 , 2 ,1, 0 , 0 ,)(0nnx通信基础教学部通信基础教学部43, 2, 1, 0,2) 1()(kkkkf, 6 , 3 , 1 ,0, 0 , 1 , 3 ,)(kf)(kfk01322 1361133通信基础教学部通信基础教学部4410( )00kkk1()0knknkn()knk0112n ( ) ()( )( ) ()( ) ()kf kknf nf kknf nkn筛选特性：加权特性：( )kk0112时移时移n n位的单位序列定义为位的单位序列定义为: :通信基础教学部通信基础教学部4510()00

16、kkk( )kk011111231()0knknkn( ) ( ) ()0截取特性：f kknf kknkn()knk011111n右移右移n位的单位阶跃序列定义为位的单位阶跃序列定义为:通信基础教学部通信基础教学部460( )( )( )(1)( )( )( )()knnkkkkknkkn (2)(1)kk(2)(1)(2)(1)( )kkkkk2( ) (2)kkk(2)2(2)kkk2(2)kk4 (2)k通信基础教学部通信基础教学部47NnnNnnRN, 00101)( )()()(NnununRnuN的关系：与no)(nRN111 2 31 N通信基础教学部通信基础教学部4800(

17、)sin() ( )cos()f kAkf kAk000 (/ )()Awrad sw Trad ：幅值：初相：模拟角频率：数字角频率表示相邻两个样值间弧度的变化量()( )离散周期序列：f kNf k 02(1)是正整数sin()sin() sin(2) sin()000002AkNAkAkAk( )sin()002当是正整数时，正弦序列是周期序列f kAk通信基础教学部通信基础教学部49 02(2)是有理数Nmsin()sin(2) sin()00002AkmAkmAk0022当是有理数时，正弦序列的周期为NNmm 02(3)是无理数02当是无理数时，此时正弦序列就不再是周期序列通信基础教

18、学部通信基础教学部5000模拟角频率和数字角频率w0220.02314/wTrads022126 Nrad通信基础教学部通信基础教学部51Ok1ak1 12341 aOk1 ak1 123410 aOk1ak1 12341 aOk1 ak1 123401 af(k)=ak 通信基础教学部通信基础教学部52通信基础教学部通信基础教学部53通信基础教学部通信基础教学部54 +通信基础教学部通信基础教学部55( )df tdt)()1(tf( )tfd)()1(tf ( )( )f tf t 从波形看，它表示信号随时间变化的变化率。当含有不连续点时，由于引入了冲激函数的概念，在这些不连续点上仍有导数

19、，出现冲激，其强度为原函数在该处的跳变量。( )ttf t 从波形看，它在任意时刻 的值为从- 到区间，与时间轴所包围的面积。通信基础教学部通信基础教学部56 微分 t（ ）通信基础教学部通信基础教学部57微分t0 f(t)11-12-12t0 f(1)(t)-112(1)(3)(1)(1)t0 f(-1)(t)1-12321 积分通信基础教学部通信基础教学部58-111t0 f (t)-21t0 f (t1)-121t0 f (t-1)1通信基础教学部通信基础教学部59-111t0 f (t)-111t0 f (-t)通信基础教学部通信基础教学部60-111t0 f (t)-0.50.51t

20、0 f (2t)-221t0 f (0.5t)通信基础教学部通信基础教学部61-111t0 f (t)通信基础教学部通信基础教学部62 131t0 f (t-2) 21.51t0 f (2t-2)0.51-1.51t0 f (-2t-2)-0.5-1-111t0 f (t)通信基础教学部通信基础教学部63通信基础教学部通信基础教学部64-3-11t0 f (t+2)-2311t0 f (-t+2)2461t0 f (-0.5t+2)2-111t0 f (t) 通信基础教学部通信基础教学部6511t0 f (1-2t)0.521t0 f (1-t)1-21t0 f (1+t)-1-1 f (t)

21、1t01通信基础教学部通信基础教学部66-111t0 f (t)abcd461t0 f (-0.5t+2)2abcd通信基础教学部通信基础教学部67)()()(21kfkfkf )()()(21kfkfkf )()()(211kfkfky )()()(212kfkfky 15210)(1kkkfk 0202)(2kkkkfk121( )7.51270kkky kkkk 2101( )3.51225100kkky kkkkk 通信基础教学部通信基础教学部68m)()(mkfkf )()(mkfkf m( )()f kfk( )( -)( ) ( -)( ) ()( ) ()( ) 由于符号既可以

22、表示序列，又可以表示序列中的第 个数值。因此，作为序列而言，序列是序列在数轴上整个右移（后移）个间隔；但是作为序列中的一个数值而言，则数值是左边（前面）个间隔的那个数值。同样，序列是序列在数轴 上整个左移（前移）个间隔;但是数值是数值右边（后面）个间隔的那个数值。今后不特f kkf k mf kkmf k mf kmf kmf kkmf kmf km( )()()别指出，符号、都是指序列而言。f kf kmf km通信基础教学部通信基础教学部69k01322 1361133(1)( )2k kf kk01322 1361134(1)(1)2kkf kk0 12 136113345(2)(3)(

23、2)2kkf k通信基础教学部通信基础教学部70k( )f k01322 12311(1)f k k01322 123113(1)fk k01322 111332通信基础教学部通信基础教学部71 )()1()(kfkfkf )1()()( kfkfkf2222( )(1) ( )(2)( )(1) ( )(2)f kf kf kf kf kf kf kf k 2( )( )(1)( )(1)( )(2)2 (1)( )f kf kf kf kf kf kf kf kf k 2( )( )( )(1)( )(1)( )2 (1)(2)f kf kf kf kf kf kf kf kf k 通信基

24、础教学部通信基础教学部721( )( )knf kf n通信基础教学部通信基础教学部73通信基础教学部通信基础教学部74通信基础教学部通信基础教学部75通信基础教学部通信基础教学部76通信基础教学部通信基础教学部77通信基础教学部通信基础教学部78x(t)y(t)x(t)y(t)( )( )y tS x t通信基础教学部通信基础教学部79L( )Li t ( ) Lu tR( )Ri t ( ) Ru tC( )Ci t ( ) Cu t( )Ri t( )Ru t( )Li t( )Lu t( )Ci t( )Cu t12t3( )( )( )( )( )( )1( )( )( )RRRLL

25、LCCCutS itRitditutSitLdtutSitidC12t3 1 SRdSLdtSdC通信基础教学部通信基础教学部80在信号与系统中，连续系统的数学模型时微分方程，描述离散在信号与系统中，连续系统的数学模型时微分方程，描述离散系统的数学模型时差分方程。系统的数学模型时差分方程。如图所示的电路中，电压源所提供的电压时这个系统的激励。如图所示的电路中，电压源所提供的电压时这个系统的激励。而电路中的电流作为这个系统的响应。这个系统，而电路中的电流作为这个系统的响应。这个系统，数学模型数学模型为为V=x (t)Rd ( )( )( )i tLRi tx tdt通信基础教学部通信基础教学部8

26、1x(t)y(t)f(k)y(k)通信基础教学部通信基础教学部82通信基础教学部通信基础教学部83通信基础教学部通信基础教学部84通信基础教学部通信基础教学部85( )( )(0)y tx tq例：已知各系统的响应与激励和初始状态的关系如下， 试判断这些系统是否为线性系统？10(1) ( )3 (0)5( ) 0ty tqxdt解：zizzs0izs( )3 (0)( )( )()(5)(ty tytqytxytytd可分解性1zi112ziz221 12 2zi12i12(0)( ) 3 (0) (0)( ) 3 (0)(0)(0)( ) 3(0) (0 ) ( )当初始状态为时当初始状态为

27、时当初始状态为时零输入线性qytqqytqkqk qy tkqky tqk1 zi12zi2( )( )ytk yt通信基础教学部通信基础教学部861zs1102zs2201 12 2zs1 12 20( )( ) 5( ) 0 ( )( ) 5( ) 0( )( )( ) 5( )( ) 0 当输入为时当输入为时当输入为零状态时线性tttx tytxdtx tytxdtkx tk x ty tkxk xdtzs1 zs12zs2 ( )( )( ) y tk ytk yt线 性 系 统10(1) ( )3 (0)5( ) 0ty tqxdt通信基础教学部通信基础教学部87222(2) ( )

28、3 (0)5( ) 0ty tqex tt2zizizs2zs( )3 (0)( )( )( )( )5( )tytqey tytytytx t可分解性解：零输入线性满足21zs1122zs2221 12 2zs1 12 2( )( ) 5 ( ) 0( )( ) 5 ( ) 0( )( )( ) 5( )( ) 当输入为时当输入为时当输入零状态线性为时x tytx ttx tytx ttkx tk x ty tkx tk x tzs1 zs12zs2 ( )( ) ( )y tk ytk yt非 线 性 系 统通信基础教学部通信基础教学部88通信基础教学部通信基础教学部89通信基础教学部通信

29、基础教学部90dd( )( )()tx ty ty tt时移系统ddd( )()()tx tx tty tt时移系统通信基础教学部通信基础教学部91通信基础教学部通信基础教学部92y(t)=tx(t)00000000 ttxtty(t-t )t-tx(t-t )tx(t-t )y(t-t )t-tx(t-t ).0当激励为在 时输入，即激励为 （ ）。如果响应为（），则表示这个系统是时不变系统。而响应为（）所以该系统是时变系统。 y(t)=x (t)令激励为x(t-t0)看响应是否为y(t-t0)。000 x(t-t )x(t-t )=y(t-t ).当激励为时，响应为所以该系统是时不变系统。通信基础教学部通信基础教学部93) 通信基础教学部通信基础教学部94通信基础教学部通信基础教学部95通信基础教学部通信基础教学部96通信基础教学部通信基础教学部97( )( )( )tty ty txd00 (